PROBABILITA. Nella costruzione dello spazio degli eventi la difficoltà aumenta notevolmente laddove sia necessario fare uso del prodotto cartesiano.

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1 Nella costruzione dello spazio degli eventi la difficoltà aumenta notevolmente laddove sia necessario fare uso del prodotto cartesiano. La costruzione dello spazio cartesiano richiede un grado di astrazione più elevato di quello che occorre per le operazioni insiemistiche di unione, intersezione e passaggio al complementare

2 Consideriamo, ad esempio, i due seguenti enunciati: 1- Lanciando un dado, qual è la probabilità di ottenere un numero pari e multiplo di 3? 2- Lanciando un dado e una moneta, qual è la probabilità di ottenere un numero pari sul dado e testa sulla moneta? La struttura della frase sembra la stessa nei due casi, ma in realtà la seconda situazione è assai più complessa della prima Caso 1- congiunzione di due eventi intersezione dei due insiemi rappresentativi Caso 2- si deve costruire un nuovo insieme esperimento (dado, moneta) a partire dai due già assegnati

3 ESEMPIO: Lanciando due dadi indistinguibili si osserva ad un primo lancio due punteggi uguali 1, 1; ad un secondo lancio si osservano i punteggi diversi 2, 3. E ragionevole ritenere i due risultati equiprobabili? NO perché i due punteggi uguali possono essere ottenuti in un solo modo, mentre punteggi diversi possono essere ottenuti in due modi. Nel nostro caso 2 su un dado e 3 sull altro e viceversa.

4 Nel lancio dei due dadi si può tendere a contrapporre l evento stesso punteggio all evento punteggi diversi, infatti talvolta la risposta: è più probabile che esca 2,3 rispetto a 1,1, nasce da questa convinzione. Se viene fatto notare che 2,3 sono comunque due punteggi prefissati e non due generici punteggi diversi tra loro, allora la risposta, talvolta, diventa, erroneamente: hanno la stessa probabilità

5 Lo spazio degli eventi più idoneo a rappresentare l esperimento del lancio di due dadi è Ω x Ω, vale a dire l insieme di tutte le coppie ordinate Ωx Ω ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3, 6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),( 5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} Se i dadi non sono truccati è ragionevole ritenere gli eventi semplici equiprobabili, quindi la probabilità di ottenere punteggio 1 su entrambi i dadi è valutata 1/36, mentre la probabilità di ottenere su un dado 2 e sull altro 3, corrispondente alle coppie (2,3), (3,2), vale 2/36

6 Una situazione di scelte multiple: Un urna contiene 3 biglie rosse e 2 biglie verdi. Si estrae a caso una prima biglia; dopo averla guardata la si rimette nell urna e si procede ad una seconda estrazione. Qualè la probabilità di estrarre una biglia rossa la prima volta e una biglia verde la seconda volta? Lo spazio degli eventi va costruito.. (.da una proposta didattica di Maria Sainati Nello)

7 V 2 R 1 V 2 R 2 V 2 R 3 V 2 V 1 R 1 V 1 R 2 V 1 R 3 V 1 R 3 R 2 R 1 R 1 R 2 R 3 V 1 V 2

8 RV RV RV VV VV V RV RV RV VV VV RR RR RR VR VR R RR RR RR VR VR RR RR RR VR VR R V

9 Lo spazio degli eventi è dato da tutte le possibili coppie di biglie, tali che il primo elemento rappresenti la biglia uscita nella prima estrazione e il secondo elemento la biglia uscita nella seconda estrazione. Facendo riferimento alla prima tabella : I casi possibili sono 25, tutti equiprobabili fra loro perché in ogni estrazione è indifferente scegliere una biglia piuttosto che un altra I casi favorevoli all evento considerato sono 6 La probabilità cercata P(R,V)= 6/25

10 Facendo riferimento alla seconta tabella e quindi non considerando più l individualità della biglia uscita nella prima o nella seconda estrazione, quanto piuttosto il suo colore. Lo spazio degli eventi potrebbe ridursi ai quattro eventi elementari (R,R), (R,V), (V,R), (V,V) non più equiprobabili fra loro Disegnando un grafo la probabilità dell evento (R, V ) è data dal prodotto delle probabilità associate ai rami che formano il cammino stesso

11 Infatti: i quattro cammini del grafo contratto rappresentano complessivamente 5 5=25 cammini equiprobabili il cammino contrassegnato rappresenta i 3 2=6 cammini favorevoli p(r, V ) = (3 2)/ 5 5 = 6/25, ma anche p(r, V ) = (3/5) (2/5) = 6/25

12 CONDIZIONALE Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato, valuteremo le probabilità P(A) =3/6, P(B)=3/6 e quindi P(A)=P(B)=1/2. Supponiamo ora di essere venuti a sapere che lanciando il dado si è ottenuto un punteggio dispari, che cosa possiamo dire per la probabilità di A?

13 CONDIZIONALE Qual è la probabilità, lanciando un dado non truccato, di ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che il punteggio è dispari? Noto che si è ottenuto un punteggio dispari, cambia lo spazio degli eventi, divenendo Ω=B={1,2,3}, in questo insieme i punteggi inferiori a 4 sono due: 1,3, possiamo quindi dire che la probabilità di ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che il punteggio è dispari è 2/3

14 CONDIZIONALE Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte di ottenere due T? Lo spazio degli eventi è Ω={TT, TC, CT, CC}, se riteniamo ragionevole l equiprobabilità, valuteremo P(TT) =1/4 Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte di ottenere due T, sapendo che al primo lancio si è ottenuto T? Lo spazio degli eventi diventa, in base all informazione ricevuta Ω={TT, TC}, quindi la probabilità richiesta è 1/2

15 CONDIZIONALE Qual è la probabilità, lanciando una moneta due volte di ottenere due T, sapendo che almeno uno dei due lanci ha dato T? Lo spazio degli eventi diventa, in base all informazione ricevuta Ω={TT, TC, CT}, quindi in questo caso la probabilità richiesta è 1/3

16 CONDIZIONALE Torniamo al primo problema: Qual è la probabilità, lanciando un dado non truccato, di ottenere un punteggio inferiore a 4(evento A), sapendo che il punteggio è dispari(evento B)? Abbiamo detto che Ω=B={1,2,3}, in questo insieme i punteggi dispari sono due:1,3, l insieme {1,3} corrisponde di fatto a A B. Nel valutare la probabilità di ottenere un punteggio inferiore a 4, sapendo che il punteggio è dispari con il numero 2/3, abbiamo scritto di fatto il rapporto tra P(A B)=2/6 e P(B)=3/6, ottenendo appunto 2/3

17 CONDIZIONALE In generale, indichiamo con P(A B) la probabilità dell evento A sapendo che si è verificato B, definiamo P(A B) = P(A B) / P(B) Dove, ovviamente, dovrà essere P(B)>0 Chiameremo tale probabilità: probabilità condizionale di A noto B

18 CONDIZIONALE Talvolta sarà utile scrivere la relazione nella forma P(A B)= P(B) P(A B) Tale relazione viene detta legge delle probabilità composte Tale relazione esprime la probabilità dell evento intersezione (o evento congiunto) come prodotto tra la probabilità di uno dei due eventi e la probabilità condizionale dell altro.

19 CONDIZIONALE ESEMPIO: Supponiamo di prendere a caso due cavie da una gabbia che ne contiene 4 di sesso maschile(m) e 6 di sesso femminile (F), indistinguibili tra loro. Ci domandiamo qual è la probabilità di scegliere due cavie entrambe di sesso F. Possiamo pensare in termini di due estrazioni successive dalla gabbia che contiene le cavie. Possiamo calcolare facilmente qual è la probabilità di prendere una cavia F alla prima estrazione, si ha P(F I )=6/10 Possiamo quindi calcolare P(F II F I ), che esprime la probabilità di prendere una cavia F alla seconda estrazione, sapendo di avere preso una F alla prima.

20 CONDIZIONALE Si ottiene P(F II F I )=5/9 La legge delle probabilità composte ci dice allora che La probabilità di prendere due cavie entrambe F è P(F I F II ) = P(F I ) P(F II F I ) = (6/10) (5/9) = 1/3 OSSERVAZIONE:Avremmo anche potuto ragionare secondo lo schema classico, calcolando il rapporto tra numero casi favorevoli e numero casi possibili. Ottenendo?..

21 CONDIZIONALE OSSERVAZIONE: Nella definizione di probabilità condizionale, scambiando A con B, naturalmente se P(A)>0, si ottiene P(B A) = P(A B) / P(A) Per l evento congiunto, quindi possiamo dire che vale P(A B)= P(B) P(A B), ma anche P(A B)= P(A) P(B A) Dunque, possiamo dire che P(B) P(A B) = P(A) P(B A)

22 CONDIZIONALE Osserviamo che, talvolta, la probabilità di un evento A è modificata dal sapere che si è verificato un evento B, vale a dire P(A B) P(A), come nel caso precedente delle cavie, o nel caso del lancio del dado per l evento esce un punteggio inferiore a 4, sapendo che il punteggio ottenuto è dispari. Se P(A B) > P(A) diremo che i due eventi sono correlati positivamente, B rende A più probabile ATTENZIONE! Questo non vuol dire che B sia una causa di A! Se P(A B) < P(A) diremo che i due eventi sono correlati negativamente, B rende A meno probabile.

23 CONDIZIONALE Talvolta, invece, si ottiene P(A B)=P(A), vale a dire che il venire a conoscenza dell evento B non modifica la probabilità dell evento A ad esempio nel caso del lancio ripetuto due volte di una moneta, la probabilità di avere T al secondo lancio non è modificata dalla conoscenza dell esito del primo.

24 CONDIZIONALE DEFINIZIONE: Se P(A B) = P(A), diremo che gli eventi A, B sono indipendenti. Quando gli eventi sono indipendenti la legge della probabilità composta diviene P(A B) = P(A) P(B) Si osserva che se P(A B) = P(A), anche P(B A) = P(B) (perché? )

25 CONDIZIONALE ATTENZIONE! Non confondere la proprietà di incompatibilità con quella di indipendenza! Due eventi A, B sono incompatibili quando A B=Ø In questo caso P(A B) =0 Due eventi A, B sono indipendenti quando P(A B) =P(A) P(B) Quando due eventi A, B sono sia incompatibili che indipendenti?

26 CONDIZIONALE ATTENZIONE! Per calcolare P(A B), non dimenticare di dividere P(A B) per P(B). Talvolta questo errore nasce dal fatto che il problema che stiamo risolvendo, accentra la nostra attenzione sull evento A B tanto da spingerci a identificarlo con A sapendo di B. In altri casi l errore nasce dal fatto che, poiché sappiamo che B si è verificato, si pensa a B come all evento certo e quindi a P(B)=1, ma P(B), in assenza di informazioni è diverso da 1, mentre è, ovviamente, P(B B) =1.

27 Eventi indipendenti- eventi dipendenti Da un indagine compiuta in un liceo frequentato da 384 ragazzi e 576 ragazze, risulta che soltanto 192 alunni, di cui 120 maschi, praticano un attività sportiva. Scegliendo a caso un alunno di quel liceo, qual è la probabilità che sia maschio? pratichi un attività sportiva? sia un maschio e pratichi un attività sportiva? qual è la probabilità che un alunno maschio pratichi sport? qual è la probabilità che un alunno che pratica sport sia maschio?

28 Eventi indipendenti- eventi dipendenti SOLUZIONI: P(M) = 384/960 P(M S) = 120/960 = P(S M) = 120/384 = P(M S) = 120/192 = 0.625

29 Eventi indipendenti- eventi dipendenti Una piccola biblioteca contiene 1550 libri, 310 dei quali trattano argomenti di fisica; sappiamo che 465 libri sono scritti in inglese e che, di questi, 93 sono di fisica. Qual è la probabilità che, scegliendo un libro a caso, si trovi un libro scritto in inglese? fra i libri di fisica un libro scritto in inglese? fra i libri di argomento diverso dalla fisica un libro scritto in inglese?

30 Eventi indipendenti- eventi dipendenti Confrontando i due problemi. Nel caso del liceo, la concentrazione di chi pratica attività sportiva fra tutti gli studenti del liceo è n(s)/n(l) = 1/5 ed è diversa dalla concentrazione degli studenti maschi che praticano sport rispetto al totale dei maschi n(s M)/n(M) = 120/384 = 5/16 S e M sono eventi dipendenti

31 Eventi indipendenti- eventi dipendenti Confrontando i due problemi. Nel caso dei libri: la concentrazione dei libri scritti in inglese rispetto a tutti i libri della biblioteca n(i)/n(b) =465/1550=3/10 è la stessa della concentrazione di libri inglesi di fisica rispetto a tutti i libri di fisica n(i F)/n(F)=93/310=3/10 I e F sono eventi indipendenti