prima urna seconda urna

Transcript

1 Un po di fortuna

2 Considera il seguente gioco: ci sono due urne contenenti delle palline perfettamente uguali tra loro, ma colorate diversamente, alcune bianche, altre nere. Nella prima urna ci sono una pallina bianca e una nera, nella seconda urna una bianca e nove nere. Per vincere un premio devi estrarre una pallina bianca da una delle due urne. Osserva che nessuna pallina è avvantaggiata nell estrazione. In quale urna ti conviene pescare?

3 E se le urne fossero così composte? In quale pescheresti?

4 Per rispondere alla prima domanda notiamo che: con nessuna delle due urne la vincita è sicura, con nessuna è impossibile, è tuttavia ovvio scegliere la prima urna, perché entrambe le urne contengono 1 pallina bianca, ma la seconda contiene molte più nere della prima

5 Come prima, vinci un premio se estrai una pallina bianca da una delle due urne; Disponi alcune palline bianche e alcune nere nelle due urne disegnate, in modo che sia più conveniente pescare nella prima

6 e in questo caso in quale urna pescheresti? 1 Bianca 2 Nere 50 Bianche 100 Nere

7 Ti sarai accorto che è indifferente scegliere la prima urna o la seconda:infatti, pur essendo diverso il numero delle palline nelle due urne, in entrambi i casi per ogni pallina bianca ce ne sono due nere, cioè per ogni possibilità di vincere due di perdere. Considera, ora, la seguente situazione 1B 2N 2B 5N In quale urna pescheresti? E perché?

8 Una domanda difficile In un urna ci sono 12 palline bianche e 8 palline nere, in una seconda urna ci sono 15 palline bianche. Quante palline nere devo aggiungere come minimo nella seconda urna perché sia più conveniente pescare nero dalla seconda urna piuttosto che dalla prima?

9 Un esercizio Ogni colonna della tabella rappresenta un urna. Completa la tabella in modo che le urne siano tutte equivalenti. Come hai fatto? Spiega il ragionamento generale. Bianche Nere Totali 24 88

10 Cominciamo a sistemare quello che abbiamo capito

11 La probabilità Un fenomeno casuale, o aleatorio, è un fenomeno osservabile, ma non prevedibile. Cioè conoscendo i dati iniziali e le leggi, non possiamo prevederne il risultato. Ciò che invece possiamo conoscere è l'insieme di tutti i possibili risultati.

12 DEFINIZIONI ESEMPI Esperimento casuale: è un fenomeno aleatorio o non prevedibile. Lancio di un dado Spazio campione: insieme di tutti i possibili risultati dell esperimento. {1,2,3,4,5,6} Evento elementare: uno dei possibili risultati dell esperimento. Evento: un sottoinsieme dello spazio campione, in cui sono conte-nuti alcuni dei possibili casi, quelli favorevoli all'evento considerato. Esito: ciò che effettivamente si verifica quando il fenomeno accade. L'esito dunque è certo e lo si conosce solo a posteriori. Probabilità di un evento: misura del grado di fiducia che si può stabilire a priori circa il verificarsi o meno dell'evento. {1}, oppure {2}, oppure {4} esce un numero pari ={2,4,6} Tiro il dado, esce 6 P( esce 6 )=1/6; P( esce un pari }=1/2

13 Probabilità di un evento Probabilità classica : numero dei casi favorevoli diviso per il numero dei casi possibili. Si richiede che: il numero dei casi possibili sia finito i casi siano tutti ugualmente possibili

14 Esempio Ci sono due insiemi di buste : nel primo insieme ci sono 8 buste di cui 5 contenenti un premio, nel secondo insieme ci sono 10 buste di cui 7 contenenti un premio. Se dovessi pescare a caso una busta per trovare un premio in quale pescheresti? Calcoliamo

15 Un altro esercizio Scrivi a fianco di ogni urna la probabilità (espressa in frazione ed in percentuale) di estrarre una pallina bianca: 1 B 9 N 2B 7N 50B 100N 3B 1N

16 Riprendiamo gli esempi Bianche Nere Totali Prob(bianca) Prob(nera)

17 Riprendiamo gli esempi In un urna ci sono 12 palline bianche e 8 palline nere, in una seconda urna ci sono 15 palline bianche. Quante palline nere devo aggiungere come minimo nella seconda urna perché sia più conveniente pescare nero dalla seconda urna piuttosto che dalla prima? Prob(nera nella prima) =

18 Altri esercizi Un tuo compagno risolvendo un esercizio ha ottenuto come probabilità di un evento il numero 4/3. Ti sembra un risultato possibile? In un urna ci sono 5 palline nere. Quante palline bianche devi aggiungere perché la probabilità di estrarre una pallina bianca sia 2/7? E perché sia 2/3?

19 Continuiamo a sistemare quello che abbiamo capito Evento certo: quello che si verifica sempre. Ha probabilità Evento impossibile: quello che non si verifica mai. Ha probabilità

20 Combiniamo gli eventi In un sacchetto ci sono 3 caramelle alla ciliegia, 4 all arancia, 5 al miele. Qual è la probabilità di estrarre: a) Una caramella alla ciliegia; b) Una caramella all arancia; c) Una caramella alla frutta? Prob(C) = Prob(A) = Prob(C oppure A) =

21 Ancora esercizi Supponi di avere un mazzo di carte francesi. Calcola la probabilità di estrarre: a) il fante di cuori b) un fante c) una figura 2) Lanciando un dado qual è la probabilità che esca: a) Il numero 6 b) Un numero dispari c) Un numero pari? 3) A una lotteria con 120 biglietti quanti ne devi comperare per avere probabilità 1/5 di vincere un premio in palio, nell ipotesi che vengano venduti tutti?

22 E stato accertato che in una confezione di viti, 4 sono difettose. Qual é la probabilità che prendendone una a caso questa non sia difettosa? Prob(difettosa) = Prob(non difettosa) =

23 Supponi di avere un mazzo di carte francesi. Calcola la probabilità di estrarre: una carta di fiori; una figura; una carta di fiori o di cuori; una carta di fiori o una figura. Prob(fiori o cuori) = Prob(fiori o figura) =

24 Si decide di giocare a Tombola (90 numeri in un sacchetto). Calcola la probabilità che alla prima estrazione venga estratto: a) il n 12; b) un numero dispari; c) un numero primo o un numero pari; d) un numero multiplo sia di 2 che di 7

25 Una ditta mette in commercio 500 sacchetti di patatine in uno dei quali è stato inserito un gettone d argento. Due fratellini, Paolo e Luca, acquistano rispettivamente 5 e 10 sacchetti di patatine. Qual è la probabilità che: Paolo trovi un gettone? Luca trovi un gettone? Nessuno dei due trovi un gettone? Almeno uno dei due trovi un gettone? 25

26 Continuiamo a sistemare quello che abbiamo capito Due eventi si dicono complementari se uno è il contrario dell altro (e quindi insieme comprendono tutti gli eventi). La somma delle probabilità di due eventi complementari è 1 (probabilità dell evento certo).

27 Continuiamo a sistemare quello che abbiamo capito Due eventi si dicono incompatibili (o disgiunti) se quando ne accade uno non può accadere contemporaneamente l altro. La probabilità dell unione di due eventi incompatibili è la somma delle loro probabilità.

28 Continuiamo a sistemare quello che abbiamo capito Se due eventi non sono incompatibili, la probabilità della loro unione non è la somma delle loro probabilità (ma un po meno). Quanto in meno?

29 Lancio di una moneta Nel lancio di una moneta i risultati possibili sono: Testa o Croce. Lancio di due monete Quali sono i risultati possibili? E con quale probabilità? T C T TT TC C CT CC

30 Continuiamo a sistemare quello che abbiamo capito Due eventi sono indipendenti se l accadere di uno dei due non influenza l altro. La probabilità che si verifichino entrambi è il prodotto delle loro probabilità. E se non sono indipendenti?

31 Esempio 1 Calcola la probabilità di ottenere 5 teste in 5 lanci successivi di una moneta. Poiché ogni lancio è indipendente Esempio 2 Nel gioco del lotto da un urna contenente 90 palline numerate da 1 a 90 se ne estraggono cinque senza reimbussolamento. Qual è la probabilità che i cinque numeri estratti siano tutti dispari? Senza svolgere i calcoli puoi prevedere quale dei due eventi è più probabile?

32 In un sacchetto ci sono 7 penne biro uguali di cui 3 sono scariche. a) Se prendo a caso una penna qual è la probabilità che scriva? E quale che non scriva? b) Se la prima che scelgo è scarica qual è la b) Se la prima che scelgo è scarica qual è la probabilità che la seconda scriva?

33 Lancio di due dadi Consideriamo il lancio di due dadi non truccati, le cui facce sono numerate, da 1 a 6 e chiediamoci: quanti sono i casi possibili? Utilizzando delle coppie ordinate, in cui il primo numero si riferisce all esito del primo dado e il secondo numero si riferisce all esito del secondo si possono elencare tutti i casi possibili (come nella tabella seguente a doppia entrata)

34 Casi possibili (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 2 dado (1,5) (1,4) (2,5) (2,4) (3,5) (3,4) (4,5) (4,4) (5,5) (5,4) (6,5) (6,4) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 1 dado

35 Somme Se giochi a dadi al casinò, gli esiti possibili nel gioco (cioè le coppie di punteggi) sono 36. La simmetria della situazione ci suggerisce che si tratta di eventi con la stessa possibilità di verificarsi, quindi ciascuno di essi ha la probabilità di 1/36. Però il risultato che ci interessa è la somma dei punteggi dei due dadi:

36 Tabella dado dado

37 E chiaro che gli esiti non sono equiprobabili Qual è il risultato più probabile? P(2) = P(12)=1/ P(3) = P(11) =2/36 P(7) = 6/36 =1/

38 Somme Due ragazzi giocano a pari o dispari con le dita di una mano (nel gioco è escluso lo zero) Conviene puntare sul pari o sul dispari?