Matematica con elementi di Informatica

Transcript

1 Probabilità discreta Matematica con elementi di Informatica Tiziano Vargiolu Dipartimento di Matematica Corso di Laurea Magistrale in Chimica e Tecnologie Farmaceutiche Anno Accademico 2018/19 Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 1 / 22

2 Introduzione Un esperimento aleatorio è un qualunque avvenimento il cui risultato non sia prevedibile a priori con sicurezza. Esempi: efficacia di un nuovo farmaco, lancio di un dado, risultato di una lotteria, miliardesima cifra di π, risultato di una partita di calcio, ecc.) Per formalizzare matematicamente il problema, si usa raccogliere ogni possibile risultato dell esperimento aleatorio in un insieme Ω, chiamato spazio campionario (spazio degli eventi). Esempi: Ω = {1,..., 6}, {1,..., }, {0,..., 9}, N 2 Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 2 / 22

3 Eventi Un evento è la descrizione precisa di uno o più possibili risultati dell esperimento aleatorio. Esempi: A = {il dado dà un risultato pari} = {2, 4, 6}; B = {il dado dà un 6} = {6}. Notiamo che gli eventi sono rappresentati come sottoinsiemi dello spazio campionario Ω, e possono essere espressi sia a parole che con simboli matematici. Un evento può essere: certo se si verifica con certezza (es. un dado a 6 facce dà certamente un risultato compreso tra 1 e 6); impossibile se con certezza non si verifica (es. un dado a 6 facce non può dare 20 come risultato); elementare (detto anche singoletto) se è costituito da un solo risultato (es. B = {6}). Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 3 / 22

4 Operazioni tra eventi Dati due eventi A e B, possiamo definire: evento unione A B: si verifica o A o B; evento intersezione A B: si verifica sia A che B; evento complemento A c = Ω \ A: NON si verifica A. Nota: la differenza insiemistica si può esprimere tramite A \ B = A B c = {si verifica A ma non si verifica B} Due eventi A e B si dicono: mutualmente esclusivi o incompatibili o disgiunti se A B = (in nessun caso dell esperimento aleatorio possono verificarsi insieme); esaustivi se A B = Ω (si verifica sempre almeno uno dei due, eventualmente entrambi). Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 4 / 22

5 Distribuzioni di probabilità La probabilità è una misura del grado di fiducia che attribuiamo al verificarsi (o meno) di un evento A, espressa con un numero P(A) tra 0 ( impossibile ) e 1 ( certo ). La probabilità P è quindi una funzione che associa un evento A ad un numero P(A) [0, 1], e a cui richiediamo le due proprietà: i) P(Ω) = 1; ii) se A e B sono incompatibili (A B = ), allora P(A B) = P(A) + P(B). Esempio: se il dado non è truccato, potremmo attribuire P({i}) = P{i} = 1 6 per ogni i Ω = {1,..., 6} (probabilità uniforme): è una probabilità secondo gli assiomi sopra? Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 5 / 22

6 Probabilità uniforme L esempio precedente è tipico della probabilità discreta: assegnare le probabilità ai singoletti, in modo che la somma faccia 1, e da questo seguono le probabilità di tutti gli eventi. Se un insieme Ω ha cardinalità Ω = N, possiamo assegnare la probabilità P(A) ad ogni evento A Ω in questo modo: Allora: i) P(Ω) = N N = 1; P(A) = A N ii) se A e B sono incompatibili allora P(A B) = A B N = A + B N = A N + B = P(A) + P(B) N Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 6 / 22

7 Proprietà della probabilità Dai due assiomi P(Ω) = 1 e P(A B) = P(A) + P(B) si possono ricavare varie altre proprietà: a) se A B, allora P(A) P(B), e P(B \ A) = P(B) P(A); b) P(A c ) = 1 P(A); c) P( ) = 0. d) se A 1, A 2,..., A n sono eventi, in generale ( ) n n P A i P(A i ) e se sono disgiunti c è l uguaglianza; e) P(A) + P(B) = P(A B) + P(A B). Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 7 / 22

8 Dimostrazione a) Poiché B = A (B \ A), si ha che P(B) = P(A) + P(B \ A) P(A). Inoltre si può sottrarre P(A) da entrambi i membri della relazione P(B) = P(A) + P(B \ A) e si ottiene la seconda parte della tesi. b) È un caso particolare di (a) che si ottiene ponendo B = Ω. c) È un caso particolare di (b) che si ottiene ponendo A =. d) Si ha ( n A i = A 1 (A 2 \ A 1 )... A n \ e dunque ( ) n P A i dove abbiamo applicato (a). = P(A 1 ) + P(A 2 \ A 1 ) P P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A n ) n 1 ( A i ) A n \ n 1 A i ) Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 8 / 22

9 Dimostrazione - II d) Si ha che A A B e A B B; notiamo poi che (A B) \ A = B \ A e B \ (A B) = B \ A. Applicando il punto (a), si ha allora che P(B \ A) = P(B) P(A B) = P(A B) P(A) Riordinando i termini nell ultima uguaglianza si ottiene la tesi. Due ultime note: data una probabilità P, un evento A si dice: quasi certo se P(A) = 1; trascurabile se P(A) = 0. Chiaramente, il complementare di un evento trascurabile è quasi certo. Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 9 / 22

10 Probabilità condizionata Supponiamo di giocare ad una roulette, con possibili risultati Ω = {0, 1,..., 36}. Qual è la probabilitá che la giocata A = {1, 2, 3} sia vincente? Supponiamo che la roulette sia truccata in modo da far uscire un numero dispari. Qual è la probabilità di A in questo caso? Per rispondere alla seconda domanda, ci sono due strade: ridefinire Ω = {1, 3,..., 35} e una nuova probabilità su Ω (forse intuitivo... ma concettualmente complicato) introdurre il concetto di probabilità condizionata. Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 10 / 22

11 Probabilità condizionata: definizione Se B è un evento non trascurabile, per ogni evento A definiamo probabilità di A condizionata a B P(A B) = P(A B) P(B) Intuitivamente, è la probabilità di A sapendo che B si è verificato. Conseguenza: se conosciamo due delle tre quantità sopra, possiamo calcolare la terza; ad esempio, P(A B) = P(A B)P(B) Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 11 / 22

12 Probabilità condizionata: esempio Nell esempio precedente, definendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 3,..., 35}, abbiamo 2 P{1, 3} P(A B) = = 37 = 1 P(B) Questa definizione rende automatico il ragionamento intuitivo: sapendo che uscirà un numero dispari (tra 18 possibili), siccome A ne contiene 2, avremo probabilità di vittoria pari a 2 18 = e funziona più in generale (ad esempio, quando P non è uniforme). Proprietà importante: assegnato B non trascurabile, la probabilità condizionata P( B) è una probabilità. Si ha quindi, ad esempio, P(A c B) = 1 P(A B) Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 12 / 22

13 Formula della probabilità totale Supponiamo di sapere che il 15% di una popolazione è a rischio rispetto ad una malattia, e che il tasso di incidenza (= probabilità di essere attaccati) di una malattia sia 0.2 fra i soggetti a rischio e fra i soggetti non a rischio. Supponiamo di voler rispondere a queste domande: Qual é la probabilità che un individuo a rischio si ammali? Qual è la probabilità che un individuo a caso si ammali? Per rispondere a queste domande si usa la formula della probabilità totale, o legge delle alternative. Se B 1,..., B n sono eventi non trascurabili, disgiunti tra loro e tali che Ω = n B i, allora per ogni evento A si ha P(A) = n P(A B i )P(B i ) Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 13 / 22

14 Formula della probabilità totale: dimostrazione Possiamo scrivere ( ) n A = A Ω = A B i = e questa unione è disgiunta. Allora ( ) n P(A) = P (A B i ) = n (A B i ) n P(A B i ) = n P(A B i )P(B i ) Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 14 / 22

15 Esempio Supponiamo di sapere che il 15% di una popolazione è a rischio rispetto ad una malattia, e che il tasso di incidenza (= probabilità di essere attaccati) di una malattia sia 0.2 = 20% fra i soggetti a rischio e = 0.6% fra i soggetti non a rischio. Supponiamo di voler rispondere a queste domande: Qual é la probabilità che un individuo a rischio si ammali? Qual è la probabilità che un individuo a caso si ammali? Riscriviamo i dati: definiamo gli eventi A = {l individuo è a rischio} e B = {l individuo si ammalerà}. Allora P(A) = 0.15, P(B A) = 0.2, P(B A c ) = Allora la risposta alla prima domanda è ovviamente P(B A) = 0.2, e alla seconda è P(B) = P(B A)P(A) + P(B A c )P(A c ) = = = Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 15 / 22

16 Formula di Bayes A volte ci serve invertire la probabilità condizionata. Esempio: qual è la probabilità che un individuo malato appartenga alla popolazione a rischio (i.e. P(A B))? Se A e B sono eventi non trascurabili, allora vale la formula di Bayes: P(A B) = P(B A)P(A) P(B) Difatti P(A B) = P(A B)P(B) = P(B A)P(A), e basta dividere per P(B). Tornando all esempio, un individuo malato apparterrà alla popolazione a rischio con probabilità P(A B) = P(B A)P(A) P(B) = = 0.03 = = 85.4% Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 16 / 22

17 Test diagnostici Un esempio tipico in cui si usano le formule della probabilità totale e di Bayes è quello dei test diagnostici, il cui scopo è determinare se un dato individuo soffre di una malattia. Spesso questi test non sono infallibili ( la medicina non è una scienza esatta ). Difatti sono possibili: falsi positivi: l individuo è sano ma il test è positivo; falsi negativi: l individuo è malato ma il test è negativo. Iniziamo definendo i seguenti eventi: P = {il test è positivo}, N = {il test è negativo} = P c, M = {l individuo è malato}, S = {l individuo è sano} = M c Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 17 / 22

18 Test diagnostici: specificità e sensitività Si definiscono: tasso di incidenza: probabilità P(M) di avere un individuo malato; specificità Sp: probabilità P(N S) di risultato negativo su individui sani; sensitività Se: probabilità P(P M) di risultato positivo su individui malati. Queste quantità vengono di solito calcolate a priori, in fase di ideazione del test, su individui di cui si sa già se sono malati o sani. Nella pratica clinica, sono invece importanti questi due concetti: valore predittivo di esito negativo Vp : probabilità P(S N) di individuo sano sapendo che il test è negativo; valore predittivo di esito positivo Vp + : probabilità P(M P) di individuo malato sapendo che il test è positivo. Le formule della probabilità totale e di Bayes permettono di trovare i valori predittivi Vp ± a partire da specificità, sensitività e probabilità di incidenza P(M). Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 18 / 22

19 Test diagnostici: un esempio Per diagnosticare una malattia alle coronarie, si usa un certo test. Supponiamo di sapere che se il paziente è malato, il test sia positivo nel 79% dei casi, e se il paziente è sano sia negativo nel 68% dei casi. Supponiamo inoltre che il 20% della popolazione sotto esame sia malata. Con queste informazioni, qual è la probabilità che un individuo il cui test sia stato positivo sia effettivamente malato (Vp + )? Riscriviamo i dati come probabilità: Se = P(P M) = 0.79, Sp = P(N S) = 0.68 P(M) = 0.20, P(S) = 1 P(M) = = 0.80 Inoltre, siccome la probabilità condizionata P( S) è una probabilità, abbiamo che P(P S) = 1 P(N S) = = Dalla formula della probabilità totale abbiamo che P(P) = P(P M)P(M) + P(P S)P(S) = = Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 19 / 22

20 Test diagnostici: un esempio Infine, dalla formula di Bayes abbiamo che P(M P) = P(P M)P(M) P(P) = = Quindi la probabilità che un individuo il cui test sia stato positivo sia effettivamente malato è di Notiamo che questa probabilità è maggiore di quella che si avrebbe senza l informazione che il test è risultato positivo (P(M) = 0.2). Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 20 / 22

21 Eventi indipendenti Esempio: lancio di due dadi. Spazio campionario: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. Probabilità P: se i dadi non sono truccati, ogni possibile coppia di risultati avrà uguale probabilità di uscire probabilità uniforme: P(A) = A /36 per ogni A Ω. Definiamo: A = {nel primo dado esce un numero pari} B = {nel secondo dado esce il 4} Proviamo a calcolare P(B A), cioé qual è la probabilità che esca il 4 se nel lancio precedente è uscito un numero pari. Allora: P(B A) = P(A B) P(A) = 3/36 18/36 = 3 18 = 1 6 Questo significa che P(B A) = P(B) (anch essa uguale a 1/6): il condizionamento rispetto ad A non ha influito sulla probabilità di B. In altre parole, il fatto che nel secondo dado esca un 4 è indipendente dal fatto che nel primo dado sia uscito un numero pari (o dispari). Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 21 / 22

22 Eventi indipendenti: definizione Usando la definizione di probabilità condizionata, si vede che l identità P(B A) = P(B) equivale a P(A B) = P(A)P(B). Questa identità, rispetto alla precedente, ha il vantaggio di essere esplicitamente simmetrica in A e B, e di essere ben definita (e banalmente vera) anche quando P(B) = 0. Essa viene dunque scelta per caratterizzare la nozione di indipendenza. Due eventi A e B si dicono indipendenti se P(A B) = P(A)P(B). (1) Per quanto detto sopra, questo è equivalente a dire che P(A) = P(A B) (o anche che P(B) = P(B A)) a condizione che B (o A) siano non trascurabili. Il significato intuitivo dell indipendenza è questo: A e B sono indipendenti se la conoscenza o meno del fatto che B si sia verificato non influenza la probabilità che assegnamo ad A, e viceversa. Probabilità discreta Anno Accademico 2018/19 22 / 22