Elementi. di Statistica. Stages Estivi - Frascati 19/6/2009. Marco Dreucci. Elementi di statistica

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1 Elementi di Statistica

2 1... diamo un senso

3 cosa e la Fisica delle Particelle Elementari? Spiega il complesso mediante il semplice nel mondo dell infinitamente piccolo

4 all attacco!!! applicando la ben nota manovra a tenaglia : il metodo scientifico sperimentali teorici

5 piu son piccoli

6 cosa si misura nella HEP? Parametri fondamentali Altro Branching ratio (BR) vita media (τ ) massa (m) costanti di accoppiamento (ma di supporto) π ο γ γ, e+ e- γ quantita di moto q di una particella ; energia E rilasciata in un calorimetro da una particella ; angoli e direzioni delle particelle che si producono ; intervalli temporali, t ; efficienza di un rivelatore ; contaminazione in un campione ;

7 BR, branching ratio Canali BR e il determinismo dove e finito? Φ K+K- (~ 49 %) KSKL (~ 34 %) - Nel mondo dell infinitamente piccolo le condizioni π +π π ο (~ 15 %)iniziali non possono essere determinate in modo completo (principio di indeterminazione). Ne segue che ηγ (~ 1.3%) nel mondo delle particelle elementari le leggi sono sempre leggi di probabilita.

8 BR, branching ratio Canali BR e il determinismo dove e finito? Φ K+K- (~ 49 %) KSKL (~ 34 %) - Nel mondo dell infinitamente piccolo le condizioni π +π π ο (~ 15 %)iniziali non possono essere determinate in modo completo (principio di indeterminazione). Ne segue che ηγ (~ 1.3%) nel mondo delle particelle elementari le leggi sono sempre leggi di probabilita. N=2000 lanci N=200 lanci

9 una cosiddetta misura semplice Misura spessore cavo elettrico frequenza N= Istogramma s (mm) Errori casuali Errori sistematici

10 una cosiddetta misura difficile Misura massa KL frequenza N=21132 M (MeV)

11 il risultato di una operazione di misura e una variabile aleatoria! Le incertezze (sperimentali e/o teoriche) possono essere diminuite ; sperim teor

12 il risultato di una operazione di misura e una variabile aleatoria! Le incertezze (sperimentali e/o teoriche) possono essere diminuite ; La situazione puo cambiare nel tempo sperim sperim teor teor

13 2 Variabile aleatorie e funzioni di distribuzione

14 Indicatori fondamentali Valor medio x m= Deviazione standard i x=m± σ N σ= 2 (m x ) i ex = σ /m N 1

15 Indicatori fondamentali Valor medio x m= i x=m± σ N Deviazione standard σ= 2 (m x ) i ex = σ /m N 1 Si formano sempre istogrammi regolari, anche troppo! Ogni istogramma segue qualche funzione di distribuzione ~σ m x

16 Tipi di variabili aleatorie (I) VA : gaussiana FDD: gaussiana o normale o campana Misura di una grandezza ben definita, in presenza di errori casuali. tempo di caduta di un oggetto spessore cavo elettrico massa di una particella durata di un macchinario misura di un intervallo di tempo

17 Tipi di variabili aleatorie (I) VA : gaussiana FDD: gaussiana o normale o campana Misura di una grandezza ben definita, in presenza di errori casuali. tempo di caduta di un oggetto spessore cavo elettrico massa di una particella durata di un macchinario misura di un intervallo di tempo VA : binomiale FDD: binomiale Si immagini una prova il cui esito sia: successo o insuccesso. Il numero di successi in N prove e una variabile aleatoria, e ovviamente: 0 k N. risultato lancio di una moneta risultato lancio di un dado rivelazione di una data particella canale di decadimento per una particella misura dello spin di un elettrone

18 Tipi di variabili aleatorie (I) VA : gaussiana FDD: gaussiana o normale o campana Misura di una grandezza ben definita, in presenza di errori casuali. tempo di caduta di un oggetto spessore cavo elettrico massa di una particella durata di un macchinario misura di un intervallo di tempo VA : binomiale FDD: binomiale VA : poissoniana FDD: poissoniana Si immagini una prova il cui esito sia: successo o insuccesso. Caso particolare di var.binom.: - successo: evento raro, p 0 Il numero di successi in N prove e una variabile aleatoria, e ovviamente: 0 k N. risultato lancio di una moneta risultato lancio di un dado rivelazione di una data particella canale di decadimento per una particella misura dello spin di un elettrone - numero infinito di prove N # incidenti stradali in un anno # nascite al mese all ospedale # decadimenti in 5 s di una sostanza radioattiva # di eventi in un bin di un istogramma

19 Tipi di variabili aleatorie (II) VA : gaussiana FDD: gaussiana o normale o campana m σ Misura massa particella m = 139 MeV ; σ = 2 MeV σ / m = 0,014 (1,4%)

20 Tipi di variabili aleatorie (II) VA : binomiale FDD: binomiale VA : gaussiana FDD: gaussiana o normale o campana m σ p = probabilita successo m = pn σ = Np( 1 p) σ = m Misura massa particella Np( 1 p) 1 pn N m = 139 MeV ; σ = 2 MeV σ / m = 0,014 (1,4%) Rivelatore ( p=0.62 ) N=50 -> m= 31; σ =3 (10%) N=103 -> m= 620; σ =15 (2.4%) N=106 -> m=620000; σ =485 (0.08%)

21 Tipi di variabili aleatorie (II) VA : gaussiana FDD: gaussiana o normale o campana m σ VA : binomiale FDD: binomiale VA : poissoniana FDD: poissoniana p = probabilita successo p = probabilita successo m = pn m = pn σ = Np( 1 p) σ= m σ = m Misura massa particella Np( 1 p) 1 pn N m = 139 MeV ; σ = 2 MeV σ / m = 0,014 (1,4%) Rivelatore ( p=0.62 ) N=50 -> m= 31; σ =3 (10%) N=103 -> m= 620; σ =15 (2.4%) N=106 -> m=620000; σ =485 (0.08%) Nascite in un ospedale Se m=25/mese su N=15207: σ =5/mese; p=0.0016/mese Sostanza radioattiva Se p= /s e N=109: m=6.7/s ; σ =2.6/s Entries/bin Es.: misura massa KL (go back)

22 Misura massa particella f fdd gaussiana f M (MeV) f M (MeV) M (MeV)

23 Misura massa particella f fdd gaussiana f f M M (MeV) (MeV) M (MeV) f M (MeV)

24 Misura massa particella f fdd gaussiana f f M M M (MeV) (MeV) (MeV) fr f m m-σ M (MeV) m-2σ m=497.7 σ =1.5 m+σ m+2σ M (MeV)

25 Risultati della schedina fdd binomiale frequenza relativa k risultati indovinati

26 Sostanza radioattiva frequenza fdd poissoniana Tipo A N=60000 m=2.6 dec/s σ =1.6 Tipo B N= m=9.7 dec/s σ =3.1 k (dec/s)

27 Misura intervallo temporale b a Riv 0 f (entries/1ns) ~ 37 m Riv1 Riv2 ~4 m t (ns)

28 Le FDD VA : gaussiana FDD: gaussiana o normale 1 f(x; m, σ) = 2π σ (m x)2 2 2σ e fr m m-σ m-2σ m=497.7 σ =1.5 m+σ m+2σ

29 Le FDD VA : gaussiana FDD: gaussiana o normale VA : binomiale FDD: binomiale 1 f(x; m, σ) = 2π σ fr (m x)2 2 2σ e n k P(k; n, p) = p (1 p ) n k k m m-σ m-2σ m=497.7 σ =1.5 m+σ m+2σ fr k risultati indovinati

30 Le FDD VA : gaussiana FDD: gaussiana o normale VA : binomiale FDD: binomiale VA : poissoniana FDD: poissoniana 1 f(x; m, σ) = 2π σ (m x)2 2 2σ e n k P(k; n, p) = p (1 p ) n k k mk e m P(k; m) = k! fr m m-σ m-2σ m=497.7 σ =1.5 m+σ m+2σ fr k risultati indovinati

31 3 Curva di accostamento (Fit)

32 relazione matematica=legge fisica=grafico : i valori sperimentali si adattano ad esso? Fare un fit : trovare la funzione che meglio si adatta ai dati

33 A scuola si fa a mano Allungamento di una molla (I) y=kx

34 A scuola si fa a mano Allungamento di una molla (I) y=kx k = ( 0.20 ± 0.03) cm/g

35 Ma esistono vari programmini Allungamento di una molla (II) y=kx

36 Spessore di un cavo elettrico (I) y= A 2π σ (x m)2 2 2σ e gaussiana

37 Errori casuali da due sorgenti Spessore di un cavo elettrico (II) gaussiana

38 Errori casuali da due sorgenti Spessore di un cavo elettrico (II) gaussiana bigaussiana

39 Disturbo di tipo non casuale, e dunque non gaussiano, ne bigaussiano Spessore di un cavo elettrico (III) gaussiana

40 Disturbo di tipo non casuale, e dunque non gaussiano, ne bigaussiano Spessore di un cavo elettrico (III) gaussiana bigaussiana

41 Un fit non e fatto sempre per verificare l adattamento, ma per trovare qualche parametro Misura vita media y=ae t τ Legge stranota, ma voglio trovare la vita media τ esponenziale t(s)

42 Quale e il criterio per dire che un fit e OK? Se il fenomeno in studio e ben noto, la funzione y = f (x; α,β ) e gia decisa. Lo scopo del fit e allora di determinare i valori dei parametri (α e β in questo caso) che corrispondono al miglior adattamento della curva ai dati sperimentali.

43 Quale e il criterio per dire che un fit e OK? Se il fenomeno in studio e ben noto, la funzione y = f (x; α,β ) e gia decisa. Lo scopo del fit e allora di determinare i valori dei parametri (α e β in questo caso) che corrispondono al miglior adattamento della curva ai dati sperimentali. I valori che corrispondono al miglior adattamento sono quelli che rendono minima la quantita seguente : valore teorico valore sperimentale yi f(xi ; α, β) 2 σi χ i=1 = N 2 N 2 N 2

44 Quale e il criterio per dire che un fit e OK? Se il fenomeno in studio e ben noto, la funzione y = f (x; α,β ) e gia decisa. Lo scopo del fit e allora di determinare i valori dei parametri (α e β in questo caso) che corrispondono al miglior adattamento della curva ai dati sperimentali. I valori che corrispondono al miglior adattamento sono quelli che rendono minima la quantita seguente : valore teorico valore sperimentale yi f(xi ; α, β) 2 σi χ i=1 = N 2 N 2 N 2 Van der Waals ~ 1 O.K.! > 1 K.O.!

45 4 La propagazione degli errori

46 Misure indirette, ovvero grandezze calcolate Le misure indirette (I) V = V2 V1 F=G Mm r2

47 Misure indirette, ovvero grandezze calcolate Le misure indirette (I) V = V2 V1 F=G Mm r2 visione pessimistica : ΔV = ΔV2 + ΔV1 0,2 + 0,2 = 0,4 ΔF ΔG ΔM Δm Δr = F G M m r

48 Misure indirette, ovvero grandezze calcolate Le misure indirette (I) V = V2 V1 F=G Mm r2 visione pessimistica : ΔV = ΔV2 + ΔV1 ΔF ΔG ΔM Δm Δr = F G M m r 0,2 + 0,2 = 0,4 visione realistica : ΔV = ΔV12 + ΔV22 2 0, ,2 2 = 0, ΔF ΔG ΔM Δm Δr = F G M m r a2 + b2 = a b 2

49 Le misure indirette (II) 1) i = Q/t corrente elettrica 2) K = ½ mv² energia cinetica 3) m = m1+m2+m3 massa totale 4) A = π r² i Q t = i Q t K m v = 2 K m v m = m1 m2 m3 area di un cerchio 5) p = p1 + p2 pressione totale 6) I = σ A T4 potenza irradiata 7) Q = ks(t2-t1)/d calore trasmesso A π r = 2 A π r p = p1 p2 I σ A T = 4 I σ A T Q k S T2 T1 d = Q k S T2 T1 d

50 Esempio 1 (raggi cosmici) v=? Riv 0 (123.5 ± 2.1) ns (137.2 ± 3.4) ns Riv1 Riv2 t (ns) s

51 Esempio 1 (raggi cosmici) v=? Riv 0 t12 = t 2 t1 = 13.7 ns Δt12 = Δt1 Δt 2 = 4.0ns (123.5 ± 2.1) ns (137.2 ± 3.4) ns Riv1 Riv2 t (ns) s

52 Esempio 1 (raggi cosmici) v=? Riv 0 t12 = t 2 t1 = 13.7 ns Δt12 = Δt1 Δt 2 = 4.0ns (123.5 ± 2.1) ns (137.2 ± 3.4) ns v= s t12 = 3.8m = m / s s Δs Δt Δv = v 12 = m / s t12 s ~ 2% Riv1 ~ 30% Riv2 t (ns) s

53 Esempio 2 K+ π + π π + π 0 π 0 π + π 0 π 0 µ µ π + ν + ν K+ trigger + π e+ ν (branching ratio) Ntrig Efficienza ε SEL = µ Vertice e γ µ γ π + Nobs Rivelatore

54 Esempio 2 K+ π + π π + π 0 π 0 π + π 0 π 0 µ µ π + ν 0 sig bkg ν e+ ν + Efficienza ε CUT = π (branching ratio) µ K+ trigger Ntrig Efficienza ε SEL = 0.52 cut Vertice e E (MeV) γ µ γ π + Nobs Rivelatore

55 Esempio 2 K+ π + π π + π 0 π 0 π + π 0 π µ π + µ + ν 0 sig bkg ν e+ ν 0 Efficienza ε CUT = π (branching ratio) trigger Ntrig Efficienza ε SEL = 0.52 cut µ Vertice e E (MeV) γ µ γ ( N OBS N BKG ) ( K+ ) BR K + π 0 π + = N SIG = N trig ε SEL εcut N trig = ( N OBS N BKG ) N trig ε SEL εcut π + Nobs Rivelatore

56 5 Combinazione di misure

57 Scrivere i risultati Ogni misura, normalmente, riporta separatamente due errori: statistico e sistematico : BR ( K+ π + π 0.02sist 0 ) = 0.21 ± 0.01stat ± La precisione della misura in questo esempio sara : ebr = BR/BR = ( )/0.21 ~ 0.11

58 Combinare insieme le misure Perché combinare insieme più misure? Da più misure indipendenti del tipo (xi ± σ i) di una stessa grandezza, come si ricava il valore più attendibile? p x= i 1 σ2 i x i ptot σx = 1 ptot

59 Combinare insieme le misure Perché combinare insieme più misure? Da più misure indipendenti del tipo (xi ± σ i) di una stessa grandezza, come si ricava il valore più attendibile? p x= i 1 σ2 i x i ptot σx = 1 ptot x1 = ( 0.49 ± 0.03 ) p1 = 1111 x2 = ( 0.47 ± 0.01 ) p 2 = 10000

60 Combinare insieme le misure Perché combinare insieme più misure? Da più misure indipendenti del tipo (xi ± σ i) di una stessa grandezza, come si ricava il valore più attendibile? p x= i 1 σ2 i x i σx = ptot 1 ptot x1 = ( 0.49 ± 0.03 ) p1 = 1111 x2 = ( 0.47 ± 0.01 ) p 2 = x= = σ( x ) = 1 = x = ( ± )