La scienza dei dadi.

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1 Dalla teoria delle probabilità alla (dis)informazione Università di Bologna 4 novembre 2017 Liceo Scientifico Galilei di Dolo La Scienza a Scuola Zanichelli

2 Alcune domande Malattie rare Test sulla emofilia A. Il test T 1 dà la risposta corretta nel 99, 99 dei casi, mentre T 2 la dà nel 99, 95. Quale test è migliore? Testa o Croce Al primo lancio è uscita testa. Cosa mi conviene scommettere al secondo lancio? Lancio di due dadi Se la vincita per due numeri uguali sui due dadi è 15, quale vincita per due numeri diversi rende il gioco equo?

3 USA presidential elections: who won?

4 Tutto inizia con Cardano Gerolamo Cardano Nato a Pavia il 24 settembre 1501 Morto a Roma, 21 settembre 1576 Matematico, medico, ingegnere, astrologo......giocatore d azzardo Così ho dilapidato contemporaneamente la mia reputazione, il mio tempo e il mio denaro. De Ludo Aleae, 1525

5 Giunto cardanico

6 Cos è la probabilità? Cos è la probabilità? La probabilità è una misura d incertezza. Quali sono le domande? Quali previsioni posso fare su un fenomeno incerto? Cosa devo scommettere?

7 Cardano in linguaggio moderno Nessuna delle 6 facce del dado ha più ragioni di un altra di comparire (equiprobabilità). In due lanci di dadi l esito del primo dado non influenza il secondo (indipendenza). Ergo: i 6 6 esiti possibili hanno tutti la stessa probabilità. Quale numero p esprime la probabilità di un evento? p = Num(casi favorevoli) Num(casi possibili) 0 p 1. Perchè questo numero mi interessa?

8 Due dadi Lancio di due dadi Se la vincita per due numeri uguali sui due dadi è 15 monete, quale posta per due numeri diversi rende il gioco equo? Ci sono 6 2 casi possibili. Le coppie con due numeri uguali sono 6. prob(due esiti uguali) = 6/6 2 = 1/6. Le coppie con due numeri diversi sono 36 6 = 30 e hanno probabilità prob(due esiti diversi) = 1/36. Se gioco 36 partite mi aspetto 6 volte esiti uguali (6 15 di vincita complessiva) e 30 volte esiti diversi (30 X di perdita complessiva). Il gioco è equo se 6 15 = 30 X. La posta per esiti diversi è X = 3. Oppure: X = , cioè...

9 Alcuni fatti più o meno intuitivi La coppia (4, 5) (nell ordine) ha la stessa probabilità di (6, 6). La coppia {4, 5} (non nell ordine: (4, 5) o (5, 4)) ha probabilità doppia di (6, 6). Cioè: tutte le coppie (ordinate) sono ugualmente eccezionali.

10 Testa o Croce; Tartaglia; alberi

11 Cos è la probabilità? Definizioni probabilità: Classica. La probabilità di Testa in Testa o Croce è casi favorevoli/casi possibili = 1/2 (Cardano, Laplace), se T e C sono equiprobabili! Frequentista. Per trovare la probabilità di T lancio la moneta n volte e calcolo (John Venn ) lim (numero di T in n lanci)/n n Soggettivista. La probabilità viene assegnata soggettivamente in base allo stato della conoscenza al momento (Thomas Bayes ) Sono tutte viziate da (i) circolarità; (ii) impraticabilità; (iii) soggettività.

12 La scorciatoia matematica Andrey Kolmogorov (1933): trattazione assiomatica della probabilità. Abbiamo un insieme Ω di eventi elementari: Ω = {TT, TC, CT, CC}. A ogni evento ω in Ω assegnamo una probabilità 0 p(ω) 1; p(tt ) = 1/9, p(tc) = p(ct ) = 2/9 e p(cc) = 4/9: p(tt ) + p(tc) + p(ct ) + p(tt ) = 1 Un evento è un sottoinsieme di Ω. P.es. il primo esito è T : A = {(TT ), (TC)} o il secondo esito è C: B = {(TC), (CC)}). La probabilità di un evento è la somme delle probabilità dei suoi elementi: p(a) = 1/3 e p(b) = 2/3. Due eventi sono indipendenti se la probabilità dell intersezione è il prodotto delle probabilità: P(A B) = p({(tc)}) = 2/9 = p(a) p(b)

13 Da dove viene l esempio precedente? Due lanci di una moneta truccata con p(t ) = 1 3 e p(c) = 2 3

14 Cos è una buona definizione? Cosa vogliamo da una teoria delle probabilità? Previsioni su ciò che non sappiamo che siano confermate da osservazioni. la probabilità fa delle previsioni; la statistica analizza i dati delle osservazioni. Posso usare la statistica per indovinare le probabilità (se non conosco queste ultime). Posso usare la probabilità per fare delle previsioni sulle statistiche future.

15 Mentire con la statistica

16 USA presidential elections: Obama (2012)

17 Previsioni azzardate Testa o Croce Al primo lancio è uscita testa. Cosa mi conviene scommettere al secondo lancio? Il punto di vista del probabilista. La moneta sarà simmetrica. È indifferente cosa scommetto. Il punto di vista dello statistico. Non so nulla della moneta. Se è truccata, è più probabile che favorisca T, in base ai dati disponibili. Scommetto T. Il punto di vista della superstizione. Visto che prima o poi le croci devono venir fuori, al secondo tentativo conviene scommettere croce. Persi Diaconis: il punto di vista del prestigiatore.

18 E la legge dei grandi numeri!?

19 Legge dei grandi numeri LGN Cosa dice la Legge dei Grandi Numeri? Il caso di una moneta asimmetrica. Lanciamo una moneta simmetrica e sia S n il numero di Teste dopo n lanci. Al 100%: S n lim n n = 1 2. Al 100% non significa sempre (ma quasi...). La Legge mette d accordo probabilità e statistica! Sì, ma quanto devo aspettare per avvicinarmi a 1/2? La versione quantitativa è: ( S n Prob n 1 ) 2 < ɛ 1 1 4nɛ 2.

20 La legge dei grandi numeri ɛ = 1 ( 10 : Prob S n n 1 2 < 1 ) n. Per avere una probabilità del 75/100 = 3 4 che ciò accada dobbiamo porre n = 100: ( S 100 n = 100 : Prob < 1 ) =

21 Malattie rare Malattie rare Test sulla emofilia A. Il test T 1 dà la risposta corretta nel 99, 99 dei casi, mentre T 2 la dà nel 99, 95. Quale test è migliore? Sapendo che la frequenza dell emofilia A sulla popolazione italiana è di 1/ casi, può benissimo darsi che T 1 sia nessun test, mentre T 2 sia un test autentico. P. es. su Falsi positivi Falsi negativi T1 0 1 T2 5 0 Falsi positivi: positivi al test, ma senza patologia. Falsi negativi: negativi al test, ma con patologia.

22 Probabilità in natura: deriva genetica Deriva genetica Due alleli dello stesso gene sono presenti in una piccola popolazione di N individui. Nessuno dei due alleli è particolarmente s/favorito dalla selezione. Con alta probabilità uno dei due alleli si estingue entro un certo numero T di generazioni con T N 2.

23 Pollini, agitazione termica, probabilità: il moto browniano Einstein 1905

24 Probabilità e finanza Le istituzioni finanziarie fanno grande uso di modelli probabilistici. La probabilità è essenziale nella valutazione del rischio. Ciò richiede la raccolta e l analisi di una grande mole di dati statistici......da interpretare in base a ipotesi teoriche. Ma... le ipotesi teoriche sono soggette esse stesse a variazione; quindi, le distribuzioni di probabilità sono inaffidabili in alcuni momenti; ergo: nessuna previsione è affidabile. In più, vi sono gli effetti tipici da teoria dei giochi.

25 grazie per l attenzione