Il calcolo della probabilità matematica

Transcript

1 Il calcolo della probabilità matematica Il calcolo delle probabilità è quella parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi precise, quanto un evento casuale sia probabile. Questa procedura quindi riesce a misurare la probabilità di tutti quegli eventi che vengono definiti casuali solo perché il loro verificarsi dipende da una serie di fattori non controllabili ma oggettivi. Poter misurare la probabilità di un evento permette di fare dei confronti e di stabilire, in una serie di eventi, qual è il più probabile. Dal punto di vista storico il primo matematico che si occupò di questo aspetto fu Blaise Pascal ( ). Pascal enunciò i fondamenti di questo calcolo che furono ripresi e ampliati più tardi da altri matematici come Jakob Bernoulli che scoprì la Legge dei grandi numeri.

2 1. Calcolo della probabilità di un evento semplice Indicheremo con una p la probabilità e con una E un evento generico. La scrittura p(e) indica la probabilità di un evento generico E. Partiamo subito con un semplice caso di probabilità matematica. Lanciando un dado, qual è la probabilità che esca il 6? Il dado è un cubo e ha sei facce. Su una sola c è il 6. Per calcolare la p(e6) applicheremo la formula: Nel nostro caso sarà

3 Ci aspettiamo quindi che l evento succeda nel 16,7% dei casi. Ovvero su 100 lanci mi aspetto che il 6 esca circa 17 volte. La probabilità matematica di un evento p(e) si esprime con un rapporto fra i casi favorevoli all evento e tutti i casi possibili. Il valore del rapporto è sempre compreso fra 0 e 1. p(e)=0 significa evento impossibile. p(e)=1 significa, invece, evento certo. Un evento è tanto più probabile quanto più la sua p(e) si avvicina ad 1. 0 p(e) 1 Oltre che con una frazione la probabilità può essere espressa anche in forma di numero decimale o in percentuale.

4 Esempio: E più probabile pescare una figura da un mazzo di 40 carte oppure una carta d'oro? p(figura)= =0,3=30% p(carta d'oro)= =0,25=25% Quindi è più probabile pescare una figura.

5 2. Evento composto Si parla di evento composto quando si prendono in considerazione due eventi distinti nello stesso insieme di possibilità. Si considera la probabilità che avvenga almeno uno di essi. Esempi di eventi composti: Prendendo una sola carta dal mazzo essa è una carta d'oro oppure un Re. Lanciando il dado una sola volta esce il 3 o un numero pari. Per procedere al calcolo bisogna prima distinguere i casi di eventi INCOMPATIBILI da quelli COMPATIBILI perché le formule sono diverse.

6 Probabilità composta di eventi incompatibili Due eventi sono incompatibili quando non possono avvenire contemporaneamente ovvero non possono avvenire insieme. Esempio: lanciando il dado una sola volta l evento 3 è incompatibile con l evento numero pari. La formula per calcolare la probabilità di un evento composto incompatibile E 1 E 2 è la seguente: In pratica bisogna fare solo la somma delle probabilità semplici dei due eventi.

7 Probabilità composta di eventi compatibili Due eventi sono, invece, compatibili se c è anche una sola possibilità che possano avvenire contemporaneamente. Esempio: prendendo una sola carta dal mazzo l evento carta d'oro è compatibile con l evento Re in quanto esiste una carta che li comprende tutti e due (il Re d'oro). La formula per calcolare la probabilità di un evento composto compatibile E 1 E 2 è la seguente: In pratica bisogna fare la somma delle probabilità semplici dei due eventi e togliere la probabilità che essi avvengano assieme.

8 Con il linguaggio degli insiemi possiamo vedere bene la differenza fra eventi compatibili e incompatibili.

9 Esempi di calcolo di evento composto: b). Prendendo una sola carta dal mazzo essa sia una carta d'oro o un Re. p(carta d'oro)= ; p(re)= ; p(re d'oro)= ; p(carta d'oro o re)= + - = = 0,325 = 32,5 %

10 3. Evento condizionato Si parla di evento condizionato quando si prendono in considerazione due o più eventi distinti che debbano avvenire in successione uno all altro. Questa è la situazione che si presenta in moltissimi giochi a premi: Totocalcio, SuperEnalotto, Lotto eccetera. In questi giochi vince chi indovina una serie di eventi consecutivi. Si deve quindi effettuare più di una estrazione. In questo caso occorre distinguere se gli eventi sono indipendenti o dipendenti. Def: Due (o più) eventi sono indipendenti se la probabilità del realizzarsi dell'uno non è modificata dal realizzarsi dell'altro evento, in caso contrario si diranno dipendenti.

11 Nel caso di due o più eventi indipendenti la formula è la seguente: p(e 1. E 2 )= p(e 1 ) p(e 2 ) (intersezione degli eventi, poiché devono verificarsi contemporaneamente) In pratica occorre moltiplicare tutte le singole probabilità semplici di ogni evento della serie. Nel caso in cui due eventi sono dipendenti la formula è la seguente: p(e 1. E 2 )= p(e 1 ) p(e 2 /E 1 )

12 In un urna ci sono tre palline nere e due bianche. Calcolare la probabilità che esca prima una nera e dopo una bianca senza reimmissione e con reimmissione nell urna della prima pallina. senza reimmissione (evento condizionato dipendente): p(e 1. E 2 )= p(e 1 ) p(e 2 /E 1 )= = =0.3=30% con reimmissione (evento condizionato indipendente): p(e 1. E 2 )= p(e 1 ) p(e 2 ) = = =0.24=24%

13 4. Eventi complementari e probabilità contraria Due eventi sono complementari se uno è la negazione dell'altro. Per questi eventi vale la relazione p(e)+ p()=1 Esempio: Calcolare la probabilità che lanciando una moneta esca o testa o croce. Dalla formula si deduce che la probabilità che un evento non si verifichi (probabilità dell'evento contrario) è p()= 1- p(e)

14 ESEMPI: 1. Antonio e Bruno decidono che il conto del Bar sarà pagato da colui che pesca la carta più bassa. Per evitare la parità, decidono di usare solo le 13 carte di uno stesso seme. Antonio pesca un 5. Che probabilità ha ora Bruno di non pagare il conto? Le carte rimaste sono 12, quelle più alte rispetto al 5 sono: 6,7,8,9,10, fante, donna e re cioè 8 carte. La probabilità di Bruno di non pagare il conto è p(bruno di non pagare)= = = 0,67 = 67 % (probabilità condizionata, eventi dipendenti)

15 2. Anna e Francesca hanno rispettivamente probabilità 1/2 e 1/5 di superare l'esame, e la probabilità che entrambe superino l'esame è 1/10. Determinare la probabilità che almeno una delle 2 superi l'esame. Occorre applicare la formula: = = 6 10 =0,6=60% = (evento composto, compatibili)

16 3. Da un'urna contenente 30 palline di diverso colore: 5 bianche, 4 rosse, 15 verdi e 6 azzurre, vengono estratte contemporaneamente 2 palline. Calcolare la probabilità che E 1 : nessuna di esse sia verde E 2 : nessuna di esse sia bianca o rossa E 3 : almeno una sia azzurra E 1 : casi favorevoli: C 15,2 =!!! =15 7= 105 casi possibili: C 30,2 =!!! =15 29=435 p(e 1 )= = 0,24

17 E 2 : casi favorevoli: C 21,2 =!!! =21 10= 210 casi possibili: C 30,2 =!!! =15 29=435 p(e 2 )= = 0,48 E 3 : per risolvere calcolo la probabilità dell'evento contrario: nessuna sia azzurra casi favorevoli: C 24,2 =!!! =12 23= 276 casi possibili: C 30,2 =!!! =15 29=435 p(e3 ) = 0,63 p(e 3)= 1- p(e3 )= 1-0,63= 0.37

18 IL PROBLEMA DELLE PROVE RIPETUTE Uno dei problemi che capitano frequentemente nel calcolo di probabilità è quello di calcolare la probabilità che un dato evento capiti k volte su n prove effettuate. Esempio: Lanciando 5 volte un dado che probabilità ho di ottenere 3 volte il valore 3? Soluzione: se non mi interessa l'ordine di uscita allora ho 10 possibilità (casi favorevoli), corrispondenti alle le combinazioni semplici di 5 oggetti presi 3 a 3: 333aa 33a3a 3a33a a333a 33aa3 3a3a3 a33a3 aa333 a3a33 3aa33 quindi, tenuto conto che i casi possibili sono 6 5 avremo che le nostre probabilità sono: P=10/6 5 = 10 / 7776

19 La situazione descritta sopra si può inquadrare nello schema generale seguente: si esegue n volte una data prova, sempre la stessa tutte le volte; tale prova produce due (e due soli) possibili risultati, che si chiamano convenzionalmente successo e insuccesso. Inoltre il successo (risp. l insuccesso) si presenta con probabilità p in ogni prova (risp. 1 p) e le prove sono tra di loro indipendenti. Una prova di questo tipo viene comunemente chiamata prova di Bernoulli. In generale, la probabilità di un evento di questo genere è dato da:

20 Esempi: 1. Determinare la probabilità che su 12 lanci di una moneta si ottengano esattamente 8 teste. P(n=12,k=8)=( 12 8 ) (1 2 )8 ( 1 2 )4 = 12! 8!4! (1 2 )12 0,12

21 2. Determinare la probabilità che estraendo per 5 volte una carta da un mazzo da 40 (inserendo ogni volta la carta estratta e rimescolando bene il mazzo) si ottengano: a) esattamente 3 figure b) almeno 3 figure c) almeno una figura Si osservi che, se non si reintroducesse la carta nel mazzo, l esperimento non sarebbe di Bernoulli, in quanto la probabilità di estrarre una figura cambierebbe ad ogni successiva estrazione. In questo caso, invece, si tratta di un esperimento di Bernoulli in cui il successo è l estrazione di una figura, per cui p = 12/40 =0,3 P(n=5,k=3)=( 5 3 ) (0,3)3 (0,7) 2 = 5! 3!2! (0,3)3 (0,7) 2 0,1323

22 caso b) La probabilità di ottenere almeno 3 figure è la somma delle probabilità di ottenere esattamente 3, 4 o 5 figure: p(n=5,k=3) + p(n=5,k=4) + p(n=5,k=5) = 0, , ,0024 = 0,1631 caso c) Si può precedere in due modi: I) Calcolando le probabilità p(n=5,k=1) + p(n=5,k=2) + p(n=5,k=3) + p(n=5,k=4) + p(n=5,k=5) II) considerare la probabilità dell evento contrario, ossia la probabilità di non ottenere alcuna figura: p(n=5,k=0) = ( 5 0 ) (0,3)0 (0,7) 5 = 5! 0!5! (0,7)5 0,168 P(n=5,k=1,2,3,4,5) = 1-0,168 = 0,832

23 Osservazione: Calcolare la probabilità che tirando un dado 5 volte esca la faccia 1 ai primi tre lanci e poi non esca per i successivi due lanci. P(faccia 1 primi tre lanci)= = ,0032 In questo caso non occorre calcolare il binomiale poiché è richiesta l'uscita di una determinata configurazione.