Domande di teoria. Esercizi

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1 1 Domande di teoria 1. Vedi pp Vedi pp Vedi p Vedi p Vedi pp Vedi pp Vedi pp Vedi pp Vedi pp Esercizi Esercizio 1 a. In un mazzo di carte francesi lo spazio campionario è costituito da 52 elementi. Nel caso dell'estrazione di un fante, il numero di eventi favorevoli è 4, per cui la probabilità di estrarre un fante è 4 / 52 =.08. b. In questo caso il numero di eventi favorevoli è 3, per cui la probabilità del successo è 3 / 52 =.06 c. In questa situazione ci troviamo di fronte al caso di eventi disgiunti (congiunzione "o"), per cui utilizzeremo il principio della somma. Prima, però, occorre valutare se gli eventi siano o meno mutuamente escludentisi, ossia, se vi siano elementi dello spazio campionario che li soddisfano entrambi. In questo caso non ve ne sono, dato che nessun fante è anche un asso o viceversa, per cui possiamo scrivere: p(j A) = p(j) + p(a) = 4/52 + 4/52 =,15 d. Anche in questa situazione ci troviamo di fronte al caso di eventi disgiunti (congiunzione "o"), ma differentemente dal punto (c) vi è una carta che soddisfa sia la condizione "fante" sia quella "figura di cuori", che è il fante di cuori. Per questo motivo, oltre a sommare le probabilità dei due eventi (4/52 e 3/52) dovremo sottrarre la probabilità che i due eventi si verifichino congiuntamente (1/52). Per cui: p(j Figura ) = p(j) + p(figura ) p(j Figura ) = 4/52 + 3/52 1/52 =,12 e. In questa situazione ci troviamo di fronte al caso di eventi congiunti (congiunzione "e"), per cui utilizzeremo il principio del prodotto. Prima, però, occorre valutare se gli eventi siano o meno dipendenti fra loro, ossia, se il verificarsi dell'uno modifica la probabilità di verificarsi dell'altro. Poiché le estrazioni sono con reinserimento non è questo il caso, per cui la soluzione è: p(j A) = p(j) p(a) = 4/52 4/52 =,0059

2 2 f. Anche questa situazione ci troviamo di fronte al caso di eventi congiunti (congiunzione "e"), ma poiché l'estrazione è senza reinserimento i due eventi sono dipendenti, in quanto il verificarsi dell'uno modifica lo spazio campionario dell'altro. La soluzione è quindi: Esercizio 2 p(j A) = p(j A J) = p(j) p(a J) = 4/52 4/51 =,0060 a. Ottenere sei volte consecutive la faccia 5 significa ottenerla al primo lancio e al secondo lancio e al terzo lancio e al sesto lancio. La congiunzione "e" suggerisce che dobbiamo utilizzare il principio del prodotto, in quanto si tratta di eventi congiunti. Poiché la probabilità che esca una certa faccia non è modificata dagli esiti dei lanci precedenti, la soluzione è: Successo = faccia 5; p(successo) = 1/6; p(6 successi) = 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 = (1/6) 6 =, b. Un numero pari, nel caso del lancio di un dado, è un evento composto, dato che il successo è rappresentato dalle facce 2, 4 e 6. La probabilità del successo è quindi 3 / 6 =,50. p(3 successi) =,50,50,50 = (,50) 3 =,125 c. Se il successo è rappresentato dall'ottenere esattamente 8 volte la faccia 1 in 10 lanci, sono sequenze favorevoli tutte quelle che, indipendentemente dall'ordine, presentano esattamente 8 volte la faccia 1. In questo caso dobbiamo avvalerci della distribuzione binomiale e utilizzare la formula: n p( k) = p k k k q n dove k = numero successi, n = numero prove, p = probabilità a priori del successo, q = 1 p, ovvero probabilità a priori dell insuccesso. Ricordiamo che: n n! = = k k!( n k)! In questo caso la probabilità del successo è 1/6, per cui quella dell'insuccesso sarà 1 1/6 = 5/6. Il numero di prove n è 10, quello di successi k 8, per cui: p (5) = 1/ 6 5/ 6 8 Svolgiamo prima il coefficiente binomiale: n C k Il risultato è quindi: p(5 successi) = 252,000129, =,013

3 3 d. Se il successo è rappresentato dall'ottenere almeno 8 volte la faccia 1 in 10 lanci, significa che il successo è rappresentato non solo dall'ottenerla 8 volte, ma anche dall'ottenerla 9 e 10 volte. Questo significa che per rispondere alla domanda non basterà calcolare la probabilità relativa ad 8 successi, ma dovremo calcolare anche quella relativa a 9 e 10, per cui avremo che: p(almeno 8 successi) = p(8 successi) + p(9 successi) + p(10 successi) ossia / 6 5/ 6 8 Risolviamo i coefficienti binomiali: + 1/ 6 9 5/ 6 + 1/ 6 5/ 6 10 mentre sappiamo già che gli altri due sono uguali a 10 e 1 perché cui avremo che: n n = n e = 1, per n 1 n p(almeno 8 successi) = [45, , ] + [10, , ] + + [1, ] =, Esercizio 3 Per risolvere questo esercizio dobbiamo innanzitutto costruire la tabella di contingenza richiesta in base alle informazioni fornite. Le femmine sono il 70% di 150, quindi, = 105 Completiamo la tabella: Titolo di studio Genere Licenza Media Diploma Laurea Totale Femmina 105 Maschio Totale Titolo di studio Genere Licenza Media Diploma Laurea Totale Femmina Maschio Totale a. I maschi sono 45 su 150, per cui p(maschio) = 45 / 150 =,30 b. I laureati sono 60 su 150, per cui p(laureato) ) = 60 / 150 =,40 c. In questa situazione ci troviamo di fronte al caso di eventi disgiunti (congiunzione "o"), per cui utilizzeremo il principio della somma. Prima, però, occorre valutare se gli eventi siano o meno mutuamente escludentisi, ossia, se vi siano elementi dello spazio campionario che li soddisfano entrambi. In effetti vi sono 12 maschi che sono anche laureati, la cui probabilità di essere estratti è 12 / 150 =,08.

4 4 La soluzione quindi è: p(m Laureato) = p(maschio) + p(laureato) p(maschio Laureato) = =,30 +,40,08 =,62 d. La condizione "almeno diplomato" indica che possiamo considerare come successo sia i diplomati che i laureati, per cui il numero di casi favorevoli è = 110. La soluzione quindi è: p(almeno diplomato) = p(diplomato) + p(laureato) = (50 / 150) + (60 / 150) =,73 e. In questa situazione ci troviamo di fronte al caso di eventi congiunti (congiunzione "e"), per cui utilizzeremo il principio del prodotto. Poiché l'estrazione è con reinserimento, gli eventi sono indipendenti fra loro, e dunque lo spazio campionario rimane invariato ad ogni estrazione. p(1a = M 2a = F) = p(m) p(f) = (45 / 150) (105 / 150) =,21 f. In questa situazione ci troviamo di fronte al caso di eventi congiunti (congiunzione "e"), per cui utilizzeremo il principio del prodotto. Poiché l'estrazione è senza reinserimento, gli eventi non sono indipendenti fra loro, e dunque lo spazio campionario cambia ad ogni estrazione. In questo caso particolare, però, oltre allo spazio campionario ad ogni estrazione successiva cambia anche il numero di eventi favorevoli, dato che se si è estratto un maschio alla prima estrazione, alla seconda estrazione ci sarà un soggetto in meno ma anche un maschio in meno, per cui: p(1a = M 2a = M) = p(1a = M [2a = M 1a = M]) = (45 / 150) (44 / 149) =,09 g. Il modo più semplice è quello di considerare che la condizione "né maschio né laureato" nel caso in questione identifica come successi le sole femmine diplomate e con licenza media, che sono = 57. Oppure potremmo considerare che: p(né Maschio né Laureato) = 57 / 150 =,38 p(non Maschio) = 1 p(maschio) = 1,30 =,70; p(non Laureato) = 1 p(laureato) = 1,40 =,60; Poiché gli eventi non sono mutuamente escludentisi, calcoliamo anche la probabilità: p(non Maschio Laureato) = 1,08 =,92 Per cui: p(non Maschio Non laureato) = = p(non Maschio) + p(non Laureato) p(non Maschio Laureato) = =,70 +,60,92 =,38

5 5 Esercizio 4 a. Poiché utilizziamo tutti i test a disposizione, la soluzione si ottiene col calcolo della permutazioni ( n P n ), ossia n!. In questo caso n = 8, per cui: 8P 8 = 8! = = b. Come riportato nell'approfondimento 3.1, il quadrato latino bilanciato viene costruito a partire dal seguente algoritmo: 1 n 2 n 1 3 n 2 4 n 3 5 n 4 etc. Le sequenze successive vengono ottenute sommando 1 ad ogni cifra della prima riga. Poiché in questo caso n = 8 avremo che la prima sequenza è: A partire da questa prima sequenza aggiungiamo altre sette righe, e il numero in ogni cella è uguale a quello superiore nella stessa colonna più uno. Naturalmente, ogni volta che la cifra nella cella superiore nella colonna è 8, il conteggio riparte da 1: In questo modo di soddisfa la condizione che ogni test è preceduto e seguito da ognuno degli altri lo stesso numero di volte c. Per gruppi distinti si intende il numero di gruppi distinti per la presenza di almeno un elemento, ossia le combinazioni. Essendo i test 8, avremo che: d. Per categorie ordinate si intende il numero di gruppi distinti per la presenza di almeno un elemento e per l'ordine degli elementi, ossia le disposizioni. Essendo i test 8, avremo che: e. In questo caso dobbiamo tenere conto del fatto che i quattro test per la validità di costrutto convergente possono essere disposti in 4! modi, e che a loro volta i quattro test per la validità di costrutto discriminante possono essere disposti in 4! modi. A questo punto basta moltiplicare i due risultati per ottenere la soluzione al quesito: 4! 4! = 576.

6 6 f. In questo caso possono andare bene i seguenti ordini (NB: C = convergente; D = discriminante): C D C D C D C D D C D C D C D C Ora, i quattro test per la validità convergente possono essere disposti nelle rispettive caselle in 4! modi, e lo stesso vale per i quattro test per la validità discriminante. Quindi, avremo che per ognuna delle due sequenze illustrate i modi possibili sono 4! 4! = 576. Poiché le sequenze sono due: = Esercizio 5 a. Per campioni distinti per almeno un elemento si intendono le combinazioni. Poiché siamo nel caso senza ripetizione, dobbiamo utilizzare la seguente formula: C k n Per cui, dato che n = 30 e k = 10, avremo: = n! k!( n k)! b. Per campioni distinti per almeno un elemento si intendono le combinazioni. Poiché siamo nel caso con ripetizione, dobbiamo utilizzare la seguente formula: C k n n + k 1 ( n + k 1)! ( n + k 1)! = = = k k![( n + k 1) k]! k!( n 1)! Per cui, dato che n = 30 e k = 10, avremo: c. Per campioni distinti per almeno un elemento e per l'ordine degli elementi si intendono le disposizioni. Poiché siamo nel caso senza ripetizione, dobbiamo utilizzare la seguente formula: D k n n! = ( n k)!

7 7 Per cui, dato che n = 30 e k = 20, avremo: d. Per campioni distinti per almeno un elemento e per l'ordine degli elementi si intendono le disposizioni. Poiché siamo nel caso con ripetizione, dobbiamo utilizzare la seguente formula: k n D k = n Per cui, dato che n = 30 e k = 20, avremo: n D k 20 = 30 e. I modi che hanno gli studenti di disporsi tutti attorno ad un tavolo rappresentano le permutazioni circolari, la cui formula è: n P circolati n = ( n 1)! = (30 1)! = 29! f. Se vogliamo calcolare in quanti modi gli studenti possono disporsi negli otto posti della prima fila dell'aula, dobbiamo considerare che occorre fare gruppi di 8 studenti da un insieme di 30 che siano distinti sia da almeno un elemento che dall'ordine di questi elementi. Per cui, si tratta di disposizioni: Esercizio 6 Avendo quattro alternative di risposta, delle quali solo una corretta, la probabilità che ha lo studente di rispondere correttamente solo per caso è 1/4 =,25, che costituirà la probabilità del successo. Conseguentemente, la probabilità dell'insuccesso, ossia della risposta errata, sarà 1,25 =,75. a. La probabilità di rispondere correttamente alle prime sei domande corrisponde a rispondere correttamente alla prima domanda, e alla seconda, e alla terza, e alla quarta, e alla quinta, e alla sesta domanda, e non rispondere correttamente e alla settima, e all'ottava, e alla nona e alla decima domanda. Trattandosi di eventi congiunti e indipendenti, dobbiamo utilizzare il principio del prodotto. Non c'è bisogno di fare riferimento alla distribuzione binomiale perché vi è una sola sequenza "vincente". p(risposta corretta alle prime dodici domande) = =,25,25,25,25,25,25,75,75,75,75 = (,25) 6 (,75) 4 =, b. Determinare la probabilità di rispondere correttamente a sei domande ci obbliga a fare riferimento alla distribuzione binomiale, dato sono varie le sequenze "vincenti". Considerando che C = corretta, e E = errata potremmo avere: CCECECECEC, CCECEEECCC, CCCCECECEE, etc. Il numero di queste sequenze è dato dal coefficiente binomiale (ossia, le combinazioni).

8 8 Considerando poi che p =,25 e q =,75, avremo che: p(6 risposte corrette) = n k n k p( k) = p q = p(6) =,25 k 6, dove Quindi avremo che n k n k p( k) = p q = k p(6) =,25 6 6, = 210,000244, =, c. Rispondere correttamente ad almeno 6 domande significa che possiamo considerare un successo o il risultato 6, o il risultato 7, o il risultato 8 o il risultato 9 o il risultato 10, per cui possiamo utilizzare il principio della somma, dato che si tratta di eventi disgiunti. Abbiamo già calcolato la probabilità di sei risposte corrette al punto (b), per cui calcoliamo p(7), p(8), p(9) e p(10), ossia le barre scure nella figura: Probabilità,30,25,20,15,10,05, Numero risposte corrette 6 p (6) =,25,75 6 p (7) =,25, = 210,000244, =,016222, dove per cui p(7) = 120,000061, =, p (8) =,25 8, , dove

9 9 per cui p(8) = 45,000015, =, (9),25, n p =, dove = 10, poiché = n, per cui p(9) = 10, n 1, =, (10),25, n p =, dove = 1, poiché = 1, per cui p(10) = 1, = n, Avremo quindi che: p(almeno sei risposte corrette) = p(6) + p(7) + p(8) + p(9) + p(10) =, , , , , =, d. Rispondere correttamente a meno di 3 domande significa che possiamo considerare un successo o il risultato 2, o il risultato 1, o il risultato 0, per cui possiamo nuovamente utilizzare il principio della somma, dato che si tratta di eventi disgiunti. In questo caso, poiché p q la distribuzione non è simmetrica, per cui non possiamo sfruttare le probabilità già calcolate al punto (c) per l'altra coda della distribuzione. Probabilità,30,25,20,15,10,05, Numero risposte corrette p (2) =,25 2, , dove per cui p(2) = 45,062500, =, , =, = (1),25, p =, dove 10 n, poiché = n, per cui p(1) = 10,

10 10 0, = (0),25, p =, dove 1 Avremo quindi che: n, poiché 1 0 =, per cui p(0) = 1 1, = p(meno di tre risposte corrette) = p(2) + p(1) + p(0) =, , , =,525593