Ψ PSICOMETRIA. Corso di laurea triennale (classe 34) STATISTICA INFERENZIALE

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1 Ψ PSICOMETRIA Corso di laurea triennale (classe 34) STATISTICA INFERENZIALE

2 STATISTICA INFERENZIALE CAMPIONE caratteristiche conosciute POPOLAZIONE caratteristiche sconosciute

3 STATISTICA INFERENZIALE STIMA DEI PARAMETRI VERIFICA DELL IPOTESI

4 STATISTICA INFERENZIALE Teoria della verifica dell ipotesi : si verifica, in termini probabilistici, se una certa affermazione relativa alla popolazione è da ritenersi vera sulla base dei dati campionari Teoria della stima dei parametri: si stabilisce, in termini probabilistici, il valore numerico di uno o più parametri incogniti della popolazione a partire dai dati campionari

5 VERIFICA DELL IPOTESI Per verificare un ipotesi sulla popolazione 1 Estraggo un campione in modo casuale 2 Misuro sul campione la statistica che definisce la mia ipotesi 3 Con la STATISTICA INFERENZIALE definisco, in termini probabilistici, la validità della mia ipotesi sulla popolazione a partire dalle statistiche del campione

6 STIMA DEI PARAMETRI Per conoscere le caratteristiche della popolazione 1 Estraggo un campione in modo casuale 2 Misuro la statistica sul campione 3 Con la STATISTICA INFERENZIALE definisco, in termini probabilistici, il parametro della popolazione a partire dalla statistica del campione

7 Ψ PSICOMETRIA Corso di laurea in Valutazione e Consulenza clinica (classe 34) PROBABILITA

8 Fenomeni aleatori (o casuali o non deterministici) un qualsiasi esperimento la cui osservazione non porta sempre allo stesso risultato un fenomeno in cui non c è regolarità deterministica Esempio: Nel LANCIO di una MONETA non truccata non possiamo prevedere quale faccia si otterrà = esperimento aleatorio

9 Il calcolo delle probabilità fornisce le regole per associare ad ogni possibile evento/risultato di un esperimento aleatorio un valore numerico che ne indichi il grado di avverabilità Tale valore numerico viene chiamato PROBABILITA dell evento

10 SPAZIO CAMPIONARIO (S ) Insieme degli eventi possibili (o dei possibili risultati) di un esperimento casuale Nel LANCIO di una MONETA lo spazio campionario è costituito da due possibili eventi/risultati: testa o croce nel LANCIO di un DADO da sei possibili eventi/risultati: 1,2,3,4,5,6

11 EVENTO sotto-insieme dello spazio campionario SEMPLICE: dato da un solo evento COMPOSTO: dato da più eventi semplici Esempio Nel LANCIO di una DADO il risultato 5 è un evento semplice; il risultato numero pari è un evento composto da tre eventi semplici: 2,4,6.

12 verificarsi di un evento A (semplice o composto) NON verificarsi di un evento A (semplice o composto) SUCCESSO INSUCCESSO p(a) q(a)

13 Dato uno spazio campionario e un evento A entro tale spazio, la probabilità associata ad esso è sempre compresa tra 0 e 1 0 < p(a) < 1

14 Se p(a) = 0 A = evento impossibile Se p(a) = 1 A = evento certo S può essere considerato un evento costituito da tutti gli eventi possibili S è l evento certo p(s)=1 ovvero la somma di tutte le singole probabilità associate a ciascun evento possibile è 1

15 EVENTO A [non A ] = insieme di eventi entro lo spazio campionario diversi da A p (A) + p(a ) = 1 p(a = ) 1 p(a)

16 PROBABILITA A PRIORI (Definizione classica ) Se un evento si può verificare in f modi diversi su n possibili, essendo questi tutti ugualmente possibili (equiprobabili) la probabilità di questo evento è f/n

17 La probabilità di un evento (A) è data dal rapporto tra il numero degli eventi favorevoli, o successi, (f) e il numero degli eventi ugualmente possibili (n) f p (A) = n

18 La probabilità può essere espressa come una proporzione (sotto forma di frazione o numero decimale compreso tra 0 e 1) La probabilità può essere espressa anche in termini percentuali [p 100] (se, per esempio, p=.45 possiamo dire che la probabilità è del 45%)

19 PROBABILITA A POSTERIORI o EMPIRICA (Definizione frequentista) La probabilità di un evento (A) è uguale alla frequenza (f) dei successi in n di prove (con n sufficientemente grande) ripetute nelle medesime condizioni

20 Se dopo aver ripetuto un esperimento casuale un numero n elevato di volte, l evento A si verifica f volte La probabilità è data dal limite cui tende il rapporto tra successi e prove (proporzione di successi a lungo termine) p(a) = lim n f n

21 n lanci p( ) /6= /10 = /20 = /50= /100= /1000=

22 (p) 1 0,75 0,5 0, n lanci Probabilità di ottenere CROCE tende a 0.5 se n è grande

23 Esempio 1 Lancio MONETA (esperimento casuale): S = Testa o Croce (2 eventi possibili) Se A=croce A = testa 1 1 p (A) = = 0.5 p (A ) = = p (A) + p(a =+ ) = p(a = ) 1 p(a) 1 = 1 2

24 Esempio 2 Lancio DADO (esperimento casuale): S = 1,2,3,4,5,6 (6 eventi possibili) Evento semplice: A=3 A = 1,2,4,5,6 1 5 p (A) = = 0.17 p (A') = = p (A) + p(a =+ ) = 1 p(a = ) 1 p(a) =

25 Esempio 2 Evento composto: A= numero pari (3 eventi possibili) 3 p (A) = = A = numero dispari (3 eventi possibili) 3 p (A ) = = 0.5 6

26 Esempio 3 Estrazione CARTA (mazzo da 40) S = 1,2,3 fante, regina, re 1,2,3 fante, regina, re 1,2,3 fante, regina, re 1,2,3 fante, regina, re (40 eventi possibili) Evento 1 semplice: A= asso 39 di (A) q (A) = = 0. cuori 40 p = =

27 Esempio 3 Evento composto: A= carta di cuori (10 eventi possibili) p (A) = = 0.25 q (A) = = p( A) + q( A) = + = q(a) = 1 p(a) =

28 Dati due eventi (evento A e evento B), possono verificarsi l uno o l altro: A o B [A B ] entrambi: A e B [A B]

29 A e B si dicono mutuamente escludentisi (o incompatibili) se: A B = A B

30 Se A e B sono mutuamente escludentisi non possono verificarsi contemporaneamente poiché il verificarsi dell uno esclude il verificarsi dell altro non hanno elementi in comune

31 Esempio In un lancio di un dado, l evento n pari e l evento n dispari l uno esclude l altro e non hanno elementi in comune (2,4,6 1,3,5) Nell estrazione di una carta da un mazzo da 40, l evento carta di cuori e l evento carta di fiori ( )

32 A e B si dicono non mutuamente escludentisi (o compatibili) se: A B A A B B

33 Se A e B sono non mutuamente escludentisi possono verificarsi contemporaneamente poiché il verificarsi dell uno non esclude il verificarsi dell altro hanno elementi in comune

34 Esempio In un lancio di un dado, l evento n pari e l evento n maggiore o uguale a 4 l uno non esclude l altro poiché i due eventi hanno elementi in comune (2,4,6 4,5,6) Nell estrazione di una carta da un mazzo da 40, l evento carta di fiori e l evento figura (A,2,3,4,5,6,7,F,D,R F,D,R F,D,R F,D,R F,D,R )

35 La probabilità di A B (verificarsi disgiunto di A e B) deve essere calcolata stabilendo se gli eventi sono mutuamente escludentisi non mutuamente escludentisi

36 Dati due eventi A e B mutuamente escludentisi p (A B) = p(a) + p(b)

37 Esempio 1 Lanciando un dado, quale è la probabilità che si ottenga 6 oppure 2? Gli eventi 6 e 2 sono mutuamente escludentisi (il verificarsi dell uno esclude il verificarsi dell altro) p(2 6) = p(2) = + = p(6) =

38 Esempio 2 Quale è la probabilità di estrarre a caso un re di fiori oppure un fante di cuori da un mazzo di carte da 40? R e F sono mutuamente escludentisi (il verificarsi dell uno esclude il verificarsi dell altro): p(r F) = 1 1 = p(r) + 1 = 20 p(f) =

39 Dati tre eventi A, B e C mutuamente escludentisi p (A B C) = p(a) + p(b) + p(c) Dati k eventi mutuamente escludentisi p (A B K) = p(a) + p(b) + + p(k)

40 Esempio Lanciando un dado, quale è la probabilità che si ottenga 2 oppure 6 oppure 3? Gli eventi 2, 6 e 3 sono mutuamente escludentisi (il verificarsi di uno esclude il verificarsi degli altri): p(2 6 3) = p(2) + p(6) + p(3) = =

41 Dati due eventi A e B non mutuamente escludentisi p(a B) = p(a) + p(b) p(a B)

42 Esempio Lanciando un dado, quale è la probabilità che si ottenga un numero minore di 3 oppure un numero dispari? <3 e dispari non sono mutuamente escludentisi : < 3 Dispari Dispari e < 3

43 Esempio P(<3 disp) = p(<3) + p(disp) - p (<3 disp) = = La probabilità di 1 viene conteggiata due volte una si toglie p (disp) = p ( < 3 disp) = 1 6 p ( < 3) = 2 6

44 A e B si dicono indipendenti se il verificarsi di A non influenza il verificarsi di B sapere che A si è verificato non da informazioni sul verificarsi di B (o non modifica il verificarsi di B)

45 Esempio Due estrazioni di una carta da un mazzo RIMETTENDO la 1 carta estratta nel mazzo evento A = 1 estrazione e evento B= 2 estrazione sono indipendenti il risultato ottenuto con la 1 estrazione non modifica il possibile risultato della seconda

46 A e B si dicono dipendenti se il verificarsi di A influenza il verificarsi di B sapere che A si è verificato da informazioni sul verificarsi di B (o modifica il verificarsi di B)

47 Esempio Due estrazioni di una carta da un mazzo SENZA RIMETTERE la 1 carta estratta nel mazzo evento A = 1 estrazione e evento B= 2 estrazione sono dipendenti il risultato ottenuto con la 1 estrazione modifica il possibile risultato della seconda

48 ESTRAZIONE CON REINSERIMENTO(o REIMMISSIONE): non si modifica il n degli eventi possibili (spazio campionario) e il n degli eventi favorevoli (successi) ESTRAZIONE SENZA REINSERIMENTO (o REIMMISSIONE): si modifica il n degli eventi possibili (spazio campionario) e, talvolta, il n degli eventi favorevoli (successi)

49 Esempio Dato un mazzo di carte da 40 sia evento A = un asso alla 1 estrazione; evento B = un asso alla 2 estrazione. Determinare la probabilità di A e B nel caso in cui vi sia reinserimento Determinare la probabilità di A e B nel caso in cui non vi sia reinserimento

50 Esempio Reinserendo la carta della 1 estrazione, non si modifica lo spazio campionario (= 40 sia nella 1 che nella 2 estrazione) e il numero degli eventi favorevoli (sempre = 4) Il verificarsi o non verificarsi di A non modifica la probabilità di B: p(a)=4/40, sia che sia stato estratto un asso o non stato estratto p(b)=4/40

51 Esempio Non reinserendo la carta della 1 estrazione, si modifica lo spazio campionario (= 40 nella 1 39 nella 2 ) e, nel caso in cui A si verifica, si modifica anche il numero degli eventi favorevoli (= 4 nella 1 3 nella 2 ) : p(a)=4/40, se non è stato estratto un asso p(b)=4/39 se è stato estratto un asso p(b)=3/39

52 La probabilità di A B (verificarsi congiunto di A e B) deve essere calcolata stabilendo se gli eventi sono indipendenti dipendenti

53 Dati due eventi A e B indipendenti p (A B) = p(a) p(b)

54 Esempio 1 Lanciando due volte un dado (o due dadi), quale è la probabilità che si ottenga 2 come somma dei risultati? L evento somma=2 è dato dal verificarsi congiunto di 1 con il 1 lancio e 1 con il 2, dove i 2 lanci sono indipendenti: p(1 1) = p(1) p(1) = = =

55 Esempio 2 Quale è la probabilità di estrarre due re da un mazzo di carte da 40 reinserendo la carta estratta? I due eventi sono indipendenti (il realizzarsi dell uno non influisce sul verificarsi dell altro): p(r R ) = p(r ) p(r ) = = =

56 Dati tre eventi A, B e C indipendenti p (A B C) = p(a) p(b) p(c) Dati k eventi indipendenti p (A B K) = p(a) p(b) p(k)

57 Esempio 1 Lanciando tre volte un dado (o tre dadi), quale è la probabilità che si ottenga 3 come somma dei risultati? p(1 1 = 6 L evento somma=3 è dato dal verificarsi congiunto di 1 con il 1 lancio, 1 con il 2 e 1 con il 3, dove i 3 lanci sono indipendenti: 1 1) = p(1) p(1) = p(1) =

58 Dati due eventi A e B dipendenti p (A B) = p(a) p(b A) dove p(b\a) = probabilità di B posto che A si sia verificato

59 Esempio 1 Quale è la probabilità di estrarre in sequenza un re e un asso da un mazzo da 40 senza reinserire la carta estratta? I due eventi sono dipendenti (il realizzarsi dell uno influisce sul verificarsi dell altro modificando lo spazio campionario): p(r A) = p(r) p(ar) = = =

60 Esempio 2 Quale è la probabilità di estrarre due re da un mazzo di carte da 40 senza reinserire la carta estratta? Il realizzarsi del 1 evento influisce sul verificarsi dell altro modificando lo spazio campionario e il n degli eventi favorevoli: p(r R ) = 1 2 p(r ) p(r R ) = = =

61 CONDIZIONATA La probabilità di un evento B supposto il verificarsi di un altro evento A, ovvero la probabilità di verificarsi di B sapendo che si è già verificato A, è detta condizionata p(b A) = p(a B) p(a) ricordando che p (A B) = p(a) p(b A)

62 Esempio Lanciando due dadi qual è la probabilità di avere almeno un due posto che la somma ottenuta è sei? Se A = somma sei e B = almeno un due devo calcolare p(b A)

63 Esempio Con due dadi sei lo si può ottenere in 5 modi diversi (5,1;1,5;4,2;2,4;3,3) e 2 soltanto contengono il due. 2 p(a B) p (B A) = ) = 36 = p(a)