Corso di Statistica. Distribuzioni di probabilità per variabili casuali discrete. Prof.ssa T. Laureti a.a

Transcript

1 Corso di Statistica Distribuzioni di probabilità per variabili casuali discrete Prof.ssa T. Laureti a.a

2 Variabili casuale di Bernoulli La v.c. di Bernoulli trae origine da una prova nella quale ha interesse esclusivamente verificare se un certo evento si è o meno verificato. La v.c. generata assume, convenzionalmente, valore 1 se l evento si è verificato (successo) e valore 0 se invece l evento non si è verificato (insuccesso). Tutte le prove che producono solo due possibili risultati generano v.c. di Bernoulli: il lancio di una moneta, il sesso di un nascituro, il superamento o meno di un certo livello di inflazione, il superamento di un esame universitario, la decisione di acquistare (o meno) un determinato prodotto

3 V.c. di Bernoulli Evento A A Valore della v.c. 1 0 Probabilità p 1- p La sua funzione di probabilità può essere espressa come P Valori sintetici x 1 x X x p 1 p per x 0, 1 E(X) x f (x) 1p 0 (1 p) p x V(X) (x E(X)) f (x) (1 ) (0 ) (1 ) p p p p x p(1 p) 3

4 Variabile casuale binomiale La v.c. Binomiale può essere ottenuta come la somma di v.c. di Bernoulli indipendenti e identicamente distribuite. Pertanto se per n volte si ripete nelle medesime condizioni lo schema successo-insuccesso si genera una sequenza di n sottoprove indipendenti a ciascuna delle quali si può associare una v.c. di Bernoulli. Lo schema binomiale può essere assimilato all estrazione con ripetizione di n palline da un urna che ne contiene H di cui b bianche e H-b nere dove p=b/h indica la probabilità (costante) di estrarre una pallina bianca in ciascuna estrazione.

5 Variabile casuale binomiale Si effettuano n prove indipendenti. In ognuna si può presentare l evento A o successo con probabilità p oppure l evento A o insuccesso con probabilità 1- p. Il risultato di ogni prova non è influenzato dalle prove precedenti né influisce su quelle successive. La v.c. binomiale esprime il numero di successi in n prove, a prescindere dall ordine con cui si presentano. La sua funzione di probabilità è P( X ) n x nx p 1 p X=0,1,2, n 0<p<1 x coefficiente binomiale X~Bin(n,p), ovvero, considerando l espressione del coefficiente binomiale: P( X ) n! x p 1 x! n x! nx p 5

6 Quindi la la v.c. binomiale : è una variabile casuale discreta, che può assumere tutti i valori interi compresi tra 0 (nessun successo) e n (tutte le prove hanno avuto successo); è caratterizzata da due parametri: p (la probabilità di un successo in una singola prova) e n (il numero totale di prove); può essere vista come la somma di n v.c. bernoulliane simili (stesso parametro p) e indipendenti. VALORE MEDIO E X EX X X p p... p np VARIANZA V 1 2 n X VX X X p1 p p1 p... p1 p p1 p 1 2 n n 6

7 Nota sul coefficiente binomiale n x n! x! n x! x! x 1 x x fattoriale Si assume che 0! 1 Esempio con n=7 e x=

8 Esempi di distribuzione binomiale Numero di pezzi difettosi in un lotto di pezzi prodotti (il pezzo può essere difettoso o non difettoso) Numero di clienti che compra un prodotto in un campione di intervistati in un indagine di mercato (acquisto /non acquisto) Numero di candidati che supera un esame (supera l esame/non supera l esame)

9 Esempio distribuzione Binomiale Gli ordini di un azienda sono classificati come corretti o non corretti Estrazione di un campione di 5 ordini (assimilabile a 5 estrazioni indipendenti con reimmissione) π=0,8 prob. che un ordine sia corretto (nota dal comportamento passato) Qual è la probabilità di avere 3 ordini corretti? X~Binomiale(0,8;5) P(X 3) 5 0,8 3 3 (1 0,8) x 0,1,2,...,5 53 0,20 9

10 Esempio distribuzione Binomiale P(x) P(X 0) P(X 1) 5 0,8 0 0 (1 0,8) ,8 (1 0,8) ,0032 0,006 P(X 2) 5 0,8 2 2 (1 0,8) 52 0,05 P(X 3) 5 0,8 3 3 (1 0,8) 53 0, x 5 P(X 4) 0,8 4 5 P(X 5) 0, (1 0,8) (1 0,8) ,41 0,33 10

11 Esempio distribuzione Binomiale Qual è la probabilità di avere almeno 3 ordini corretti? X~Binomiale(0,8;5) x 0,1,2,...,5 (X 3) P(X 3) P(X 4) P(X 5) ,8 (1 0,8) 0, ,20 0,41 0,33 0,94 4 (1 0,8) ,8 5 5 (1 0,8) 55 Qual è la probabilità di avere al massimo 2 ordini corretti? P(X 2) 1 P(X 3) 1 0,94 0,06 11

12 Distribuzione Binomiale Quando π=0,5 la distribuzione è simmetrica intorno al valore medio In ogni caso, la distribuzione tende ad essere simmetrica per n + 12

13 Variabile casuale di Poisson La Poisson è una variabile casuale discreta particolarmente interessante. E importante comprendere lo schema logico in cui trova applicazione la Poisson. Si fa generalmente riferimento al numero di eventi registrati in ambiti circoscritti, temporali o spaziali. Seguono la distribuzione di Poisson: il numero di auto che si presentano in entrata ad un casello autostradale in un certo lasso temporale; il numero di telefonate che giungono ad un centralino telefonico in un minuto o un ora ecc.; il numero di fulmini che possono colpire una certa superficie (ad esempio un kmq durante un ora di temporale); il numero di incidenti che si possono verificare su un certo percorso autostradale durante una settimana,.. Si noti che in tutti questi esempi, gli eventi si possono presentare 0 volte, 1 volta, 2 volte,... senza che sia possibile prefissare a priori un limite massimo teorico 13

14 Variabile casuale di Poisson La v.c. di Poisson, quindi, è discreta e può assumere un infinità numerabile di valori: 0,1,2,3,... La distribuzione di probabilità della v.c. di Poisson indicata con X Poisson( è ) data da: x P(x) e x 0,1,2,... x! 0 La Poisson dipende da un solo parametro,,che coincide con la sua media e varianza EX VX

15 Variabile casuale di Poisson La distribuzione è sempre asimmetrica positiva. Tende alla simmetria al crescere di. 0,40 0,35 Poisson(1) 0,30 0,25 Poisson(3) 0,20 0,15 Poisson(7) 0,10 0,05 Proprietà: 0, La somma di v.c. di Poisson indipendenti è ancora una v.c. di Poisson Si può dimostrare che la Poisson è il limite a cui tende la binomiale quando, fissata la media np,si fa tendere n ad infinito 15

16 Esempio distribuzione Poisson (tempi di attesa) Si contano gli arrivi di clienti ad uno sportello bancario nell apertura pomeridiana λ=3 numero medio di clienti in arrivo in un intervallo di 15 minuti (si suppone noto) X~Poisson(3) Qual è la probabilità che in un quarto d ora arrivi 1 solo cliente? 1 P(X 0,15 Qual è la probabilità che in un quarto d ora arrivino più di 2 clienti? 1) P(X 3 1! 2) e 3? 16

17 Altre applicazioni della distribuzione Poisson numero giornaliero di guasti nel sistema informativo aziendale numero mensile di errori umani nei processi aziendali numero di imprese che falliscono in un semestre di crisi economica numero di pazienti che arrivano al pronto soccorso di un ospedale in un turno lavorativo 17

18 Ipotesi alla base della distribuzione Poisson (postulati di Poisson) Sia X una v.c. che rappresenta il numero di realizzazioni di un evento aleatorio in un dato intervallo. L intervallo considerato deve poter essere suddiviso in tanti sottointervalli tali che in ognuno di essi: la prob. del verificarsi di un evento è costante la prob. del verificarsi di più di un evento è pari a zero il verificarsi di un evento in un sottointervallo è indipendente dal verificarsi dell evento in un altro sottointervallo 18