Corso di preparazione ai Giochi di Archimede 2014

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1 Corso di preparazione ai Giochi di Archimede 2014 Lezione del 16 OTT 2014 Aritmetica/Teoria dei numeri 1) Un secchio pieno di sabbia pesa complessivamente 9 kg, riempito per metà di sabbia pesa 5 kg. Quanto pesa il secchio vuoto? A) 0,5 kg B) 1 kg C)2 kg D)2,5 kg E) non si può determinare (Archimede 1996) 2) Silvano, l uomo più ricco di Nettuno, possiede un autostrada con molte corsie. In un momento di prosperità decide di aumentare il numero di corsie del 60 %. Successivamente, a causa di un antica legge del pianeta, deve ridurre il numero di corsie di una certa percentuale X. Dopo averlo fatto si ritrova con lo stesso numero di corsie che aveva all inizio. Quanto vale X? 5% B) 21,5% C) 28% D) 37,5% E) 60% (Archimede 2010) 3) Quali di questi numeri è un divisore di? A) 42 B) 45 C) 52 D) 85 E) 105 (Archimede 2009) 4) Quanti divisori positivi ha il numero? A) 4 B) 8 C) 10 D) 12

2 E) 16 (Archimede 2006) 5) Se è un numero naturale con 6 divisori interi positivi, quanti divisori interi positivi avrà? 1 B) 12 C) 15 D) 36 E) La risposta dipende da (Archimede 2013) 6) Quanto vale la somma: ? A) 990 B) 1105 C) 1295 D) 1395 E) 1505 (Archimede 2010) 7) La professoressa di italiano entra in una classe di 24 studenti, tutti presenti, per un ora di interrogazione. Decide di interrogare gli studenti a cui corrisponde un numero sul registro tale che sia che sono primi. Quanti studenti interroga? D) 7 E) 9 (Archimede 2009) 8) Una pulce si trova sul numero 12 del quadrante di un orologio. Sceglie un numero naturale n compreso tra 1 e 12, estremi inclusi, e comincia a fare salti di n numeri sul quadrante, in senso orario (se ad esempio n = 3, dopo il primo salto è sul 3, dopo il secondo è sul 6 e così via). Dopo 12 salti, per la prima volta si ritrova sul numero 12 del quadrante. In quanti modi distinti può aver scelto n? B) 2 D) 6

3 E) 12 (Archimede 2009) 9) Simone scrive sulla lavagna il numero 3, poi lo cancella e lo sostituisce con il suo quadrato, 9, poi cancella il nove e lo sostituisce con il suo quadrato, 81.Ripete questa operazione per 2006 volte: ogni volta sostituisce il numero scritto con il suo quadrato. Qual è la cifra delle unità dell ultimo numero scritto? C) 5 D) 7 E) 9 (Archimede 2006) 10) Ziggy ha rotto alcune delle 9 corde della sua chitarra marziana. Le corde sono numerate da 1 a 9, la prima costa 1 sterlina marziana e ciascuna delle altre costa il doppio di quella che ha il numero precedente. Dopo un rapido conto Ziggy calcola che dovrà spendere 158 sterline marziane per comprare le corde nuove. Quante sono le corde rotte? D) 5 E) 7 (Archimede 2009) 11) Sul pianeta Uru le settimane durano 8 giorni, i mesi (tutti indistintamente ) durano 34 giorni e in un anno ci sono 14 mesi. Quando il primo giorno dell anno cade di domenica (ultimo giorno della settimana) si celebra la festa del pianeta. Sapendo che oggi sul pianeta Uru è la festa del pianeta, tra quanti giorni sarà la prossima? A) 238 B) 476 C) 952 D) 1428 E) 1904 (Archimede 2007) 12) Qual è la cifra delle unità di?

4 C) 7 D) 9 E) Nessuna delle precedenti (Archimede 1999) 13) Quanto vale il resto della divisione di per? A) 0 B) 52 C) 104 D) 223 E) 446 (Archimede 2007) 14) Quanti sono i numeri interi positivi per i quali è multiplo di? A) Nessuno B) 1 C) 2 D) 5 E) 10 (Archimede 2003) 15) Qual è il più grande degli interi positivi n tali che la media aritmetica dei numeri da 1 a n sia < 2003? (Nota: la media aritmetica di n numeri è uguale alla loro somma divisa per n.) (A) 2002 (B) 2003 (003 (D) 4004 (E) (Archimede 2007) 16) Se aumentiamo la lunghezza della base di un rettangolo del 30% e quella dell altezza del 50%, l area aumenta del: (95% (B) 115% (C) 150% (D) 95% (E) 80%. (Archimede 2000) PROBLEMI BONUS A) Dimostrare che è divisibile per 6, per ogni numero naturale

5 B) In quanti modi il numero 11 può essere scritto come differenza di due quadrati? E il numero 45? C) Per quanti numeri naturali si ha che è multiplo di 3? D) Qual è la cifra delle unità di? E) Quanti sono i numeri primi composti da tre cifre consecutive in un ordine qualsiasi (es. 564 o 867)? F) Trovare tutti i numeri primi tali che anche sia un numero primo. G)Qual è la somma di tutti i numeri naturali da 1 a 20? Da 1 a 100? E da 1 a n? H) Se p, q, r sono tre numeri reali, p x(q + r) = (p x q) + (p x r) è sempre vero. In quali casi si ha anche p + (q x r) = (p + q) x (p + r)? (A) Se e solo se p = q = r =1/3 oppure p = 0; (B) se e solo se p = q = r; (C) mai; (D) se e solo se p + q + r = 1 oppure p = 0; (E) se e solo se p = q = r = 0. I) Emanuele soffre d insonnia. Un giorno alle 11:11 precise egli afferma: non dormo da 53 ore e 53 minuti. A che ora si e svegliato l ultima volta? (A) 5:04 (B) 5:18 (C) 5:58 (D) 6:04 (E) 6:18.