ESERCIZI DI PROBABILITA. Figure 1.4: rappresentazione grafica qualitativa relativa all'esercizio 1.

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1 1) Siano A, B e C eventi di e siano ESERCIZI DI PROBABILITA Calcolare a) b) c) Figure 1.4: rappresentazione grafica qualitativa relativa all'esercizio 1. a) b) ; perché. Poiché si ottiene c) 2) Si ritiene la probabilità di vincere ad un certo gioco di carte, la probabilità di vincere ad un secondo gioco di carte e la probabilità di vincerli entrambi. È giusta tale supposizione? sia A l'evento di vincere il primo gioco e B l'evento di vincere il secondo gioco: allora, e. Ora, poiché è l'evento di vincere almeno uno dei due giochi. Calcolando esplicitamente si ha:. e se ne conclude che la supposizione è errata.

2 sia, allora n=5 e la soluzione è il numero di permutazioni: P 5 =5!=120. 3) Si lanci una moneta 3 volte e si conti quante volte è uscito testa. Scrivere uno spazio campione per tale esperimento e descriverlo.. Esso è discreto (finito). 4) In quali dei seguenti casi A e B sono mutuamente esclusivi? a) Si lanci una moneta due volte e si definiscano gli eventi A di ottenere testa al primo lancio e B di ottenere testa al secondo lancio. b) Si lancino due dadi e si definiscano gli eventi A di ottenere per somma 7 e B di ottenere una coppia di numeri uguali. a), dato che può accadere che esca testa in entrambi i lanci, e dunque gli eventi non sono mutuamente esclusivi. b) perché 7 è dispari e dunque non può essere il doppio di un altro intero: quindi in questo caso gli eventi sono mutuamente esclusivi. 5) Nel gettare 2 dadi (nell'ordine, il primo rosso ed il secondo verde) si supponga che i 36 risultati siano equiprobabili. Siano: A l'evento di ottenere per somma 7, B l'evento di ottenere 2 numeri uguali e C l'evento di ottenere due 1. Calcolare P(A), e. N=36: è N A =6 perché. Ne segue che dove l'ultima segue dal fatto che 6) Qual è la probabilità di estrarre un asso o una figura da un mazzo di 40 carte? si ha N=40. Se A è l'evento di estrarre un asso allora N A =4; se B è l'evento di estrarre una figura allora N B =12. L'evento di estrarre un asso o una figura è ed essendo si può scrivere. 7) Ai 5 migliori studenti di una scuola vengono assegnati 3 premi di diverso valore, per sorteggio. In quanti modi possibili possono venire distribuiti i 3 premi? sia semplici di 3 elementi di A:, allora n=5 e k=3. La soluzione corrisponde al numero di disposizioni 8) In quanti modi diversi un rappresentante può far visita a 5 ditte con recapito in 5 quartieri diversi di una città.

3 9) Quante cinquine si possono formare con i 90 numeri del lotto? 10) Una società (100 soci) deve nominare nell'ordine un presidente, un vicepresidente, un segretario e un tesoriere. a) Quante scelte ci sono dell'ufficio di presidenza se ogni socio è ugualmente eleggibile? b) Se gli incarichi fossero decisi a caso, quale sarebbe la probabilità che i sigg. Rossi (R), Bianchi (B), Verdi (V) e Neri (N), nell'ordine, siano eletti rispettivamente presidente, vice presidente, segretario, tesoriere? c) Qual è, infine, la probabilità che questi 4 soci abbiano tutti e 4 un'incarico? a) Siano, n=100, possibili persone prese 4 alla volta disposizioni semplici di 100 elementi presi 4 alla volta. Allora b) Sia H l'evento di scegliere (R, B, V, N) nell'ordine, allora : c) Sia C l'evento che accada (R, B, V, N), o (B,R,V,N), eccetera e sia N C la cardinalità di C, allora N C =4! e 11) In un'urna ci sono 15 palline bianche (B), 4 rosse (R) e 8 nere (N), uguali per forma, peso e dimensione. Qual è la probabilità che, estraendo 2 palline, siano entrambe rosse? sia palline,. Poiché le palline vengono estratte a coppie, indichiamo con l'insieme delle combinazioni semplici di 27 oggetti presi due alla volta: allora Sia A l'evento di estrarre 2 palline rosse: si ha da cui si ricava 12) In quanti modi si possono dividere 100 studenti in 4 gruppi affinché nel primo ce ne siano 30, nel secondo 20, nel terzo 35 e nel quarto 15?

4 13) Una scatola contiene 10 palline, 6 verdi (V) e 4 bianche (B), tali che: 4 palline verdi sono lisce e le altre 2 verdi sono ruvide (R), 1 pallina bianca è liscia e le altre 3 bianche sono ruvide (R). Supposto lo spazio campionario equiprobabile ed estratta a caso una pallina, si chiede di calcolare: a) b) P(B R). a) b). 14) Si consideri l'esperimento del lancio di una moneta non truccata 2 volte. Si descriva e si considerino: A 1 l'evento di avere testa (T) al primo lancio, A 2 l'evento di avere T al secondo lancio, A 3 l'evento di avere T una e una sola volta. Si dica se A 1, A 2 e A 3 sono indipendenti. indicato con C il caso in cui esce croce si ha (figura 3.4): Verifichiamo ora se A 1,e A 3 sono indipendenti: Figure 3.4: albero dell'esperimento di due lanci consecutivi di una moneta non truccata. 15) Si estraggano 5 carte da un mazzo di 52 carte. Se le carte sono rosse, qual è la probabilità che siano 5 cuori? Risolviamo questo esercizio in due modi differenti.

5 Primo modo. Sia A l'evento di estrarre 5 cuori fra i 13 presenti nel mazzo e sia B l'evento di estrarre 5 carte rosse fra le 26 presenti nel mazzo. La cardinalità dell'evento B, che indichiamo con N B, è il numero di combinazioni semplici di 5 elementi di un insieme formato da 26 elementi, ovvero La cardinalità dell'evento è invece il numero di combinazioni semplici di 5 elementi di un insieme formato da 13 elementi, ovvero Ciò a cui siamo interessati è la probabilità dell'evento A B, ossia dell'evento di aver estratto cinque cuori sapendo che le carte estratte sono rosse. Dunque, dalla definizione di probabilità condizionata si ha Secondo modo. Possiamo considerare l'esperimento come costituito da cinque passi successivi, in ognuno dei quali viene estratta una carta che non viene piú reinserita nel mazzo: in questo modo possiamo affrontare il problema costruendo l'albero degli eventi di figura 3.5, in cui si è indicato con C l'evento di estrarre una carta di cuori e con N quello di estrarre una carta che non sia cuori. Per comodità, nella figura sviluppiamo l'albero solo lungo i rami che interessano. Figure 3.5: albero dell'esperimento di estrarre cinque carte di cuori da un mazzo da poker. Ora facendo uso del teorema della moltiplicazione si trova che la probabilità cercata è: 16) In un ufficio il lavoro viene svolto nelle seguenti percentuali: il 30% dal sig. Rossi, il 25% dal sig. Verdi ed il 45% dal sig. Bianchi. Si sa che le pratiche preparate dai sigg. Rossi, Verdi e Bianchi contengono rispettivamente lo 0.01%, lo 0.005% e lo 0.003% di errori e che ogni pratica è evasa da un solo impiegato. Se una pratica presenta errori, qual è la probabilità che sia stata preparata dal sig. Rossi? Siano A l'evento che vi siano errori nella pratica e B R, B V, B B gli eventi che la pratica sia stata preparata rispettivamente dal sig. Rossi, dal sig. Verdi e dal sig. Bianchi. Allora da cui si ha

6 17) In quanti modi si può formare una giuria di 4 persone fra 9 persone? 18) Una gara con 50 concorrenti si svolge in 2 manche. Quante sono le diverse classifiche dei primi 3 di ciascuna manche? Il numero delle classifiche dei primi 3 concorrenti nella prima manche è dato dal numero dei sottoinsiemi ordinati di 3 elementi da un insieme di 50 elementi: D 50, 3 = Poiché il numero delle classifiche dei primi 3 nella seconda manche è ancora dato da: D 50, 3 = il numero cercato è dato dal prodotto dei due ( ) 2 in quanto per ogni terna di classificati nella prima manche abbiamo modi per scegliere i classificati nella seconda manche. 19) Un sacchetto contiene 8 palline rosse (R) e 5 palline verdi (V). Si effettuino 3 estrazioni successive senza reinbussolamento (ossia senza reintrodurre la pallina estratta nel sacchetto). a) Qual è la probabilità che la prima e la terza pallina estratta siano entrambe rosse? b) Qual è la probabilità che tutte le tre palline estratte siano rosse? Figure 3.9: albero relativo all'esperimento dell'estrazione di tre palline senza reinbussolamento. possiamo anche in questo caso affrontare la soluzione seguendo due strade. Primo modo: Mediante gli alberi, seguendo la figura 3.9, dobbiamo calcolare la probabilità degli eventi RRR ed RVR, per la prima domanda, e la probabilità del solo evento RRR per la seconda domanda. Si ha: Come è evidenziato in figura 3.9, in questo caso la richiesta che la prima pallina sia rossa consente di escludere a priori un'intera metà dell'albero (quella evidenziata). Secondo modo: Siano R 1, R 2, R 3 gli eventi di estrarre una pallina rossa alla prima, seconda e terza estrazione, rispettivamente. In modo analogo siano V 1, V 2 e V 3 gli eventi di estrarre una pallina verde alla prima, seconda e terza estrazione, rispettivamente. a) Sia A l'evento che le palline estratte alla prima e alla terza estrazione siano entrambe rosse, allora

7 Osserviamo che gli eventi R 1, R 2, V 2 ed R 3 non sono indipendenti, poiché il numero totale di palline ad ogni estrazione diminuisce e dunque cambia anche la probabilità di estrarre una pallina di un certo colore. Usando il Teorema della moltiplicazione possiamo scrivere: I due eventi e sono invece disgiunti, in quanto alla seconda estrazione o si estrae una pallina rossa (R 2 ), oppure se ne estrae una verde (V 2 ). Quindi possiamo scrivere che coincide con il risultato trovato nel primo modo. Per verificare il fatto che gli eventi non sono indipendenti, calcoliamo separatamente P(R 1 ) e P(R 3 ): per le ipotesi è P(R 1 )=8/13, mentre, con riferimento alla figura 3.9, osserviamo che dove i quattro eventi RRR, RVR, VRR e VVR sono mutuamente incompatibili. Dunque la probabilità di estrarre una pallina rossa alla terza estrazione è data da Allora si ha che per definizione conferma la non indipendenza degli eventi R 1 ed R 3. b) Come già osservato nel punto a), la probabilità di estrarre tre palline rosse è data da Osservazione: Perché in b) non possiamo considerare 1/8 la probabilità di estrarre tutte palline rosse? Il motivo sta nel fatto che gli eventi possibili nelle successive estrazioni non sono equiprobabili, come si vede facilmente anche dai diversi valori dei rami dell'albero di figura 3.9. Come cambierebbero i risultati e le conclusioni se ci fosse reinbussolamento? 20) Ad una gara prendono parte 100 concorrenti. In quanti modi si possono classificare i primi 6? Il numero cercato non è altro che il numero di sottoinsiemi ordinati (è importante l ordine di arrivo nello stilare le classifiche) formati da 6 elementi a partire dall insieme dei 100 concorrenti: D 100, 6 = ) Ad una gara prendono parte 4 squadre formate da 5 concorrenti ciascuna. Quante sono le classifiche dei primi 4 concorrenti se si vuole: a) che siano di 4 squadre diverse, b) che siano della stessa squadra. a) In 4 modi si può scegliere la squadra del primo classificato e in 5 modi si sceglie un concorrente in questa squadra; per il secondo classificato ci sono 3 possibilità di scelta della squadra e sempre 5 possibilità di scelta del concorrente, e così via. Il numero cercato è allora: ( 4 5) ( 3 5) ( 2 5) ( 1 5)

8 b) In questo caso si deve scegliere la squadra, con 4 possibilità di scelta, quindi contare le classifiche dei primi 4 concorrenti appartenenti a tale squadra: 4 ( ) 22) Sia E = { 1, 2, 3, K, 30}. Quanti sono i sottoinsiemi di E formati da 4 elementi, due divisibili per 3 o per 7 mentre non lo è alcuno degli altri due? Chiamiamo A E l insieme dei numeri divisibili per 3 e B E l insieme dei numeri divisibili per 7. {,,,, } B = { 7, 14, 21, 28} ha 4 elementi. A = K 30 ha 10 elementi Poiché siamo interessati ai sottoinsiemi nei quali due elementi sono divisibili per 3 oppure per 7 questi elementi vanno allora scelti dall insieme A B. Quanti sono gli elementi di A B? Sono 13 in quanto il numero 21 appartiene ad entrambi. Riassumendo, dei 30 elementi di E, 13 sono divisibili per 3 o per 7, i rimanenti 17 non sono allora divisibili per questi due numeri. Il numero cercato è allora: = = =. 2 2! 2! 23) 14 studenti devono sostenere un esame e compilano una lista per stabilire l ordine dell interrogazione. Quante sono le possibili liste? Si devono ordinare totalmente i 14 studenti ed i modi possibili sono: P 14 = 14! 24) Quanti sono i possibili anagrammi della parola FOGLIA che non cominciano per A. Nella parola FOGLIA ci sono 6 lettere e il numero dei suoi anagrammi è 6! Di questi, 5! sono quelli che cominciano per A. Il numero cercato è allora: 6!-5!=6. 5!-5!=5. 5! Lo si poteva calcolare direttamente: in 5 modi si sceglie il posto dove inserire la lettera A ed in 5! modi si ordinano le lettere rimanenti. 25) In quanti modi si possono scegliere 5 numeri diversi da 1 a 10 in modo che la loro somma sia pari (quando non si tenga conto dell ordine)? Elenchiamo quali sono le possibilità di scelta, per ottenere come somma di 5 numeri un numero pari: 5 numeri pari (scelti in 1 modo soltanto, essendo 5 i numeri pari da 1 a 10); numeri pari e 2 numeri dispari (scelti in 3 2 modi); numero pari e 4 numeri dispari (scelti in 1 4 modi). Il numero cercato è allora: = = =. 2! 2! 26) 10 impiegati vanno in ferie in 3 turni distinti: 3 nel primo turno, 4 nel secondo e 3 nel terzo. Quante sono le possibili assegnazioni degli impiegati ai tre turni? Incominciamo a contare a partire dal primo turno: 10 in modi si possono scegliere, tra i 10 impiegati, quelli che fanno il primo turno; 3 per scegliere i 4 impiegati del secondo turno, la scelta va fatta tra i 7 rimanenti, quindi:

9 7 in modi si possono scegliere, tra 7 impiegati, quelli del secondo turno; 4 infine rimangono 3 impiegati che vengono assegnati al terzo turno, quindi: 3 in 1 3 = modo. Il numero cercato è allora: = = = =. 3! 4!

10 ESERCIZI DA SVOLGERE Sia A un insieme con 5 elementi e B uno con 9 elementi, quali di questi numeri può essere la cardinalità dell'unione: 1, 4, 7, 9, 14, 21, 23? Dei numeri di quattro cifre formati con le nove cifre 1, 2,, 9 si trovi: 1. quanti hanno le cifre tutte distinte, 2. quanti hanno le cifre in ordine crescente, 3. quanti hanno due cifre pari e due cifre dispari. Quanti sono i numeri di quattro cifre tutte distinte che non iniziano con 0? In quanti modo otto rematori possono disporsi in un canotto, con la limitazione che i due più deboli non vadano né al primo né all'ultimo posto? In quanti modi si possono ordinare (linearmente) n oggetti, di cui m 1 sono uguali tra loro, m 2 uguali fra loro (e diversi dai precedenti),..., m r uguali tra loro (e diversi da tutti i precedenti)? (m 1 + m m r = n) In quanti modi diversi si possono disporre n persone attorno a un tavolo rotondo? (Si pensa che due disposizioni coincidono se ciascuno dei presenti ha le stesse due persone accanto). Usando le 16 consonanti e le 5 vocali dell'alfabeto italiano, quante parole (non necessariamente di senso compiuto) di 3 lettere si possono formare? Quante parole di tre lettere soddisfano la condizione di contenere almeno una vocale? Ho quattro libri, uno rosso, uno giallo, uno verde e uno blu. In quanti modi posso disporli sullo scaffale in modo che quello blu e quello verde non siano vicini? Un maestro di musica deve costituire un coro, formato da 8 soprani, 7 tenori e 6 baritoni. Può scegliere tra 30 candidati, 10 per ogni categoria. Quanti cori diversi può formare? Quante sono le parole (anche senza significato) di 3 lettere distinte che si possono ottenere utilizzando quelle della parola ALBERO? In una gara vengono premiati rispettivamente con medaglie d oro, d argento e di bronzo i primi 3 classificati in ciascuna delle tre categorie di partecipanti: allievi, ragazzi e juniores. Sapendo che ci sono 15 concorrenti nella categoria allievi, 10 concorrenti nella categoria ragazzi e 13 nella categoria juniores dire quante sono le possibili assegnazioni delle medaglie. In una gara con 30 partecipanti vengono premiati i primi 7. Quante sono le possibili assegnazioni dei premi se il concorrente Tizio si è classificato tra i premiati? Quante invece se Tizio è arrivato quinto? Quante se Tizio è arrivato primo? Quanti sono i numeri formati da 5 cifre dispari distinte? E quanti quelli formati da 5 cifre dispari distinte seguite da 2 cifre pari uguali? Ad una gara partecipano 9 concorrenti, 5 della squadra A e 4 della squadra B. Quante sono le classifiche generali con ai primi 3 posti i concorrenti di una stessa squadra? Da un mazzo di 52 carte se ne estraggono 5. In quanti modi si possono ottenere 2 assi, la donna di cuori ed altre 2 figure? In quanti modi si possono ripartire 7 oggetti in 2 classi (entrambe non vuote) in modo che nella prima classe ci siano almeno 5 oggetti?