Legge di sopravvivenza nel lancio dei dadi

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1 Un esempio di costruzione di un modello probabilistico: la legge di sopravvivenza nel lancio dei La ricerca dell'accordo con i dati sperimentali: l'approccio visivo e l'uso del Chi-quadro (χ2 ) Legge di sopravvivenza nel lancio dei Obiettivo In questo esperimento imparerai a costruire un modello probabilistico interpretativo dei dati sperimentali che hai acquisito a seguito di lanci successivi di un insieme di un insieme di 100 ed eliminazione, ad ogni lancio, dei che mostravano una faccia specificata (per es. 1); ad effettuare un confronto visivo fra i dati sperimentali e quelli previsti dal modello; ad utilizzare un approccio statistico appropriato (il test del Chi-quadro) per valutare la compatibilità dei dati sperimentali con il modello teorico Materiale: insieme di 100 Acquisizione dati Inizialmente hai a disposizione 100.

2 Riporta questa informazione (e le altre richieste) nella Tabella che segue: Numero di lancio A B C D E F Numero sopravvissut i Numero Totale dei sopravvis suti totale Effettua il primo lancio e conta il numero di che mostrano la faccia 1 e vanno pertanto. Riporta, in Tabella, nella riga che corrisponde al primo lancio il numero di sopravvissuti, il numero di quelli e il totale dei. Ripeti per ognuno degli altri lanci, fino a 15, che effettuerai. Costruisci a partire dalle informazioni nella tabella, due grafici: 1) numero di sopravvissuti in funzione del numero di lanci 2) numero totale di in funzione del numero di lanci Il problema, tuo e dei tuoi compagni, è ora costruire un modello interpretativo delle due distribuzioni e

3 valutarne la compatibilità con le informazioni sperimentali acquisite. Costruzione del modello interpretativo Avendo a disposizione N qual è la probabilità che uno di essi mostri la faccia 1? Qual è il numero di che a seguito del lancio ti aspetti di dover eliminare? La probabilità che uno dei mostri la faccia 1 è p = 1/6 (rapporto tra caso favorevole, la faccia 1 appunto, e casi possibili, il dado ha 6 facce). Inoltre se il numero di da lanciare è pari a N, il numero teorico atteso di quelli che dovrai eliminare è pari a N*p. Cioè ad ogni lancio dovrai eliminare ΔN = N*p essendo N il numero di che stai lanciando p la probabilità per la faccia 1. Naturalmente la relazione fra il lancio (n+1) e il lancio n può essere scritta nella forma Nn+1 = Nn - ΔN = Nn - Nn *p Questa è l espressione matematica del modello teorico. Implementa il modello appena discusso nella Tabella. Se hai riportato nelle colonne A, B e C le informazioni sperimentali puoi sviluppare il tuo modello teorico nelle colonne D, E e F. Iterando fino alla riga che contieni il lancio numero 15 dovresti ottenere le previsioni teoriche per il numero di sopravvissuti. Disponi adesso di tutte le previsioni del tuo modello. Costruisci i due grafici teorici del Numero di sopravvissuti e del Numero totale di al variare del numero di lanci.

4 Ricordati: quando costruisci un grafico sperimentale è opportuno scegliere tra le opzioni disponibili per la tipologia di grafico quella che rappresenta le informazioni con dei punti; quando costruisci un grafico teorico è opportuno invece scegliere quella che rappresenta le informazioni mediante una linea continua Per valutare visivamente quanto bene la teoria descriva i dati sperimentali sovrapponi ognuno dei grafici delle previsioni teoriche a quello sperimentale. Dovresti ottenere due grafici ognuno con i dati sperimentali e con le curve toriche sovrapposte. Calcoliamo ora il χ2 = 115(Ok Ak)2 dove O e' il valore osservato e A e' il valore atteso per il lancio k. Determinazione del valore p a partire dai dati Ovviamente nel nostro caso siamo partiti da un valore noto (perché conoscevamo la forma del dado e quindi il numero di facce) di p =1/6. Immaginiamo una situazione diversa in cui si sa la procedura mediante la quale sono stati acquisiti i dati ma non si hanno informazioni sul tipo di utilizzato e quindi sul valore di p. E possibile effettuare un analisi che permette, a partire dalle informazioni sperimentali, di ricavare il valore di p? La migliore descrizione dei dati si avrà per il valore di p che rende minimo il χ2. Provate, ora a calcolare le vostre previsioni teoriche ed il valore del χ2 per almeno 2 valori p più piccoli di 1/6 e almeno 2 valori di p più grandi di 1/6 (per esempio quelli di seguito riportati o altri da voi scelti). Raccogliete i dati in una tabella del tipo:

5 Analisi del χ2 al variare del parametro p Valori di p 0,13 0,14 0,15 0,16 0,166 0,17 0,18 0,19 0,20 Costruite ora un grafico del χ2 al variare di p. Cosa notate? La funzione χ2 avrà un minimo. Qual è il valore di p che corrisponde al minimo del χ2? E prossimo a quello noto nel nostro caso 0,166? Valore del χ2