Probability of Simple Events

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1 Probability of Simple Events

2 vocabolario Evento: risultato di un esperimento. Spazio campionario omega Ω: insieme di tutti i casi possibili di un esperimento. Es: nel lancio di un dado: Ω={1,2,3,4,5,6} Eventi incompatibili: : non possono verificarsi insieme. Sono disgiunti ( no casi comuni) Eventi indipendenti: : se il verificarsi del primo evento non influenza il secondo. Eventi complementari : E e not E E sono complementari se l uno è la negazione all altro altro. Es: nel lancio dado: E= n<3 n<3 note= n 3 NB: la loro unione forma lo spazio campionario. La somma delle loro probabilità è 1

3 definizione classica di probabilità E=evento P(E) = numero _ Casi _ Favorevoli numero _ Casi _ Possibili Si può applicare solo se lo spazio campionario Ω soddisfa due ipotesi due ipotesi: Equiprobabile e Finito Proprietà P(E) è numero compreso fra 0 e 1 La probabilità dell evento evento certo è 1 La prob.dell dell evento evento impossibile è 0 = C.F. C.P. 0! P(E)! 1 P(Certo) = 1 P(IMP) = 0 La probabilità dell evento evento contrario note è: P(notE) = 1! P(E) P(E) + P(notE) = 1

4 Eventi complementari (contrari) Due eventi E, note sono complementari se sono l uno l opposto dell altro ( note è contrario a E ) P(E) E P(NotE) NotE Not E DA CUI: Es:E= piove note= non piove Poiché l unione l di E e not E forma lo spazio campionario La somma delle prob di E e note è 1 La probabilità dell evento contrario NotE è: 1 MENO la probabilità dell evento E

5 PROBABILITA CLASSICA La probabilita di un evento può essere espressa: Come FRAZIONE : 1/4 Come PERCENTUALE UNITARIA compresa fra 0 e 1: 0.25 come PERCENTUALE compresa fra 0% e 100% : 25%

6 LINEA DELLA PROBABILITA PROBABILITY LINE 0% 25% 50% 75% 100% 0 ¼ or.25 ½ 0r.5 ¾ or.75 1 Impossible Non molto ugualmente molto certo probabilii probabili probabili

7 Esercizi con ESPERIMENTI CLASSICI 1) Lancio di una moneta 2) Lancio di un dado 3) Estrazione di una pallina da un urna urna 4) Estrazione di una carta da un mazzo di 52 carte ( o 40 carte ) 5) eventi complementari nel mazzo di carte 6) eventi complementari nel lancio di due monete

8 1) LANCIO DI UNA MONETA Qual è la probabilità che esca TESTA? Ragiono così: Ci sono 2 casi possibili ( TESTA o CROCE) C è un 1 caso favorevole ( TESTA) La probabilità è 1 su 2 or 0.5 or 50% P(TESTA) = 1 2 LA SOMMA di tutte le probabilita è 1

9 2) LANCIO DI UN DADO a) Qual è la probabilità di ottenere 4? Ragiono: Quanti sono i Casi Possibili? Ω={1,2,3,4,5,6} ci sono 6 casi Possibili Quanti Casi Favorevoli?? 1 Caso Fav = {4} P(4) = CF CP = 1 6! 0,17 = 17% b) un numero minore di 5? Ragiono: 4 Casi Favorevoli { 1,2,3,4 } su 6 Casi Possibili P(n < 5) = CF CP = 4 6! 0,67 = 67%

10 2) LANCIO DI UN DADO 2) SPAZIO CAMPIONARIO Ω={1,2,3,4,5,6} DIAGRAMMA AD ALBERO NEI RAMI SI SCRIVONO LE PROBABILITA LA SOMMA di tutte le probabilita è =1

11 3)ESTRAZIONE DI UNA PALLINA DA URNA Un urna contiene:5 palline Rosse,3 Verdi,2 Gialle. Estraggo a caso una pallina. Qual è la probabilità di ottenere : a)una pallina Rossa Rossa? 5 C.Favorevoli su 10 b)una pallina Verde Verde? 3 C.Favorevoli su 10 P(rossa) = 5 10 P(verde) = 3 10 c)una pallina NON Verde? Evento contrario a Verde P(NotVerde) = 1! P(Verde) = 1! 3 10 = 10! 3 10 = 7 10

12 3)ESTRAZIONE PALLINA DA URNA [5R,3V,2G] Diagramma ad albero La somma delle probabilità è 1 ( evento certo )

13 4) ESTRAZIONE DI UNA CARTA DA UNA MAZZO DI 52 Carte 4 semi diversi: Fiori, Picche, Cuori e Quadri 10 carte numerate e 3 figure per ciascun seme

14 4) ESTRAZIONE DI UNA CARTA DA UNA MAZZO DI 52 Carte Qual è la probabilità di estrarre: a) Una U carta di cuori? P(Cuori) = b) Un RE? P(RE) = 4 52 c) Una carta rossa? d) una carta Non Cuori? Evento Contrario a Cuori P(NotCuori) = 1! P(Cuori) = 1! P(Rossa) = = 52!13 52 = 39 52

15 5) Esempio con Eventi complementari Estrai una carta dal mazzo di 52 carte. a) Qual è la probabilita di estrarre una figura? P( figura) = b)qual è la probabilita di NON estrarre una figura? Evento Contrario a Figura P(NotFigura) = 1! P(Figura) = 1! = 52! = 40 52

16 6) Esempio con Eventi complementari LANCIO DUE MONETE Trova la probabilità di ottenere: a) mai TESTA? ragionamento: I CASI POSSIBILI sono 4: TT TC CT CC P(mai T) = P(CC) = 1 caso favorevole su 4 risposta : P(mai T)= 1/4 b) almeno una volta TESTA? cioè (TT or CT or TC ) almeno1voltat è Evento Contrario a MaiT P(almeno1voltaT)=1 - P(MaiT) =1-1/4 = 3/4

17 PROBABILITA TOTALE REGOLA DI ADDIZIONE PROBABILITA DI A O B

18 1 caso REGOLA DI ADDIZIONE Per EVENTI incompatibili (disgiunti) Esempio guida Estrazione di 1 carta da un mazzo di 52 carte. Qual è la Probabilità di estrarre un ASSO oppure un RE? P(ASSO or RE ) = P(Asso) + P(RE) = = 4/52 + 4/52 = 8/52 Non hanno casi in comune!!!

19 1 caso REGOLA DI ADDIZIONE Per EVENTI incompatibili (disgiunti) regola A SE DUE EVENTI A, B SONO INCOMPATIBILI ( DISGIUNTI), LA PROBABILITA DI OTTENERE A OPPURE B è LA SOMMA DELLE PROBABILITA DEI SINGOLI EVENTI. P(A U B) = P(A) + P(B) O = UNIONE B Non hanno casi in comune

20 2 caso REGOLA DI ADDIZIONE PER EVENTI compatibili (non disgiunti) Esempio guida : Estraggo 1 carta da un mazzo di 52 carte Qual è la Probabilità di estrarre una carta di CUORI oppure un RE? C è 1 caso comune: il Re di Cuori Sommando P(Cuori)+P(Re) il RE di Cuori è contato due volte pertanto devo toglierlo dalla somma. P(C or R) = P(C) + P(R) - P(entrambi)= =13/52 + 4/52 1/52 = 16/52

21 2 caso: REGOLA DI ADDIZIONE PER EVENTI compatibili (non disgiunti) Se due eventi A, B sono COMPATIBILI LA PROBABILITà DI A or B ( UNIONE) è : LA SOMMA delle probabilità di ciascuno MENO la probabilità di entrambi. O = UNIONE E = INTERSEZIONE P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B)

22 RIEPILOGO : REGOLA DI ADDIZIONE 1 caso EVENTI INCOMPATIBILI disgiunti:no casi comuni A B = Probabilita totale 2 caso EVENTI COMPATIBILI Hanno casi comuni A B or P(AUB) = P(A) + P(B) P(A OR B) = Somma delle probabilità di ciascuno or And P(A U B)=P(A)+P(B)-P(A B) P(A OR B) = Somma delle probabilità di ciascuno MENO la probabilità di entrambi

23 TRY IT YOURSELF TEST 1 Estraggo una carta di un mazzo di 52 carte. Qual è la probabilità di estrarre: 1: un asso oppure una figura? 2: un asso oppure una carta Rossa? 3: una carta di picche oppure un fante?

24 ANSWER 1 TEST 1 P( Asso oppure una figura)? P(Ace)=4/52 Aces Figures P(Figure)=12/52 gli eventi sono disgiunti quindi non hanno casi in comune P(A U B) = P(A) + P(B) OR P(Asso OR Figura) = 4/52+12/52 = 16/52

25 ANSWER 2 TEST 1 P( Asso oppure carta rossa)? Aces Red cards P(Asso Asso)=4/52 P(carta rossa)=26/52 questi eventi NON SONO DISGIUNTI QUINDI hanno casi in comune ( intersezione)= 2 assi rossi P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) OR U unione AND Intersezione P(Asso OR C.rossa) = 4/52+26/52-2/52 = 28/52

26 ANSWER 3 TEST 1 P(una carta di picche oppure un fante)? P(Picche Picche)=13/52 P(fante fante)=4/52 PICCHE FANTI questi eventi NON SONO DISGIUNTI QUINDI hanno casi in comune ( intersezione)= 1 fante di picche P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) OR U unione AND Intersezione P(picche OR fante) = 13/52+4/52-1/52 = 16/52

27 TRY IT YOURSELF TEST 2 -LANCIO DADO Qual è la probabilità di estrarre: 1: un numero pari o un 5? 2: un numero pari o un numero maggiore di 3? 3: un numero pari oppure un multiplo di 3?

28 P(pari! o! 5) = = 4 6 ANSWER 1 TEST 2 -LANCIO DADO : un numero pari o un 5? Sono disgiunti? SI, sono incompatibili P(A U B) = P(A) + P(B)

29 ANSWER 2 TEST 2 -LANCIO DADO : un numero pari o un numero maggiore di 3? Sono disgiunti? NO : hanno 2 casi in comune P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) P(pari _ OR _ N > 3) = ! 2 6 = 4 6

30 ANSWER 3 TEST 2 -LANCIO DADO : un numero pari oppure un multiplo di 3? Sono disgiunti? NO : hanno 1 caso in comune P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) P(pari _OR _ multiplo3) = ! 1 6 = 4 6