Calcolo delle Probabilità

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1 Calcolo delle Probabilità pr - 1 Che collegamento c è tra gli strumenti statistici per lo studio dei fenomeni reali e il calcolo delle probabilità? Vedremo che non sempre la conoscenza delle caratteristiche di un fenomeno può essere conseguita osservando tutta la popolazione ma deve essere estratto un campione (rilevazione parziale) La STATISTICA INDUTTIVA o INFERENZIALE intende descrivere non tanto ciò che traspare dalle manifestazioni osservate (rilevazioni parziali), ma quello che emergerebbe qualora la rilevazione fosse estesa all insieme di tutte le manifestazione del fenomeno. L incertezza che deriva dalla parzialità della rilevazione è dominata dalla TEORIA DELLE PROBABILITÀ pr -

2 TERMINOLOGIA EVENTI: entità caratterizzate da aleatorietà, qualcosa che può verificarsi oppure no La Juventus vincerà il campionato anche quest anno? Gli eventi si indicano con le lettere maiuscole dell alfabeto latino = La Juventus vincerà il campionato anche quest anno Si chiama evento complementare ad E il verificarsi di tutto ciò che non è E e si indica con E = La Juventus non vincerà il campionato quest anno Si indica con la lettera dell alfabeto greco l insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento, per esperimento si intende una prova il cui esito è incerto. Viene anche chiamato evento certo o spazio campionario =Vincerà la Juve, E =Vincerà la Lazio, E 3 =Vincerà la Roma, E 4 =Vincerà il Parma, E 5 =Vincerà il Milan. è l insieme di tutti gli eventi E i, per i=1,.,18 pr - 3 TERMINOLOGIA Al verificarsi di un evento verrà associata una PROBABILITA P( )=Probabilità che la Juventus vinca il campionato Se chiedessimo di assegnare questa probabilità a un tifoso della Juve, a un tifoso dell Inter (che pensa sempre che quest anno sia quello buono), a un tifoso del Torino, o a una persona oggetiva, tecnicamente preparata a livello calcistico otterremmo 4 valori diversi di probabilità Come è possibile assegnare correttamente la probabilità agli eventi? pr - 4

3 PROPRIETA FORMALI La probabilità non è mai un numero negativo, verrà assegnata probabilità 0 agli eventi che ci si aspetta che non si verifichino (evento quasi impossibile) e probabilità 1 agli eventi che ci si aspetta che si verifichino (evento quasi certo) Siccome ogni evento è contenuto in 0 < P(E i ) < P( P()=P( tutto quello che può accadere )=P( evento certo )=1 E i pr - 5 PROPRIETA FORMALI Se due eventi e E non possono verificarsi contemporaneamente (la loro intersezione coincide con l insieme vuoto) diremo che sono incompatibili, E E P( E E ) Probabilità che vinca il campionato la Juve e anche l Inter? Siccome non possono vincere entrambe, gli eventi sono incompatibili, la probabilità della loro intersezione è uguale a 0 pr - 6

4 PROPRIETA FORMALI Se si vuole calcolare la probabilità che si verifichi l evento oppure l evento E ( unito E ) e i due eventi sono incompatibili allora la probabilità dell unione è uguale alla somma delle probabilità PE ( E) PE ( ) PE ( ) 1 1 Probabilità che vinca il campionato una squadra romana? Siccome non possono vincere entrambe, gli eventi sono incompatibili, la probabilità della loro unione è uguale alla probabilità che vinca la Roma, più la probabilità che vinca la Lazio. pr - 7 ASSIOMI E possibile riassumere quanto visto fino ad ora negli assiomi di Kolmogorov 1. E, P( E) 0. P( ) 1 3. Se E E allora P( E E ) P( E ) P( E ) pr - 8

5 ALCUNE REGOLE EE quindi P( E) P( E) 1 e dunque PE ( ) 1 PE ( ) Se E E 1 allora P( E E ) P( E ) P( E ) P E E pr - 9 EVENTI ELEMENTARI Insiemi contenenti un solo elemento In generale lo spazio campionario viene descritto in termini di eventi elementari 1,,..., n Se gli eventi elementari sono tutti equiprobabili, cioè P 1 P... P n Allora la probabilità di un evento qualsiasi E composto da più eventi elementari P E # casi favorevoli (all'evento) # casi possibili (dell'esperimento) pr - 10

6 PROBABILITA CONDIZIONATA Dati due eventi ed E di cui se ne conoscono le probabilità P( ) e P(E ) ci chiediamo se la probabilità del verificarsi dell uno varia sapendo che si è verificato l altro PE ( E) PE ( E) con PE ( ) PE ( ) ESEMPIO: Lancio di un dado = estrarre un numero pari ; E = estrarre un numero >=4 P( ) =3/6 ; P(E )=3/6 La probabilità di estrarre un numero pari cambia se si sa che il numero estratto è >=4? PE ( 1 E) P(4,6) /6 1 PE ( 1 E) PE ( ) P( 4,5,6 ) pr - 11 EVENTI INDIPENDENTI Due eventi e E si diranno indipendenti se la probabilità del verificarsi dell uno rimane invariata sapendo che si è verificato l altro, cioè P( E E ) P( E ) e P( E E ) P( E ) PE ( 1 E) PE ( 1) PE ( ) Se due eventi sono indipendenti PE ( Infatti 1 E) PE ( 1 E) P( E1 E) = P( E1) e P( E E1) = P( E) PE ( ) PE ( ) ESEMPIO: Mazzo di 40 carte = estrarre una carta di denari P( ) = 10/40 ; E = estrarre un asso P(E )=4/40 La probabilità di estrarre una carta di denari cambia se si sa che la carta estratta è un asso? PE ( 1 E) P(asso di denari) PE ( 1 E) PE ( ) P(asso) PE ( 1E) PE ( 1) PE ( ) pr - 1

7 EVENTI INDIPENDENTI ESEMPIO : Mazzo di 40 carte = estrarre una carta di denari P( ) = 10/40 ; E = estrarre una figura P(E )=1/40 La probabilità di estrarre una carta di denari cambia se si sa che la carta estratta è una figura? PE ( 1 E) P(figura di denari) PE ( 1 E) PE ( ) P(figura) PE ( 1E) PE ( 1) PE ( ) denari non denari figura non figura condizionate di riga denari non denari figura non figura pr - 13 LEGGI DI DE MORGAN E E E E 1 1 E E E E 1 1 L operazione di complementazione scambia l operazione di unione con l operazione di intersezione e viceversa pr - 14