Probabilità. Spazi di probabilità

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1 Probabilità Paolo Montanari Appunti di Matematica Probabilità 1 Spazi di probabilità Un esperimento si dice casuale quando esso può essere ripetuto quante volte si vuole, ed il risultato di ogni esecuzione dell esperimento non può essere previsto in modo univoco. L insieme S di tutti i possibili risultati dell esecuzione di un esperimento costituisce lo spazio di probabilità dell esperimento. Esempi : lancio di un dado a 6 facce : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; lancio di una moneta : S = {testa, croce}; estrazione di un dischetto numerato nella tombola S = {1, 2,, 90}. In genere si è interessati non tanto al risultato di uno specifico esperimento, quanto a stabilire se un certo risultato appartiene o meno ad un determinato insieme E di risultati detto evento aleatorio (E è un sottoinsieme di S). Paolo Montanari Appunti di Matematica Probabilità 2 1

2 Eventi aleatori Esempio : esperimento = lancio di un dado a 6 facce; spazio di probabilità S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; alcuni possibili eventi aleatori: A. "comparsa di un numero pari" : A = {2, 4, 6} B. "comparsa di un numero dispari" : B = {1, 3, 5} C. "comparsa del numero 4" : C = {4} D. "comparsa di un numero < 4" : D = {1, 2, 3} E. "comparsa del numero 1 o del numero 6" : E = {1, 6} A, B, C, D, E sono sottoinsiemi di S Paolo Montanari Appunti di Matematica Probabilità 3 Eventi elementari, certi, impossibili Un evento si dice elementare se è costituito da un solo elemento. Lancio di una moneta: 2 eventi elementari {t}=testa e {c}=croce Lancio di un dado: 6 eventi elementari {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Un evento E si dice certo se si verifica sempre; E = S. Comparsa di uno dei numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6 nel lancio di un dado Un evento E si dice impossibile se non si verifica mai ; E =. Comparsa simultanea di tre facce nel lancio di un dado Paolo Montanari Appunti di Matematica Probabilità 4 2

3 Eventi unione, intersezione, incompatibili Evento unione di A e B = A B = evento che corrisponde al verificarsi di almeno uno degli eventi A e B. Evento intersezione di A e B = A B = evento che corrisponde al verificarsi di entrambi gli eventi A e B. Es. considerando gli eventi A = "comparsa di un numero pari" = {2, 4, 6} e B = "comparsa di un numero 3" = {1, 2, 3} nel lancio di un dado, si ha A B = {1, 2, 3, 4, 6} e A B = {2} Due eventi A e B si dicono incompatibili (o disgiunti) se il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell altro: A B = (due eventi sono incompatibili se l evento intersezione è impossibile). Es. nel lancio di un dado gli eventi "comparsa di un numero pari" e "comparsa di un numero dispari" sono incompatibili Paolo Montanari Appunti di Matematica Probabilità 5 Eventi differenza e contrario Evento differenza degli eventi A e B = A - B = evento che corrisponde al verificarsi di A e al non verificarsi di B. Es. considerando gli eventi A ="comparsa di un numero pari" = {2, 4, 6} e B ="comparsa di 1 o 2" = {1, 2} nel lancio di un dado, si ha A - B = {4, 6} Evento contrario (o opposto) all evento A = evento che si realizza quando non si verifica A. Es. nel lancio di una moneta l evento A = "compare testa" è contrario all evento A = "compare croce" Gli eventi A e A, contrari tra loro, sono anche incompatibili: A (-A) = Paolo Montanari Appunti di Matematica Probabilità 6 3

4 Frequenza di un evento Si definisce frequenza h dell evento E dopo k ripetizioni dell esperimento il numero di volte in cui si è verificato l evento (h k). Si definisce frequenza relativa h/k dell evento E il rapporto tra il numero h di volte in cui si è verificato l evento e il numero k di ripetizioni dell esperimento (h/k 1). Es. in 100 ripetizioni dell esperimento del lancio di una moneta l evento E="compare testa" si verifica 45 volte. Si ha: h/k = 45/100 = 0,45 Sia la frequenza che la frequenza relativa dipendono dal numero delle prove e, addirittura, pur mantenendo fisso il numero e le condizioni delle prove, le frequenze di ogni insieme di prove potranno risultare tra loro diverse. Paolo Montanari Appunti di Matematica Probabilità 7 Legge dei grandi numeri In una serie di prove, ripetute un gran numero di volte, tutte nelle stesse condizioni, un evento casuale si verifica con una frequenza relativa che varia poco al variare del numero delle prove e le variazioni, in generale, sono tanto più piccole quanto più grande è il numero delle prove ripetute. L esperienza dimostra una certa regolarità negli esperimenti casuali. Si può ammettere che, per ogni evento E, in un dato esperimento, esista un numero p(e), compreso tra 0 ed 1, intorno al quale oscilla la frequenza di E, in un gran numero di prove. La conoscenza di tale numero p(e) consente di fare previsioni, più o meno precise, sulla frequenza dell esito E in un gran numero di prove. Il calcolo delle probabilità si è sviluppato proprio allo scopo di poter determinare "a priori", cioè senza eseguire effettivamente gli esperimenti, un valore prossimo alla frequenza dell evento considerato. Paolo Montanari Appunti di Matematica Probabilità 8 4

5 Probabilità Due eventi A e B, relativi ad uno stesso esperimento casuale, sono equiprobabili se non vi è alcun motivo per ritenere che, in una prova, l evento A possa verificarsi più o meno facilmente dell evento B. Es. nel lancio di un dado non truccato possiamo considerare equiprobabili tutti e sei gli eventi elementari: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Sia A un evento casuale relativo allo spazio di probabilità S, cioè sia A S. Tra i risultati possibili ve ne saranno alcuni compresi in A (casi favorevoli ad A) ed altri non compresi in A (casi contrari ad A). Si definisce probabilità dell evento A, e si indica con p(a), il rapporto tra il numero di risultati favorevoli ad A ed il numero di risultati possibili, nell ipotesi che tutti gli eventi elementari siano equiprobabili. = =.. p(a) = 0 A è un evento impossibile p(a) = 1 A è un evento certo Si ha: 0 p(a) 1 Paolo Montanari Appunti di Matematica Probabilità 9 Differenza tra frequenza relativa e probabilità Sia la frequenza relativa che la probabilità di un evento sono espressi da un numero compreso fra 0 e 1. Ma mentre la frequenza "guarda al passato" perché si determina a partire da prove già effettuate, la probabilità "guarda al futuro" perché, il più delle volte, si calcola la probabilità di eventi che dovranno ancora realizzarsi. La frequenza relativa di un evento dipende, oltre che dall evento, anche dal numero delle prove eseguite, mentre la probabilità di un evento dipende solo dall evento. Paolo Montanari Appunti di Matematica Probabilità 10 5

6 Esempi calcolo probabilità lancio un dado Es. probabilità di ottenere un numero pari nel lancio di un dado. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} gli eventi elementari {1}, {2},, {6} possono considerarsi equiprobabili. = =. =3 6 =, Paolo Montanari Appunti di Matematica Probabilità 11 Esempi calcolo probabilità lancio due dadi -1 Lancio di due dadi. Il risultato dell esperimento è una delle 36 coppie (a,b) tra loro equiprobabili (eventi elementari) che costituiscono lo spazio di probabilità S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Es. probabilità che la somma dei due numeri sia uguale a 6. S contiene 36 differenti coppie (a,b) (eventi elementari tra loro equiprob.) A = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} : 5 eventi elementari equiprobabili. = =. = 5 36 =, Paolo Montanari Appunti di Matematica Probabilità 12 6

7 Esempi calcolo probabilità lancio due dadi -2 Lancio di due dadi. Il risultato dell esperimento è una delle 36 coppie (a,b) tra loro equiprobabili (eventi elementari) che costituiscono lo spazio di probabilità S (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Es. probabilità che i due dadi presentino lo stesso numero. S contiene 36 differenti coppie (a,b) (eventi elementari tra loro equiprob.) A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} : 6 eventi elem. equiprob.. = =. = 6 36 =1 6 =, Paolo Montanari Appunti di Matematica Probabilità 13 Esempi calcolo probabilità lotto - 1 Es. probabilità che fra i cinque numeri estratti al lotto su una fissata ruota vi sia il numero 1. Lo spazio di probabilità S è costituito dalle combinazioni dei primi 90 numeri naturali presi 5 alla volta. Le diverse cinquine costituiscono gli eventi elementari tra loro equiprobabili. Si tratta di combinazioni in quanto ciascun gruppo differisce dagli altri solo per gli oggetti (numeri estratti) che contiene e non anche per l ordine (di estrazione). Num. elem. di S:, = =! =! = = !!!! Num. elementi di A = cinquine che contengono il numero 1 = numero delle combinazioni a 4 a 4 di 89 numeri (da 2 a 90) :, =!!! = = 85! 4! 85! 5! 89! = 5 90! 90 = 1 18 =, Paolo Montanari Appunti di Matematica Probabilità 14 7

8 Regola della somma Se A e B sono due eventi incompatibili, cioè se A B =, allora la probabilità dell evento unione è la somma delle probabilità degli eventi A e B. A B = p(a B) = p(a) + p(b) Es. nel lancio di un dado qual è la probabilità che esca 2 oppure un numero dispari? A = {2} B = {1, 3, 5} A B = p(a B) = p(a) + p(b) = + = = =, Paolo Montanari Appunti di Matematica Probabilità 15 Regola della somma caso generale Se A e B sono due eventi qualsiasi, allora la probabilità dell evento unione è data dalla somma delle probabilità degli eventi A e B diminuita della probabilità dell evento intersezione. p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) Es. nel lancio di un dado qual è la probabilità che esca un numero minore di 4 o dispari? A = {1, 2, 3} B = {1, 3, 5} A B = {1, 3} p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) = + = = =, Paolo Montanari Appunti di Matematica Probabilità 16 8