Elementi. Statistica. Masterclass - Frascati 18/3/2015 Elementi di statistica Marco Dreucci

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1 Elementi di Statistica

2 1 Fisica Alte Energie : di cosa si occupa? 2 Variabili aleatorie e distribuzioni 3 Fit ai dati sperimentali 4 Tre esempi completi

3 1 Fisica Alte Energie : di cosa si occupa? 2 Variabili aleatorie e distribuzioni 3 Fit ai dati sperimentali 4 Tre esempi completi

4 Spiega il complesso mediante il semplice nel mondo dell infinitamente piccolo.

5 Spiega il complesso mediante il semplice nel mondo dell infinitamente piccolo.

6 Si usa ovviamente il metodo scientifico Fisici sperimentali

7 Classica manovra a tenaglia! Fisici sperimentali Fisici teorici

8 piu son piccoli LHC

9 In concreto, cosa si misura nella HEP? Parametri fondamentali : Branching ratio (BR) : K S K L, K + K, p + p p, 35% 49% 15% 1% vita media () massa (m) costanti di accoppiamento

10 In concreto, cosa si misura nella HEP? Parametri fondamentali : Branching ratio (BR) : K S K L, K + K, p + p p, 35% 49% 15% 1% vita media () massa (m) costanti di accoppiamento attraverso quantita di moto p ; energia E rilasciata nel calorimetro ; angoli e direzioni delle particelle prodotte ; intervalli temporali ; efficienza rivelatore/selezione ; contaminazione selezione ; ecc.

11 Finiscono prima o poi le misure? sperim teor

12 Finiscono prima o poi le misure? Può aver senso ripetere una stessa misura sperim sperim teor teor

13 1 Fisica Alte Energie : di cosa si occupa? 2 Variabili aleatorie e distribuzioni 3 Fit ai dati sperimentali 4 Tre esempi completi

14 Valor medio Indicatori fondamentali m= Deviazione standard N x i σ = (m x N 1 i ) 2 x = m e x = /m

15 Valor medio Indicatori fondamentali m= Deviazione standard RMS N x i σ = (m x i N 1 ) 2 x = m e x = /m f bin m ~ x Istogramma o distribuzione

16 Esempio Misura spessore cavo elettrico frequenza N = s (mm) s = ( ) mm e r = 5,9%

17 aleatorie Tipi di variabili VA : gaussiana, x misura di una grandezza in presenza di errori casuali. spessore cavo elettrico massa di una particella misura di un intervallo di tempo

18 VA : gaussiana, x Tipi di variabili aleatorie VA : binomiale, k misura di una grandezza in presenza di errori casuali. numero di successi in N prove m = Np ; σ = Np( 1 p) spessore cavo elettrico massa di una particella misura di un intervallo di tempo risultato lancio di un dado efficienza rivelatore # decays di una particella in un dato canale

19 VA : gaussiana, x aleatorie Tipi di variabili VA : binomiale, k VA : poissoniana misura di una grandezza in presenza di errori casuali. numero di successi in N prove m = Np ; σ = Np( 1 p) Caso particolare di var.binom.: - successo: evento raro, p 0 - numero infinito di prove N m = Np ; σ = m spessore cavo elettrico massa di una particella misura di un intervallo di tempo # nascite al giorno # decays in 5s sostanza radioattiva # di eventi in un bin di un istogramma risultato lancio di un dado efficienza rivelatore # decays di una particella in un dato canale

20 Esempio 1 di VA gaussiana : massa di una particella f f M (MeV) M (MeV)

21 f R m m- m+ 68% m-2 m+2 M (MeV)

22 Esempio 2 di VA gaussiana : Misura intervallo temporale b Riv 1 a entries/ns ~ 37 m Riv2 Riv3 ~ 4 m t (ns)

23 Esempio di VA binomiale : I conteggi Z 0 ee, mm,, qq - Osservati N=1000 decadimenti Z 0 - Osservati K=34 eventi Z 0 ee (BR=3,4%)

24 Esempio di VA binomiale : I conteggi Z 0 ee, mm,, qq - Osservati N=1000 decadimenti Z 0 - Osservati K=34 eventi Z 0 ee (BR=3,4%) σ = Np( 1 p) 10000,034( 1 0,034 ) 6 k

25 Esempio di VA binomiale : I conteggi Z 0 ee, mm,, qq - Osservati N=1000 decadimenti Z 0 - Osservati K=34 eventi Z 0 ee (BR=3,4%) σ = Np( 1 p) 10000,034( 1 0,034 ) 6 k σ Np( = 1 m pn p) 1 N # osservaz. precisione N = 50 ~ 10% N = 10 3 ~ 2.4% N = 10 6 ~ 0.08%

26 1 Fisica Alte Energie : di cosa si occupa? 2 Variabili aleatorie e distribuzioni 3 Fit ai dati sperimentali 4 Tre esempi completi

27 relazione matematica=legge fisica=grafico : i valori sperimentali si adattano ad esso? Fare un fit : trovare la funzione che meglio si adatta ai dati

28 A scuola si fa a mano ( I ) Allungamento di una molla y = kx

29 A scuola si fa a mano ( I ) Allungamento di una molla y = kx k = 0.20 ± 0.03 cm/g

30 Ma esistono vari programmini PAW ROOT ( II ) Allungamento di una molla y = kx

31 ( I ) Spessore di un cavo elettrico A y = e 2πσ (x m) 2 2σ 2 gaussiana

32 Errori casuali da due sorgenti ( II ) Spessore di un cavo elettrico gaussiana

33 Errori casuali da due sorgenti ( II ) Spessore di un cavo elettrico gaussiana bigaussiana

34 Un fit non e fatto sempre per verificare l adattamento, ma per trovare qualche parametro Misura vita media y=ae t τ Legge stranota, ma voglio trovare la vita media esponenziale ( t(s

35 Quale e il criterio per dire che un fit e OK? Se il fenomeno in studio e ben noto, la funzione y = f (x;a) è nota. Lo scopo del fit e allora determinare il valore del parametro che corrisponde al miglior adattamento della curva ai dati sperimentali.

36 Quale e il criterio per dire che un fit e OK? Se il fenomeno in studio e ben noto, la funzione y = f (x;a) è nota. Lo scopo del fit e allora determinare il valore del parametro che corrisponde al miglior adattamento della curva ai dati sperimentali. y i f(x i ;a) x i

37 Quale e il criterio per dire che un fit e OK? Se il fenomeno in studio e ben noto, la funzione y = f (x;a) è nota. Lo scopo del fit e allora determinare il valore del parametro che corrisponde al miglior adattamento della curva ai dati sperimentali. y i f(x i ;a) x i

38 Quale e il criterio per dire che un fit e OK? Se il fenomeno in studio e ben noto, la funzione y = f (x;a) è nota. Lo scopo del fit e allora determinare il valore del parametro che corrisponde al miglior adattamento della curva ai dati sperimentali. y i f(x ;a) i σ i x i

39 Quale e il criterio per dire che un fit e OK? Se il fenomeno in studio e ben noto, la funzione y = f (x;a) è nota. Lo scopo del fit e allora determinare il valore del parametro che corrisponde al miglior adattamento della curva ai dati sperimentali. y i f(x ;a) σ i i 2 x i

40 Quale e il criterio per dire che un fit e OK? Se il fenomeno in studio e ben noto, la funzione y = f (x;a) è nota. Lo scopo del fit e allora determinare il valore del parametro che corrisponde al miglior adattamento della curva ai dati sperimentali. valore sperimentale valore teorico # parametri χ 2 = N i=1 y i f(x σ i i ;a) 2 χ Test del 2 N-p ndf

41 1 Fisica Alte Energie : di cosa si occupa? 2 Variabili aleatorie e distribuzioni 3 Fit ai dati sperimentali 4 Tre esempi completi

42 Esempio 1 (misura massa K ) R p + E 2 = p 2 + m 2 K p + p p 1 p K p 2 p m K 2 = E K 2 -p K 2 = (E 1 +E 2 ) 2 - p 12 2 P 2 12 = (p 1x +p 2x ) 2 + (p 1y +p 2y ) 2 + (p 1z +p 2z ) 2

43 Esempio 1 (misura massa K ) A cosa serve fare il fit?

44 ( cosmici Esempio 2 (velocità raggi Riv 1 ( ) ns ( ) ns 37 m Riv2 Riv3 4 m t (ns)

45 ( cosmici Esempio 2 (velocità raggi ( ) ns t 12 Δt = t 12 2 t = Δt 1 1 = 13.7ns Δt 2 = 4.0ns ( ) ns 37m 4m t (ns)

46 ( cosmici Esempio 2 (velocità raggi ( ) ns t 12 Δt = t 12 2 t = Δt 1 1 = 13.7ns Δt 2 = 4.0ns ( ) ns v = s t 12 Δv = v 4 m = Δs s Δt t = s = m / s m / s ~ 2% ~ 30% t (ns) m s v = /

47 10-8 s Esempio 3 (branching ratio) K + K + p + p p + p + p p p p + p m + m p e + e m + m trigger Efficienza SEL = 0.5 N trig Vertice p + N obs Rivelatore

48 Esempio 3 (branching ratio) K + K + p + p p + p + p p p p + p m + m p e + e m + m bkg Efficienza CUT = 0.9 sig trigger Efficienza SEL = 0.5 N trig cut Vertice E p ( MeV ) p + N obs Rivelatore

49 Esempio 3 (branching ratio) K + K + p + p p + p + p p p p + p m + m p e + e m + m bkg Efficienza CUT = 0.9 sig trigger Efficienza SEL = 0.5 N trig cut Vertice E p ( MeV ) BR K + π 0 π + = N N SIG trig = N ε OBS N ε N SEL CUT trig BKG = N N trig N ε ε OBS SEL BKG CUT p + Rivelatore N obs

50 Combinare insieme le misure Perché combinare insieme più misure? Da più misure indipendenti di una stessa grandezza, come si ricava il valore più attendibile?

51 Combinare insieme le misure Perché combinare insieme più misure? Da più misure indipendenti di una stessa grandezza, come si ricava il valore più attendibile? 1 2 i p i i x p tot x i x 1 p tot

52 Combinare insieme le misure Perché combinare insieme più misure? Da più misure indipendenti di una stessa grandezza, come si ricava il valore più attendibile? 1 2 i p i i x p tot x i x 1 p tot x x 1 2 ( ) ( ) p p x ( x) x ( )

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54 1 Fisica Alte Energie : di cosa si occupa? FINE 2 Variabili aleatorie e distribuzioni 3 Fit ai dati sperimentali 4 Tre esempi completi