Corso di preparazione ai Giochi di Archimede Calcolo combinatorio & Probabilità

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1 Corso di preparazione ai Giochi di Archimede Calcolo combinatorio & Probabilità ) Quante quaterne (x, x2, x3, x4) di numeri interi non negativi soddisfano l equazione x+x2+x3+x4=7? a) 25 b) 289 c) 40 d) Infinite e) Nessuna delle precedenti 2) La figura seguente è composta da 30 strati. Quanti sono i quadretti che la compongono? (Si sconsiglia di contarli a mano per evitare errori) a) 900 b) 90 c) 95 d) 96 e) 930 f) 96 3) In una scacchiera 8x8, le colonne sono contrassegnate con le lettere dalla a alla h mentre le righe con i numeri da a 8. Una pulce parte dalla casella a (in basso a sx) e vuole andare alla casella h8 (in alto a dx). Può fare solo due tipi di movimenti: Spostarsi di un passo a destra Spostarsi di un passo in alto Con quanti percorsi diversi può andare dalla casella a alla casella h8, passando per la casella d6? a) 7 b) 20 c) 360 e) 840 f) ) In un gruppo di 52 persone, ognuno stringe la mano a ciascun altro esattamente una volta. Quante sono, in tutto, le strette di mano? a) 275 b) 326 c) 352 d) 378 e) 260 f) 2704

2 5) Un full è un insieme di 5 carte da gioco, tre delle quali hanno il medesimo valore e le altre due un altro (per esempio, tre 7 e due 6 ). Qual è il numero minimo di carte da prendere (a caso) da un mazzo di 40 carte per avere la certezza che fra di esse ci sia un full? a) 3 b) 4 c) 9 d) 2 e) 24 f) 37 6) Sette bimbi si mettono in cerchio per giocare a Giro Giro Tondo. In quanti modi possono farlo? Attenzione: due modi di disporsi vanno considerati uguali (e quindi contati una sola volta) se esiste una rotazione che li fa sovrapporre a) 20 b) 360 c) 480 e) 440 f) ) La mamma ha 0 caramelle, tutte uguali, e le distribuisce tutte ai suoi 3 figli: Anna, Bruno e Carlo. In quanti modi può farlo, contando anche quelli palesemente ingiusti, a patto che alla fine Anna ne abbia almeno 2? a) 5 b) 28 c) 35 d) 45 e) 64 f) 00 8) In una classe di 25 studenti se ne scelgono 2 per farli partecipare ai Giochi di Archimede. In quanti modi lo si può fare? a) 90 b) 20 c) 240 d) 252 e) 300 f) 720 9) Quanti sono i numeri naturali di quattro cifre, tali che la cifra delle unità sia la somma della cifra delle decine e di quella delle centinaia? (Archimede 200) a) 35 b) 495 c) 540 e) 900 0) Leo lancia 7 volte una moneta (non truccata) ottenendo 2 volte testa e 5 volte croce. Se la lancia ancora una volta, con quale probabilità otterrà testa? (Archimede 203) a) /8 b) /7 c) -(/2)^7 2

3 d) 35/(2^7) e) /2 ) I 3 nani della compagnia di Thorin entrano, uno alla volta, nella casa di Bilbo, il quale li fa accomodare alla sua grande tavola rotonda che ha proprio 3 posti. Per primo entra Thorin, e poi seguono gli altri 2 in rigoroso ordine d età, dal più vecchio al più giovane. Thorin si siede in un posto qualsiasi, e ogni altro nano si siede sempre vicino a qualcuno che è già arrivato. In quanti modi si possono disporre i nani, contando una volta sola le configurazioni uguali a meno di rotazioni della tavola? 2) Carla si è dimenticata la password di accensione del suo nuovo computer! Si ricorda però che è una sequenza di 4 vocali, non necessariamente distinte, di cui 2 sono maiuscole e 2 minuscole. Quante password diverse dovrà provare, al massimo, per accendere il computer? a) b) 5 5 c) d) 5 6 e) ) In quanti modi si possono disporre 3 ragazzi e 3 ragazze per una foto di gruppo, sistemando i 3 ragazzi accovacciati e le 3 ragazze in piedi dietro di loro? a) 9 b) 24 c) 36 d) 54 e) 8 4) In quanti modi diversi si possono ordinare le lettere I, S, O, L, A, in modo che non ci siano due consonanti consecutive? a) 60 b) 72 c) 84 d) 96 e) 20 5) Il professor Victor tiene un corso a 0 studenti e all inizio di ogni lezione compila il registro scrivendo presente o assente. Quanti sono le possibili combinazioni di assenti e presenti? a) 0 2 b) c) 0 3 d) 2 0 e) 0 4 3

4 6) La polisportiva I tropici ha organizzato un torneo di calcio al quale partecipano 3 squadre composte da 5 giocatori ciascuna, con le maglie numerate da a 5. In quanti modi si possono scegliere 3 giocatori, uno da ogni squadra, in modo che non ci siano 2 giocatori con lo stesso numero di maglia? a) 48 b) 455 c) 25 d) 2730 e) ) Una formica si trova sul vertice di un cubo. Si muove sugli spigoli del cubo in modo da passare una e una sola volta su ciascun vertice del cubo. Quanti sono i possibili percorsi distinti che può seguire? a) 0 b) 8 c) 22 d) 26 e) 30 8) Alberto deve apparecchiare la tavola per 7 persone e ha 7 piatti bianchi e 7 piatti neri a disposizione. Per ogni persona deve mettere uno e un solo piatto e questo deve essere bianco o nero. Quanti modi distinti ha Alberto per apparecchiare la tavola? (due tavole si considerano equivalenti, e quindi da considerarsi uguali, se differiscono solo per una rotazione) a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 20 9) E se la tavola fosse stata da 8? (domanda bonus) 20) Nel mio cassetto ci sono 8 calzini blu e 8 calzini neri, alla rinfusa. Pesco al buio 8 calzini a caso. Quale fra le seguenti è l eventualità più probabile? a) Pescare 4 calzini di un colore e 4 di un altro b) Pescare 5 calzini di un colore e 3 di un altro c) Pescare 6 calzini di un colore e 2 di un altro d) Pescare 7 calzini di un colore e di un altro e) Pescare 8 calzini di un colore e 0 di un altro 2) In un urna ci sono 9 palline, 3 rosse, 3 blu e 3 bianche. Marco estrae contemporaneamente 3 palline. Qual è la probabilità che ne abbia estratta una bianca, una rossa e una blu? a) /27 4

5 b) /9 c) 9/28 d) 6/27 e) 3/4 22) Un mio amico ha scritto un numero segreto di quattro cifre usando una sola volta le cifre, 2, 3 e 4. Sapendo che nessuna cifra occupa il posto che corrisponde al proprio valore (cioè la prima cifra non è, la seconda non è 2, e così via), quale probabilità ho di indovinare il numero al primo tentativo? a) /24 b) /9 c) /8 d) /8 e) /6 23) Le estrazioni del lotto vengono fatte indipendentemente in varie città. In ogni città vengono estratti 5 numeri distinti fra tutti i numeri compresi fra e 90. Considerando le estrazioni che riguardano le 3 città di Milano, Roma e Napoli, qual è la probabilità che il numero 3 venga estratto in una e una sola di queste 3 città? a) p < 8 b) c) 8 p < 9 9 p < 6 d) 6 p < 4 e) p 4 24) Qual è la probabilità che lanciando tre volte un dado la somma dei valori ottenuti sia minore o uguale a 5? a) Meno del 3% b) tra 3% e 5% c) tra 5% e 7% d) tra 7% e 9% e) più del 9% 25) Qual è la probabilità che, estratti due numeri interi a caso (anche uguali) compresi fra e 2 (estremi inclusi), il loro prodotto sia multiplo di 5? a) /5 b) /36 c) 5/24 d) /4 e) nessuna delle precedenti 5