PROBLEMI DI PROBABILITÀ

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1 PROBLEMI DI PROBABILITÀ 1. Si dispongono a caso su uno scaffale sette libri, dei quali tre trattano di matematica. Qual è la probabilità che i tre libri di matematica si vengano a trovare l uno accanto all altro? ( ) 2. Un cubo con le facce colorate è diviso in 1000 cubetti congruenti. Si sceglie a caso uno dei 1000 cubetti cosí ottenuti. Si calcoli la probabilità che il cubetto estratto abbia: (a) esattamente due facce colorate; (b) almeno due facce colorate; (c) al piú due facce colorate. ( ) 3. Ad ogni istante si lanciano indipendentemente due monete; in una di esse la probabilità di ottenere testa è 1/2, nell altra è 1/3. Qual è la probabilità che di ottenere testa con entrambe le monete per la prima volta al quinto lancio? ( ) 4. Un giocatore inizia una serie di partite indipendenti nelle quali ad ogni istante vince con probabilità 1/3. Qual è la probabilità che la sua prima vincita avvenga in un istante multiplo di 3? ( ). 5. Ogni qual volta il giocatore A lancia una moneta equilibrata, tale cioè che la probabilità di ottenere testa sia 1/2, un secondo giocatore, B, lancia un dado equilibrato (ogni faccia ha probabilità 1/6). Qual è la probabilità che B ottenga come risultato 1 oppure 5 prima che A ottenga testa. ( ) 6. Siano date due urne. La prima, U 1, contiene 15 palline, delle quali 5 portano il numero 1 mentre 2 palline portano ognuna il numero k (k = 2, 3,..., 6). La seconda urna U 2 contiene in egual proporzione palline con i numeri da 1 a 6. (a) Si scelga a caso un urna e da questa si estragga a caso una pallina. Sia N il numero della pallina estratta; si calcolino P (N = k) per k = 1, 2,..., 6 e E(N). (b) Si sceglie a caso un urna, e, da questa, si estraggono con restituzione due palline; siano N 1 e N 2, rispettivamente i numeri delle due palline estratte. Qual è la probabilità P (N 1 = 3, N 2 = 4)? Sapendo che N 1 = 3 e N 2 = 4, qual è la probabilità che le palline siano state estratte dall urna U 1? (c) Sono indipendenti le v.a. del punto precedente? ( ) 7. Un urna contiene b palline bianche e c colorate. Le palline si intendono indistinguibili. (a) Si scriva uno spazio dei risultati atto a rappresentare l estrazione dall urna, senza restituzione, di due palline; (b) si calcoli la probabilità di estrarre in questo modo due palline di colori differenti; (c) come si modifica la risposta alla domanda precedente se l estrazione avviene con restituzione? ( ) Date: 5 febbraio

2 2 PROBLEMI DI PROBABILITÀ 8. Sia (X n ) una successione di v.a. indipendenti e tutte con legge di Bernoulli di parametro p e sia N una v.a., indipendente da quelle, con legge di Poisson di parametro θ > 0. Siano S 1 e S 2 le v.a. che contano rispettivamente il numero di successi, {X n = 1}, e quello dei fallimenti, {X n = 0}, in N prove. Allora (a) si scrivano S 1 e S 2 in funzione delle X n e di N; (b) si trovino le leggi di S 1 e di S 2 ; (c) si dica se S 1 e S 2 siano o no indipendenti. 9. Un urna contiene inizialmente b palline bianche e c palline colorate. Ad ogni istante, si estrae dall urna una pallina, se ne registra il colore e la si rimette quindi nell urna insieme a d palline dello stesso colore di quella estratta. Si calcoli la probabilità (a) che sia bianca la seconda pallina estratta; (b) che sia bianca la prima pallina estratta, sapendo che la seconda è bianca. ( ) 10. Siano X 1, X 2, X 3 tre v.a. indipendenti, tutte di legge geometrica con parametri rispettivamente eguali a p 1, p 2, p 3. (a) Si calcoli la probabilità P (X 1 X 2 X 3 ); (b) tre giocatori A, B e C lanciano a turno un dado nell ordine ABCABC... ; si calcoli la probabilità che A sia il primo a lanciare un 6, B il secondo e C il terzo. 11. Si considerino i termini della legge binomiale b(n, p : k); assegnati k in Z + e p in ]0, 1[, per quale valore di n è massimo b(n, p; k)? ( ) 12. (a) Si controlli se p n := 1 n (n + 1) definisca una legge di probabilità. (b) Sia X una v.a. tale che P (X = n) = (n N := {1, 2,..., n,... }) 1 n (n + 1) (n N). Esiste la speranza di X? Per quali valori di α > 0 esiste la speranza di X α? 13. Tre giocatori, A, B e C lanciano ciascuno una moneta equilibrata; A la lancia m volte, B n volte, C m + n volte. Si mostri che sono eguali le probabilità (a) che il numero di teste ottenuto da A sia eguale a quello ottenuto da B; (b) che il numero di teste ottenuto da C sia eguale al numero m di lanci eseguiti da A. 14. Una compagnia di assicurazioni assicura un egual numero di guidatori e di guidatrici. Ogni anno, indipendentemente dagli altri anni, è α la probabilità che un guidatore abbia un incidente che dia origine ad una richiesta di risarcimento; per una guidatrice l analoga probabilità è eguale a β. La compagnia sceglie a caso un assicurato. (a) Si individui uno schema d urna, vale a dire un estrazione di palline da una o piú urne che contengono palline nere e palline colorate, atto a rappresentare la situazione descritta sopra; (b) si calcoli la probabilità che l assicurato scelto causi un incidente con una richiesta di risarcimento nell anno in corso;

3 PROBLEMI DI PROBABILITÀ 3 (c) si calcoli la probabilità che l assicurato scelto causi un incidente con una richiesta di risarcimento in due anni consecutivi. (d) qual è la probabilità che l assicurato di (b) sia una guidatrice? ( ) 15. In un processo di Bernoulli (cioè in una serie di estrazioni con restituzione, in ognuna delle quali è p la probabilità di estrarre una pallina bianca) (a) qual è la probabilità di avere tutti successi nelle prime n prove? (b) qual è la probabilità che il primo fallimento avvenga all n esima prova? (c) qual è il numero medio di prove necessarie per avere il primo fallimento? 16. Un urna contiene b palline bianche, n palline nere e v palline verdi. In un estrazione con restituzione qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca prima di estrarre una pallina nera? ( ) 17. Di una variabile aleatoria discreta X si sa che assume quattro valori, x 1, x 2, x 3 e x 4. Se è noto che (a) E(X) = 4; (b) x 1 = 2.5, x 2 = 3 e x 4 = 5; (c) p 1 = P (X = 2.5) = 0.1, p 2 = P (X = 3) = 0.25 e p 4 = P (X = 5) = 0.4, si calcolino x 3 e p 3 = P (X = x 3 ). Qual è la speranza della v.a. Y := 3 X + 5? 18. In un processo di Bernoulli (X n ) è p la probabilità di successo in ogni prova. Si calcoli la probabilità che sia eguale a k (k N) la differenza tra il tempo del secondo successo e quello del primo. 19. Si estraggono senza restituzione palline (distinguibili) da un urna che inizialmente ne contiene b bianche e n nere. (a) Si scriva uno spazio dei risultati atto a rappresentare l estrazione di k + 1 palline con k + 1 < b + n; (b) si mostri che la probabilità che la prima pallina estratta bianca sia la (k +1) esima è ( ) n + b k 1 b 1 ( ) ; b + n b (c) qual è la probabilità che, proseguendo le estrazioni sino a quando l urna contiene palline, l ultima pallina estratta sia bianca. ( ) 20. Sono date due urne U 1 e U 2 che contengono entrambe palline bianche e palline colorate; le proporzioni di palline bianche contenute nelle due urne sono rispettivamente p 1 e p 2. Si scelga a caso un urna e da questa si estraggano con restituzione due palline. (a) Si calcoli la probabilità P (B 1 ) che la prima pallina estratta sia bianca; (b) si calcoli la probabilità P (B 2 ) che la seconda pallina estratta sia bianca; (c) sono indipendenti gli eventi B 1 e B 2? 21. In un processo di Bernoulli (X n ) nel quale la probabilità di successo ad ogni prova è p, P (X n = 1) = p per ogni n N, siano T 1 e T 2, rispettivamente, le variabili aleatorie tempo del primo successo e tempo del secondo successo. (a) Si trovi la legge di T 2, P (T 2 = n), per n 2;

4 4 PROBLEMI DI PROBABILITÀ (b) Si determini, per n 2, la legge di T 1 condizionata dal sapere che T 2 = n, vale a dire la probabilità condizionata P (T 1 = k T 2 = n). 22. Un urna contiene inizialmente b palle bianche e c palle colorate. Ad ogni istante si estrae a caso dall urna una pallina, se ne nota il colore e la si rimette nell urna insieme ad altre d palline dello stesso colore di quella estratta. Si calcolino le probabilità: (a) che la seconda pallina estratta sia bianca; (b) che la prima pallina estratta sia bianca, sapendo che la seconda pallina estratta è bianca. 23. In un processo di Bernoulli (X n ) nel quale è p ]0, 1[ la probabilità di un successo, P (X n = 1) = p (n N), sia N la variabile aleatoria definita come il massimo numero naturale tale che sia X 1 = X 2 = = X N, N := max{k N : X 1 = X 2 = = X k }. Di N si trovino (a) la legge, e si mostri che {P (N = n) : n N} è effettivamente una legge di probabilità; (b) la sua speranza, se esiste. 24. Sia X una variabile aleatoria a valori in Z + : {0, 1, 2,... }. Posto p n := P (X = n) (n Z + ), si mostri che sono equivalenti le proprietà (a) X ha legge di Poisson di parametro θ > 0, X P(θ); (b) per ogni n N vale p n p n 1 = θ n. 25. In un processo di Bernoulli (X n ) nel quale la probabilità di successo ad ogni prova è p, P (X n = 1) = p per ogni n N, si calcolino (a) la probabilità che sia n j=1 X j = k per k = 0, 1,..., n; (b) la probabilità condizionata che sia X n = 1 sapendo che n j=1 X j = k. 26. Due giocatori A e B lanciano ciascuno una moneta equilibrata (per la quale, cioè, P (T ) = P (C) = 1/2). A effettua n lanci, mentre B ne effettua n + 1. Vince la partita chi ottiene il maggior numero di teste; si conviene che, in caso di parità, la partita sia vinta da A. Per quali valori di n il gioco è equo, vale a dire, P A = P B? Qui P A e P B sono, rispettivamente, le probabiltà di vittoria di A e di B. 27. Un urna contiene palline di tre colori diversi in egual proporzione. Si estraggono, con restituzione, n palline. Si calcoli la probabilità di estrarre: (a) palline di un solo colore; (b) palline di due colori; (c) palline di tre colori. 28. Un dado ha le facce numerate da 1 a 6 ed è costruito in modo tale che la probabilità di ogni faccia è proporzionale al numero scritto sulla faccia, p j = k j con k > 0 per j = 1, 2,..., 6.

5 PROBLEMI DI PROBABILITÀ 5 (a) Si calcoli la costante k; (b) qual è la probabilità che lanciando il dado si ottenga come risultato un numero dispari? (c) qual è la speranza della v.a. X che rappresenta il risultato di un lancio? 29. In un processo di Bernoulli (X n ), nel quale è p la probabilità di successo, P (X n = 1) = p per ogni n N, si calcolino (a) la probabilità che il terzo successo avvenga al tempo t = n; (b) la probabilità che il terzo successo avvenga al tempo t = n ed il primo successo al tempo t = k con k < n Un urna contiene n palline numerate da 1 a n. Si estraggono, senza restituzione tutte le palline. Qual è la probabilità che i tre numeri 1, 2 e 3 appaiano uno accanto all altro in quell ordine? 31. Si consideri la probabilità P definita nella famiglia delle parti dell insieme dei numeri naturali N := {1, 2,..., } mediante p n := 1 2 n. Per k 2 si definisca la variabile aleatoria X k tale che X k (n) sia il resto della divisione di n per k. (a) Si trovi la legge di X k ; (b) si mostri che quella trovata in (a) è effettivamente una legge di probabilità. (Suggerimento: si presti attenzione al caso del resto nullo). 32. Un urna contiene n palline numerate da 1 a n. Si estrae a caso una pallina. (a) Si calcoli la probabilità che la pallina estratta porti un numero divisibile per 3 o per 4; (b) si calcoli esplicitamente la probabilità di (a) nei due casi n = 50 e n = Si mostri che per ogni coppia A e B di eventi in uno spazio di probabilità (Ω, F, P ), vale la relazione P (A B) P (A) P (B) = P (A c ) P (B) P (A c B). 34. Un urna contiene 100 dadi dei quali la metà sono equilibrati, vale a dire che la probabilità di ogni faccia è egaule a 1/6; i dadi della rimanente metà sono stati truccati in maniera che la probabilità di ottenere 1 sia 1/2 mentre la probabilità di ogni altra faccia è 1/10. (a) Si estrae a caso un dado; se X rappresenta il risultato del lancio, si calcolino per k = 1, 2,..., 6, le probabilità P (X = k) e la speranza E(X); (b) si estrae a caso un dado e lo si lancia due volte; indicati con X 1 e X 2, rispettivamente, i risultati del primo e del secondo lancio, qual è la probabilità P (X 1 = 2, X 2 = 3)? Viceversa, se è noto che X 1 = 2 e X 2 = 3, qual è la probabilità che si tratti di uno dei dadi truccati? (c) sono indipendenti le v.a. X 1 e X 2?

6 6 PROBLEMI DI PROBABILITÀ ( ) 35. Un urna contiene 5 palline bianche e 5 palline colorate. Si estraggano senza restituzione dall urna 5 palline. Si calcolino le probabilità (a) che tutte le palline estratte siano dello stesso colore; (b) che si estraggano quattro palline di un colore e l altra di colore differente. ( ) 36. Si lancia per due volte una moneta equilibrata (per la quale, cioè, la probabiloità di ottenere testa è 1/2). Sia N il numero di teste ottenuto in questi due lanci e si lanci la moneta ancora N volte; se è X il numero complessivo di teste ottenute. (a) Si scrivano le probabilità P (X = k) per k = 0, 1, 2, 3, 4; (b) si controlli che si è cosí ottenuta una legge di probabilità. ( ) 37. Una famiglia ha tre figli; (a) qual è la probabilità che tutti e tre siano maschi, sapendo che almeno due sono maschi? (b) qual è la probabilità che tutti e tre siano maschi, sapendo che i primi due sono maschi? Si supponga che la probabilità che nasca un maschio o una femmina sia eguale a 1/2 e che ogni figlio sia indipendentemente maschio o femmina. ( ) 38. In un processo di Bernoulli nel quale è p la probabilità di successo si calcoli la probabilità di ottenere un numero pari di successi in n prove. Si considera 0 come un n umero pari. (Suggerimento: si ragioni per induzione). ( ) 39. Sia data una v.a. X che ha legge uniforme sui tre punti { 1, 0, 1}. Si trovi la legge della v.a. X 2 e la legge congiunta delle v.a. X e X 2. Si controlli che le leggi marginali del vettore aleatorio ( X, X 2) coincidono con quelle già note. ( ) 40. Sia dato un mazzo di 52 carte. Si considerino i seguenti due giochi: (a) si estrae a caso una carta dal mazzo; se questa è un asso, si lancia una moneta equilibrata, tale cioè che sia P (T ) = P (C) = 1/2; si vince se esce testa T. Se la carta estratta non è un asso si lancia un dado equilibrato, p({k}) = 1/6 per k = 1, 2,..., 6; in questo caso si vince se esce 1. (b) Si lancia una moneta equilibrata; se esce testa si estrae a caso una carta dal mazzo; si vince se questa è una asso. Se invece il lancio della moneta dà come risultato croce, si lancia un dado equilibrato; in questo caso si vince se il risultato è un 1 o un 2. In quale dei due giochi è piú probabilie vincere? ( ) 41. Si lanci due volte una moneta equilibrata, tale, cioè, che sia P (T ) = P (C) = 1/2; siano A, B e C, rispettivamente, gli eventi, A = il primo lancio dà come risultato testa, B = il secondo lancio dà come risultato testa e C = i due lanci danno lo stesso risultato. (a) Si mostri che gli eventi A, B e C sono a due a due indipendenti; (b) i tre eventi sono indipendenti?

7 PROBLEMI DI PROBABILITÀ 7 ( ) 42. Un urna contiene inizialmente una pallina bianca ed una colorata. Ad ogni istante si estrae a caso una pallina e la si sostituisce con un altra che è di colore bianco con probabilità p ]0, 1[ e colorata con probabilità q = 1 p. (a) Al tempo t = 1, vale a dire dopo la prima estrazione e la prima sostituzione, quante palline bianche può contenere l urna? (b) si calcoli la legge del numero di palline bianche presenti nell urna al tempo t = 1, cioè la probabilità che all istante t = 1 l urna contenga k palline bianche per tutti i valori possibili di k. ( ) 43. Si lanciano contemporaneamente due dadi equilibrati, uno bianco ed uno colorato; Qual è la probabilità che il punto segnato dal dado bianco sia maggiore di quello segnato dal dado colorato? ( ) 44. In un processo di Bernoulli nel quale è eguale a p la probabilità di un successo, P (X n = 1) = p (a) si rappresentino gli insiemi {T 4 = n} e {T 2 = k} {T 4 = n}, ove, al solito T j rappresenta il tempo del j esimo successo; (b) Si calcoli la probabilità condizionata P (T 2 = k T 4 = n). ( ) 45. Quattro coppie, ciascuna compota da marito e moglie si siedeno attorno ad un tavolo rotondo per cena. Qual è la probabilità che, sedendosi a caso, non si trovino sedute accanto due persone dello stesso sesso? ( ) 46. Sia X una variabile aleatoria tale che P (X = n) = k n! n = 0, 1, 2,.... (a) Si calcoli la costante k; (b) qual è la probabilità che X assuma un valore pari? (c) Si calcoli la speranza di X. ( ) 47. Si lanciano 5 dadi equilibrati, per ciascuno dei quali, cioè, vale P ({k}) = 1/6 (k = 1, 2,..., 6). Qual è la probabilità che almeno tre dadi diano lo stesso risultato? ( ) 48. In un processo di Bernoulli con probabilità di successo p ]0, 1[, si calcoli la probabilità condizionata P (T 3 = n T 2 = k), ove n > k e T 2 e T 3 sono i tempi del secondo e del terzo successo rispettivamente. ( ) 49. Sono date tre urne con la seguente composizione U 1 : U 2 : U 3 : 3 palline bianche e 2 palline colorate, 4 palline bianche e 4 palline colorate, 1 pallina bianca e 3 palline colorate.

8 8 PROBLEMI DI PROBABILITÀ Scelta, a caso, un urna se ne estrae una pallina, che risulta essere bianca. probabilità che essa sia stata estratta dall urna U 3? ( ) Qual è la 50. Un urna contiene b palline bianche e c palline colorate. Si estraggono, senza restituzione, due palline. Si calcoli la speranza del numero di palline bianche che si estraggono. Si paragoni il risultato con quello, ben noto, dell estrazione con restituzione. ( ) 51. Si lancia due volte un dado equilibrato. Siano A e B, rispettivamente, gli eventi la somma dei punti realizzati è dispari e almeno un lancio dà come risultato 1. Si calcolino le probabilità degli eventi A, B, A B e A B. ( ) 52. Per quale valore della costante C la successione p n := C 2n n! definisce la legge di probabilità di una variabile aleatoria X sui numeri naturali N := {1, 2,..., n,... }? Si trovino (a) P (X > 1); (b) il valore piú probabile di X. ( ) 53. In un processo di Bernoulli (X n ) nel quale è p la probabilità di successo ad ogni prova, P (X n = 1) = p ]0, 1[ (n N), si calcoli la probabilità condizionata che il tempo T 2 del secondo successo sia al piú eguale a n, T 2 n, sapendo che il primo successo è avvenuto al tempo k < n. ( ) 54. Data un urna che contiene 40 palline numerate da 1 a 40, si considerino i seguenti giochi. (a) Si estrae a caso una pallina. Se questa è un multiplo di 10 si lancia una moneta equlibrata e si vince se esce testa; se, invece, la pallina estratta non è un multiplo di 10, si lancia un dado equilibrato, per il quale, cioè, vale P ({k}) = 1/6 (k = 1, 2,..., 6); in questo caso si vince se esce 1; (b) si lancia una moneta equilibrata. Se esce testa si estrae una pallina dall urna e si vince se la pallina estratta è un multiplo di 10; se invece il lancio della moneta dà come risultato croce, si lancia un dado equilibrato; in questo caso si vince se il risultato è 1 o 2. Quale dei due giochi è piú favorevole? ( ) 55. In un processo di Bernoulli (X n ) nel quale è p la probabilità di successo ad ogni prova, P (X n = 1) = p ]0, 1[ (n N), siano T 1 e T 2 i tempi, rispettivamente, del primo e del secondo successo. Si indichi con Y 2 := T 2 T 1 il tempo che intercorre tra i due primi successi. (a) Si trovi la legge congiunta di T 1 e di Y 2, vale a dire, si determini, per j e k numeri naturali, la probabilità P (T 1 = j, Y 2 = k); (b) si trovi la legge di Y 2, P (Y 2 = k) per k naturale; (c) sono indipendenti le variabili aleatorie T 1 e Y 2? ( ) 56. Un urna contiene inizialmente b palline bianche e c palline colorate. Prima di estrarre una pallina, due palline sono sottratte dall urna.

9 PROBLEMI DI PROBABILITÀ 9 (a) Si calcoli la probabilità che la pallina estratta, dopo la sottrazione delle due palline, sia bianca; (b) se la pallina estratta è bianca, qual è la probabilità che siano state sottratte due palline colorate? ( ) 57. Un giocatore di roulette continua a puntare sul 19 rosso. Si calcoli la probabilità che prima di vincere siano usciti solo numeri rossi. Si ricordi che nella roulette vi sono 37 numeri, da 1 a 36, colorati metà in nero e metà in rosso e che vi è in piú lo 0, che non è colorato. 58. In un processo di Bernoulli (X n ) nel quale è p la probabilità di successo, P (X n = 1) = p (n N), si indichino con T 2 e T 3, rispettivamente, i tempi del secondo e del terzo successo. (a) Si rappresentino gli eventi {T 3 = n} e {T 2 = k} {T 3 = n} e se ne calcolino le probabilità; (b) si calcoli la probabilità condizionata che il secondo successo avvenga al tempo k sapendo che il terzo è avvenuto al tempo n; (c) quali sono i possibili valori di k? Si controlli che, fissato n, le probabilità calcolate in (b) definiscono una legge di probabilità. 59. Sono date tre urne identiche e n palline; queste sono distribuite a caso tra le urne, senza alcuna restrizione sul numero di palline che possono essere collocate in ciascuna urna. (a) Si scriva lo spazio dei risultati; (b) si calcoli la probabilità che almeno una delle urne rimanga vuota; (c) si calcoli esplicitamente la probabilità del punto precedente se n = In un processo di Bernoulli (X n ) nel quale è p la probabilità di successo, P (X n = 1) = p (n N), si calcoli la probabilità che il tempo intercorso tra il primo e il secondo successo sia eguale a quello del primo successo. Si calcoli, poi, esplicitamente tale probabilità quando p = 1/ Sono date n variabili aleatorie (=v.a.) indipendenti X 1, X 2,..., X n ; per ogni indice i {1, 2,..., n}, X i è una v.a. geometrica di parametro p i ]0, 1[. Si trovi la legge della v.a. X (1) := min{x 1, X 2,..., X n } e la si riconosca. 62. Si lancia 5 volte una moneta equilibrata (p = q = 1/2). Sapendo che si è avuta almeno una volta testa, si calcoli la probabilità che si sia ottenuto testa al primo lancio. 63. Un urna contiene palline bianche e colorate. La proporzione di palline bianche è p ]0, 1[. Dall urna si estraggono con restituzione n palline. Una seconda urna contiene n palline; di queste quelle bianche sono tante quante quelle estratte dalla prima urna. Qual è la probabilità di estrarre una pallina bianca dalla seconda urna? Se la pallina estratta dalla seconda urna è bianca, qual è la probabilità che essa contenesse k palline bianche? 64. Dati due eventi A e B, si trovi (A B) (A B c ).

10 10 PROBLEMI DI PROBABILITÀ 65. Per seguire una lezione quattro studentesse e tre studenti si siedono a caso in un banco. Qual è la probabilità che si siedano alternando uno studente a una studentessa? 66. Dato un processo di Bernoulli nel quale è p la probabilità di successo ad ogni prova, si calcoli la probabilità condizionata che il terzo successo avvenga al tempo n sapendo che il primo successo è avvenuto al tempo k. Si mostri anche che tale probabilità è eguale a quella che il secondo successo avvenga al tempo n k. 67. In una classe sono presenti 15 alunni; qual è la probabilità che nessuno di essi sia nato nell ultimo quadrimestre dell anno? 68. Un urna contiene 4 palline bianche e 3 palline colorate. In un estrazione senza restituzione di due palline si calcolino le probabilità (a) che le palline estratte siano dello stesso colore; (b) che almeno una delle palline estratte sia bianca. 69. Si lancia 3 volte un dado equilibrato ottenendo due volte come risultato 5. Sapendo questo, qual è la probabilità che il secondo lancio abbia dato come risultato 5? 70. In processo di Bernoulli nel quale è p ]0, 1[ la probabilità di successo ad ogni prova, qual è la probabilità che sia eguale a k {2, 3,... } la differenza tra l istante del terzo e quello del primo successo?