P (F E) = P (E) P (F E) = = 25

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1 Regola del prodotto Conoscete la definizione di probabilità condizionata. Definizione 1. Siano E e F due eventi di uno spazio campionario S. Supponiamo P (F ) > 0. La probabilità condizionata dell evento E dato l evento F è indicata con P (E F ) ed è definita nel seguente modo: (1) P (E F ) P (E F ). P (F ) Se nella formula (1) moltiplichiamo entrambi i lati della equazione per P (F ), otteniamo la seguente relazione che viene detta regola del prodotto: (2) P (E F ) P (F ) P (E F ) per ogni evento E, F di uno spazio campionario S. Esempio 1. Da un mazzo di 52 carte vengono estratte due carte a caso (senza rimpiazzarle). Calcoliamo la probabilità che la prima carta sia di quadri e la seconda sia rossa. Indichiamo con E l evento: la prima carta è da quadri, e con F l evento: la seconda carta è rossa. Ora, nel mazzo ci sono 52 carte di cui 13 sono da quadri quindi Se abbiamo estratto una carta da quadri, a questo punto nel mazzo restano solamente 51 carte di cui 25 sono rosse. Quindi P (F E) Per la regola del prodotto (2) otteniamo: P (F E) P (F E) Albero della probabilità Molti esperimenti consistono in una sequenza di due o più eventi. Un albero della probabilità fornisce un utile strumento per definire strutturalmente le relazioni tra questi eventi e per calcolare le probabilità associate ai possibili risultati. L albero della probabilità per l Esempio 1 è dato nella seguente figura. prima carta 13 1 Ē : non-quadri E : quadri 1 seconda carta rossa nera rossa nera

2 2 Esempio 2. Da un urna contenente 4 palline bianche (B), 3 gialle (G) e 1 verde (V) vengono estratte 2 palline una alla volta, senza riinserire la prima dopo averla estratta. Calcoliamo la probabilità che venga estratta una pallina bianca e una gialla. prima estrazione seconda estrazione 2/7 G 3/8 1/2 1/8 G B V 4/7 B 1/7 V 3/7 G 3/7 B 1/7 V 3/7 G 4/7 B 0 V L evento considerato può essere ottenuto in due modi (incompatibili). Possiamo estrarre una pallina bianca alla prima estrazione e una gialla alla seconda, o viceversa. Nel primo caso dobbiamo calcolare P (B alla prima estrazione) P (G alla seconda estrazione) P (B) P (G B). Poiché ci sono 8 palline in tutto di cui 4 bianche P (B) Dopo avere estratto una pallina bianca nell urna restano solo più 7 palline di cui 3 gialle, quindi Di conseguenza P (G B) 3 7. P (B alla prima estrazione) P (G alla seconda estrazione) Analogamente per calcolare la probabilità nel secondo caso dobbiamo calcolare P (G alla prima estrazione) P (B alla seconda estrazione) P (G) P (B G). In questo caso abbiamo P (G) 3 8 P (B G) 4 7, quindi P (G alla prima estrazione) P (B alla seconda estrazione)

3 Quindi la probabilità che venga estratta una pallina bianca e una gialla è data dalla somma di queste due probabilità: Commenti Si presti molta attenzione al significato dei simboli (nella mia esperienza, spesso gli studenti li confondono): A B rappresenta l intersezione di A e B. Quindi P(A B) rappresenta la probabilità che avvengano entrambi gli eventi A e B. Nell esempio precedente, chiamando G 1 l evento che alla prima estrazione si estragga una pallina gialla, e B 2 quello che si estragga una pallina bianca alla seconda estrazione, P(G 1 B 2 ) è la probabilità di estrarre una pallina gialla alla prima e una bianca alla seconda, ossia per quanto visto sopra. Invece P(A B) rappresenta la probabilità dell evento A sapendo che l evento B si è verificato. E una nuova probabilità data all evento A sulla base di ulteriori informazioni (il verificarsi di B). Quindi in questo caso P(B 2 G 1 ) 4. 7 Un osservazione sorprendente è che possiamo calcolare anche P(G 1 B 2 ), ossia la probabilità di estrarre una pallina gialla alla prima estrazione, sapendo che se ne è estratta una bianca alla seconda. Usando la definizione (1), otteniamo (3) P(G 1 B 2 ) P(G 1 B 2 ) P(B 2 ) 3 14 P(B 2 ). Possiamo calcolare P(B 2 ), usando le regole della somma e del prodotto, come somma delle probabilità di tutti i rami che conducono a B 2 (vedi la figura dell Esempio 2): (4) P(B 2 ) P(G 1 B 2 ) + P(B 1 B 2 ) + P(V 1 B 2 ) Sostituendo (4) in (3), otteniamo (5) P(G 1 B 2 ) Osserviamo quindi che la nostra valutazione della probabilità di G 1 (che era uguale a 1 in mancanza di ulteriori informazioni) è stata modificata dall informazione che B 2 si è verificata. Ciò può sembrare assurdo: come può un evento 2 verificatosi dopo (l estrazione della seconda pallina) modificare la situazione alla prima estrazione? La risposta è che la probabilità condizionata non ha a che vedere con influenze causali, ma solo con il flusso informativo: se noi sappiamo che alla seocnda estrazione è stata estratta una certa pallina, quella non può essere 3

4 4 stata estratta alla prima. Basta pensare alla pallina verde: se noi sappiamo che la pallina verde è stata estratta nella seconda estrazione, siamo certi che non sia stata estratta alla prima. Dalle formule (4) e (5) si può notare anche una certa simmetria: P(B 2 ) 1 2 P(B 1) [Se non abbiamo ulteriori informazioni, le nostre stima per la seconda estrazione non hanno motivo di essere diverse da quelle per la prima estrazione...] e P(G 1 B 2 ) 3 7 P(B 2 G 1 ) [conoscere il risultato di un estrazione ci assicura che una data pallina non può essere stata estratta nelle altre estrazioni, indipendentemente dal loro ordine] Queste osservazioni sono alla base di molti princippi della logica induttiva, formalizzati nella formula di Bayes, come esposta sotto con vari esempi. La formula di Bayes In questa parte consideriamo esperimenti il cui spazio campionario può essere diviso o partizionato in due o più eventi incompatibili. Tale studio implica ulteriori applicazioni della probabilità condizionata e ci porta alla formulazione della formula di Bayes. Esempio 3. Consideriamo due urne. L Urna 1 contiene 4 palline nere e 7 palline bianche, l Urna 2 contiene 3 palline nere, 1 bianca e 4 gialle. Calcoliamo la probabilità di pescare una pallina nera scegliendo un urna a caso e poi pescando una pallina. Co nsideriamo gli eventi U 1 : viene scelta l Urna 1 U 2 : viene scelta l Urna 2 N : viene estratta una pallina nera B : viene estratta una pallina bianca G : viene estratta una pallina gialla. La seguente figura può dare una idea della possibile soluzione. 7/11 B 1/2 1/2 U 1 U 2 4/11 N : P (N) /8 B 3/8 N : P (N) /8 G Sappiamo che P (U 1 ) P (U 2 ) 1 2

5 5 mentre P (N U 1 ) 4 11, P (N U 2) 3 8. Notiamo inoltre che l evento N può essere riscritto come: N (N U 1 ) (N U 2 ). Poiché N U 1 e N U 2 sono disgiunti otteniamo P (N) P ((N U 1 ) (N U 2 )) P (N U 1 ) + P (N U 2 ). Inoltre dalla regola del prodotto (2) sappiamo che Quindi P (N U 1 ) P (N U 1 ) P (U 1 ), P (N U 2 ) P (N U 2 ) P (U 2 ) P (N) P (N U 1 ) P (U 1 ) + P (N U 2 ) P (U 2 ) , 369. Definizione 2. Siano A 1 e A 2 due eventi incompatibili di uno spazio campionario S tali che l unione di A 1 e A 2 forma tutto S. Ovvero A 1 A 2 A 1 A 2 S A 1 A 2. In questo caso diciamo che A 1 e A 2 formano una partizione di S. Ora, sia E un qualsiasi evento dello spazio campionario S. Possiamo scrivere E nella seguente forma: E (E A 1 ) (E A 2 ). Gli insiemi E A 1 e E A 2 sono disgiunti, quindi la probabilità di E è data da (6) P (E A 1 ) + P (E A 2 ) P (A 1 ) P (E A 1 ) + P (A 2 ) P (E A 2 ). La precedente formula è utilizzata per trovare la probabilità di un evento di uno spazio campionario partizionato in due insiemi A 1 e A 2. Esempio 4. Una serie di persone è sottoposta a un test per potere accedere a una scuola di medicina. Supponiamo che l 80% di tali persone sia adatta alla scuola, mentre il 20% non lo sia. Per facilitare il processo di selezione, il test viene studiato in modo tale che una persona effettivamente adatta alla scuola passi il test nel 90% dei casi, mentre una persona non adatta passi il test nel 30% dei casi. Calcoliamo la probabilità che una persona sottoposta al test lo passi. Indichiamo con S lo spazio campionario costituito dalle persone sottoposte al test. Questo può essere partizionato in due insiemi: evento A 1 : persone adatte, evento A 2 : persone non adatte.

6 6 Gli eventi A 1 e A 2 sono ovviamente disgiunti e la loro unione forma tutto S. Indichiamo con E l evento: la persona passa il test. Ora Per la formula (6) otteniamo P (A 1 ) 0, 8 P (A 2 ) 0, 2 P (E A 1 ) 0, 9 P (E A 2 ) 0, 3 P (A 1 ) P (E A 1 ) + P (A 2 ) P (E A 2 ) (0, 8) (0, 9) + (0, 2) (0, 3) 0, 78. Quindi la probabilità che una persona sottoposta al test lo passi è del 78%. Se noi partizioniamo l insieme S in tre insiemi A 1, A 2, A 3 in modo tale che S A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 2 A 3 A 1 A 3 A 1 A 2 A 3, possiamo scrivere ogni evento E dello spazio campionario S nella forma E (E A 1 ) (E A 2 ) (E A 3 ). Poichè E A 1, E A 2 e E A 3 sono disgiunti, la probabilità dell evento E è (7) P (E A 1 ) + P (E A 2 ) + P (E A 3 ) P (A 1 ) P (E A 1 ) + P (A 2 ) P (E A 2 ) + P (A 3 ) P (E A 3 ). Analogamente a prima, la Formula (7) è utilizzata per calcolare la probabilità di un evento E di uno spazio campionario partizionato in tre insiemi. Esempio 5. Tre macchinari di una ditta, macchinario I, II e III, producono rispettivamente il 40%, 50% e 10% della produzione totale. Le percentuali di prodotti difettati prodotti dai macchinari I, II e III sono rispettivamente il 2%, 4% e 1%. Calcoliamo la probabilità che un oggetto preso a caso sia difettato. In questo esempio lo spazio campionario è partizionato in tre insiemi A 1 : l oggetto è prodotto dal macchinario I A 2 : l oggetto è prodotto dal macchinario II A 3 : l oggetto è prodotto dal macchinario III. Ovviamente gli eventi A 1, A 2 e A 3 sono incompatibili e la loro unione da tutto S. Sia E l evento: l oggetto è difettato. Ora P (A 1 ) 0, 4 P (A 2 ) 0, 5 P (A 3 ) 0, 1 P (E A 1 ) 0, 02 P (E A 2 ) 0, 04 P (E A 3 ) 0, 01 Usando la Formula (7) otteniamo (0, 4) (0.02) + (0, 5) (0.04) + (0, 1) (0.01) 0, , , 001 0, 29. Lo stesso probabilità può essere ricavata dal seguente albero delle probabilità

7 7 0, 4 A 1 0, 5 A 2 0, 1 A 3 0, 02: difettati 0, 008 0, 98: non difettati 0, 04: difettati 0, 020 0, 96: non difettati 0, 001 0, 01: difettati 0, 99: non difettati Probabilità totale difettati: 0, 029 Definizione 3. Un insieme S è partizionato in n sottoinsiemi A 1, A 2,..., A n se : (8a) (8b) (8c) L intersezione di due qualsiasi sottoinsiemi è vuota Ogni sottoinsieme è non vuoto A 1 A 2 A n S Sia S uno spazio campionario e siano A 1, A 2,..., A n eventi che formano una partizione di S. Allora E (E A 1 ) (E A 2 ) (E A n ). Ovviamente anche gli insiemi E A 1,..., E A n sono a due a due disgiunti, quindi P (E A 1 ) + P (E A 2 ) + + P (E A n ). Usando la definizione di probabilità condizionata otteniamo (9) P (A 1 ) P (E A 1 ) + P (A 2 ) P (E A 2 ) + + P (A n ) P (E A n ) Esempio 6. Consideriamo nuovamente l Esempio 4. Supponiamo che una persona passi il test e calcoliamo la probabilità che essa sia effettivamente adatta alla scuola. Si tratta quindi di calcolare P (A 1 E). Per la definizione di probabilità condizionata abbiamo P (A 1 E) P (A 1 E) P (A 1) P (E A 1 ). Ora è data dalla Formula (9) con n 2, o equivalentemente da (6), quindi P (A 1 ) P (E A 1 ) (10) P (A 1 E) P (A 1 ) P (E A 1 ) + P (A 2 ) P (E A 2 ). In base ai dati ricavati nell Esempio 27 otteniamo P (A 1 E) (0, 8) (0, 9) 0, 78 0, 72 0, 78 0, 923. Il test di ammissione è quindi piuttosto attendibile: solamente l 8% delle persone che passano il test è infatti non adatta alla scuola. La Formula (10) è un caso particolare della Formula di Bayes, per un insieme S partizionato in due insiemi A 1 e A 2. La formula generale è data dalla seguente proprietà

8 8 Proprietà 1 (Formula di Bayes). Sia S uno spazio campionario partizionato in n eventi A 1,... A n. Sia E un evento di S tale che > 0. Allora la probabilità dell evento A j (j 1,..., n) dato l evento E è: (11) P (A j E) P (A j) P (E A j ) P (A j ) P (E A j ) P (A 1 ) P (E A 1 ) + + P (A n ) P (E A n ) Esempio 7. Una certa ditta automobilistica ha tre linee di produzione. La Linea I produce il 33% delle automobili, la Linea II il 20% e la Linea III il restante 45%. Inoltre riespettivamente l 1% il 18% e il 2% delle automobili prodotte dalla Linea I, II e III è difettato. Tale ditta produce annualmente automobili. Una automobile è scelta a caso tra tutte quelle prodotte in un anno ed è trovata difettata. Calcoliamo la probabilità che provenga dalla Linea I (o dalla Linea II, o dalla linea III). Definiamo i seguenti eventi E : l automobile è difettata A 1 : l automobile proviene dalla Linea I A 2 : l automobile proviene dalla Linea II A 3 : l automobile proviene dalla Linea III Sappiamo che P (A 1 ) 0, 35, P (E A 1 ) 0, 010 P (A 2 ) 0, 20, P (E A 2 ) 0, 018 P (A 3 ) 0, 45, P (E A 3 ) 0, 020, dove P (E A 1 ) indica la probabilità che l automobile sia prodotta dalla Linea I se sappiamo che è difettata, e analogamente per P (E A 2 ) e P (E A 3 ). Ora P (A 1 E) è l evento: prodotta dalla Linea I e difettata P (A 2 ) E) è l evento: prodotta dalla Linea II e difettata P (A 3 ) E) è l evento: prodotta dalla Linea III e difettata Per la definizione di probabilità condizionata sappiamo che P (A 1 E) P (A 1 ) P (E A 1 ) (0, 35) (0, 010) 0, 0035 P (A 2 ) E) P (A 2 ) P (E A 2 ) (0, 20) (0, 018) 0, 0036 P (A 3 ) E) P (A 3 ) P (E A 3 ) (0, 45) (0, 020) 0, 0090 Dal momento che E (A 1 E) (A 2 E) (A 3 E) otteniamo P (A 1 E) + P (A 2 ) E) + P (A 3 ) E) 0, , , , Quindi la probabilità che l automobile scelta sia difettata è di 0, Supposta l automobile difettata, la probabilità che provenga dalla linea I è data da P (A 1 ) P (E A 1 ) P (A 1 E) P (A 1 ) P (E A 1 ) + P (A 2 ) P (E A 2 ) + P (A 3 ) P (E A 3 ) P (A 1) P (E A 1 ) (0, 35) (0, 01) 0, , 217

9 9 Analogamente e P (A 2 E) P (A 2) P (E A 2 ) P (A 3 E) P (A 3) P (E A 3 ) 0, 036 0, 224, 0, , 090 0, , 0161