Teorema del limite centrale TCL

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Teorema del limite centrale TCL"

Transcript

1 Teorema del limite centrale TCL Questo importante teorema della statistica inferenziale si applica a qualsiasi variabile aleatoria che sia combinazione lineare di N variabili aleatorie le cui funzioni di distribuzioni possono essere qualsiasi purché abbiano valori attesi e varianze comparabili. L enunciato del teorema è il seguente: Sia X una variabile casuale somma di variabili casuali x i X = Σ a i x i indipendenti ciascuna avente legge di distribuzione qualsiasi ma con valori attesi comparabili e varianze finite dello stesso ordine di grandezza. la distribuzione di probabilità della variabile X tende, all aumentare del numero delle variabili aleatorie x i, alla distribuzione normale con valore atteso E(X) = Σa i E(x i ) e varianza Var(X) = Σa i2 Var(x i ).

2 Distribuzione di probabilità di x medio = Σx i /N Un applicazione notevole del TLC è la determinazione della distribuzione di probabilità della media campionaria La media campionaria è una particolare combinazione lineare x medio = Σx i /N delle misure x i che sono variabili aleatorie ripetute e indipendenti proveniente da una stessa distribuzione che può essere qualsiasi (uniforme, binomiale..) di cui si suppone debba esistere valore atteso e varianza finiti (anche se non noti).

3 TCL: Valor medio e varianza della distribuzione delle medie L enunciato del TCL in questo caso si formula nel modo seguente: Sia dato un campione di N variabili casuali statisticamente indipendenti tra loro e provenienti da una distribuzione di probabilità ignota qualsiasi della quale esistono sia il valore medio atteso che la varianza σ 2 ( anche se non note) Sotto queste condizioni la distribuzione delle medie campionarie che si possono ottenere da un numero M di campioni della stessa v.a. tende al crescere di N alla distribuzione normale con valor medio e varianza (e quindi deviazione standard) dati dalle relazioni seguenti X medio = σ 2 medie = σ 2 /N σ medie = σ / N

4 Naturalmente, il termine grande è relativo. Tanto più la distribuzione della popolazione è diversa dalla normale, tanto maggiore deve essere la dimensione N del campione affinché sia sensato applicare il teorema del limite centrale. La regola euristica è che un campione con N 30 sia sufficientemente grande da giustificare l applicazione del teorema del limite centrale. Un problema nasce quando la distribuzione della popolazione è discreta. In questo caso, l applicazione del teorema porta ad approssimare la distribuzione discreta con una distribuzione continua. Questo problema si risolve introducendo quella che viene chiamata la correzione di continuita

5 Gli studenti hanno già verificato nei risultati della loro esperienza (lancio dei dadi) il significato della convergenza statistica della media campionaria al valore atteso della popolazione da cui il campione è estratto. Nell esempio qui riportato viene visualizzata la convergenza deli valor medio di campioni di dimensioni N crescenti al valore atteso = 10.5 della distribuzione di probabilità relativa alla comparsa di una faccia di un dado equiprobabile di 20 facce.

6 Se non si conosce a priori la deviazione standard vera si usa la sua miglior approssimazione x e la convergenza statistica stabilita dal teorema del limite centrale si pone come Questo importantissimo risultato verrà ottenuto anche in seguito usando la propagazione degli errori (cap.8 del Cannelli) Esso permette di calcolare deviazione standard delle medie dalla deviazione standard delle singole misure; Si osservi che la deviazione standard delle medie è 1/ N volte più piccolo della deviazione standard delle singole misure; questo implica che le medie campionarie si distribuiscono intorno alla media delle medie (che si suppone essere il valore vero ) con una curva di distribuzione di Gauss la cui dev. standard è più stretta di quella della distribuzione delle misure di un fattore 1/ N

7

8 Convergenza delle distribuzioni Binomiale e di Poisson alla distribuzione di Gauss Una maniera alternativa per giustificare la convergenza delle distribuzioni Binomiale e di Poisson alla distribuzione di Gauss è basata sul Teorema del Limite Centrale. Infatti la variabile k (Binomiale e di Poisson) può essere vista come la somma di n variabili aleatorie, ciascuna delle quali assume un valore 0 o 1 con probabilità p e q k = i x i x i = 0,1 Allora al crescere di n, la variabile aleatoria somma deve presentare una distribuzione di probabilità che tende a quella normale.

Probabilità classica. Distribuzioni e leggi di probabilità. Probabilità frequentista. Probabilità soggettiva

Probabilità classica. Distribuzioni e leggi di probabilità. Probabilità frequentista. Probabilità soggettiva Probabilità classica Distribuzioni e leggi di probabilità La probabilità di un evento casuale è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili, purchè siano tutti equiprobabili.

Dettagli

STIMA DELLA VARIANZA CAMPIONARIA

STIMA DELLA VARIANZA CAMPIONARIA STIMA DELLA VARIANZA CAMPIONARIA Abbiamo visto che una stima puntuale corretta per il valore atteso µ delle variabili aleatorie X i è x n = (x 1 +.. + x n )/n. Una stima puntuale della varianza σ 2 delle

Dettagli

Distribuzioni campionarie. Antonello Maruotti

Distribuzioni campionarie. Antonello Maruotti Distribuzioni campionarie Antonello Maruotti Outline 1 Introduzione 2 Concetti base Si riprendano le considerazioni fatte nella parte di statistica descrittiva. Si vuole studiare una popolazione con riferimento

Dettagli

PROBABILITÀ ELEMENTARE

PROBABILITÀ ELEMENTARE Prefazione alla seconda edizione XI Capitolo 1 PROBABILITÀ ELEMENTARE 1 Esperimenti casuali 1 Spazi dei campioni 1 Eventi 2 Il concetto di probabilità 3 Gli assiomi della probabilità 3 Alcuni importanti

Dettagli

Note sulla probabilità

Note sulla probabilità Note sulla probabilità Maurizio Loreti Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Padova Anno Accademico 2002 03 1 La distribuzione del χ 2 0.6 0.5 N=1 N=2 N=3 N=5 N=10 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15

Dettagli

Modelli matematici di fenomeni aleatori Variabilità e casualità

Modelli matematici di fenomeni aleatori Variabilità e casualità Modelli matematici di fenomeni aleatori Variabilità e casualità La casualità è alla base della scelta degli individui che compongono un campione ai fini di un indagine statistica. La casualità è alla base

Dettagli

Teoremi limite. Enrico Ferrero. 27 febbraio 2007

Teoremi limite. Enrico Ferrero. 27 febbraio 2007 Teoremi limite Enrico Ferrero 27 febbraio 2007 LA DISEGUAGLIANZA DI CHEBYCHEV Sia X una variabile aleatoria avente valore medio µ e varianza σ 2. Sia poi K un arbitrario numero positivo. È possibile dimostrare

Dettagli

Risultati esperienza sul lancio di dadi Ho ottenuto ad esempio:

Risultati esperienza sul lancio di dadi Ho ottenuto ad esempio: Dado B (6): 2 2 6 6 6 1 1 3 6 4 6 6 3 1 1 4 1 6 3 6 6 4 6 3 2 4 3 2 6 3 5 5 6 4 3 3 2 1 2 1 6 3 2 4 4 3 6 6 3 2 1 6 6 4 6 1 3 6 6 1 6 2 4 5 3 3 6 2 1 6 6 3 1 2 6 3 1 3 4 6 1 6 4 1 6 4 6 6 6 5 5 2 4 1 2

Dettagli

Alcune v.a. discrete notevoli

Alcune v.a. discrete notevoli Alcune v.a. discrete notevoli Variabile aleatoria Bernoulliana Il risultato X di un esperimento aleatorio può essere classificato nel modo che segue: successo oppure insuccesso. Indichiamo: Successo =

Dettagli

Indice Premessa................................... Cenni storici delle misure......................

Indice Premessa................................... Cenni storici delle misure...................... Indice Premessa................................... 5 1 Cenni storici delle misure...................... 11 1.1 Il numero come misura...................... 13 1.2 I primi campioni di lunghezza..................

Dettagli

Statistica. Lezione 4

Statistica. Lezione 4 Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 4 a.a 2011-2012 Dott.ssa Daniela

Dettagli

STATISTICA (2) ESERCITAZIONE Dott.ssa Antonella Costanzo

STATISTICA (2) ESERCITAZIONE Dott.ssa Antonella Costanzo STATISTICA (2) ESERCITAZIONE 7 11.03.2014 Dott.ssa Antonella Costanzo Esercizio 1. Test di indipendenza tra mutabili In un indagine vengono rilevate le informazioni su settore produttivo (Y) e genere (X)

Dettagli

Cap. 7 Distribuzioni campionarie

Cap. 7 Distribuzioni campionarie Cap. 7 Distribuzioni campionarie 1 Popolazione e Campione Una popolazione è l insieme di tutte le unità oggetto di studio Tutti i potenziali votanti nelle prossime elezioni Tutti i pezzi prodotti oggi

Dettagli

STATISTICHE, DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE E INFERENZA

STATISTICHE, DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE E INFERENZA Metodi statistici e probabilistici per l ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Civile A.A. 2009-10 Facoltà di Ingegneria, Università di Padova Docente: Dott. L. Corain 1 STATISTICHE, DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE

Dettagli

ESAME. 9 Gennaio 2017 COMPITO B

ESAME. 9 Gennaio 2017 COMPITO B ESAME 9 Gennaio 2017 COMPITO B Cognome Nome Numero di matricola 1) Approssimare tutti i calcoli alla quarta cifra decimale. 2) Ai fini della valutazione si terrà conto solo ed esclusivamente di quanto

Dettagli

LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS

LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS p. 1/2 LA DISTRIBUZIONE NORMALE o DI GAUSS Osservando gli istogrammi delle misure e degli scarti, nel caso di osservazioni ripetute in identiche condizioni Gli istogrammi sono campanulari e simmetrici,

Dettagli

Distribuzioni e inferenza statistica

Distribuzioni e inferenza statistica Distribuzioni e inferenza statistica Distribuzioni di probabilità L analisi statistica spesso studia i fenomeni collettivi confrontandoli con modelli teorici di riferimento. Tra di essi, vedremo: la distribuzione

Dettagli

PROBABILITÀ SCHEDA N. 5 SOMMA E DIFFERENZA DI DUE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE

PROBABILITÀ SCHEDA N. 5 SOMMA E DIFFERENZA DI DUE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE PROBABILITÀ SCHEDA N. 5 SOMMA E DIFFERENZA DI DUE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE 1. Distribuzione congiunta Ci sono situazioni in cui un esperimento casuale non si può modellare con una sola variabile casuale,

Dettagli

Distribuzioni di Probabilità

Distribuzioni di Probabilità Distribuzioni di Probabilità Distribuzioni discrete Distribuzione uniforme discreta Distribuzione di Poisson Distribuzioni continue Distribuzione Uniforme Distribuzione Gamma Distribuzione Esponenziale

Dettagli

Schema lezione 5 Intervalli di confidenza

Schema lezione 5 Intervalli di confidenza Schema lezione 5 Intervalli di confidenza Non centrerò quella barca, ne sono convinto al 95% COMPRENDERE: Significato di intervallo di confidenza Uso degli stimatori come quantità di pivot per stime intervallari

Dettagli

LA LUNGHEZZA DEI GENI UMANI (Es4.1)

LA LUNGHEZZA DEI GENI UMANI (Es4.1) STATISTICA INFERENZIALE: le caratteristiche della popolazione complessiva sono indotte da quelle osservate su un campione estratto dalla popolazione stessa(esempio exit poll) PROBLEMA: dato un campione

Dettagli

Esercitazione 4 del corso di Statistica (parte 2)

Esercitazione 4 del corso di Statistica (parte 2) Esercitazione 4 del corso di Statistica (parte ) Dott.ssa Paola Costantini Febbraio Esercizio n. Il tempo di percorrenza del treno che collega la stazione di Roma Termini con l aeroporto di Fiumicino è

Dettagli

Capitolo 5. Variabili casuali discrete

Capitolo 5. Variabili casuali discrete Capitolo 5 Variabili casuali discrete Come già anticipato nel paragrafo 3, nella teoria della probabilità, una variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica o random variable) può essere

Dettagli

ARGOMENTI TRATTATI NEL CORSO DI ANALISI II

ARGOMENTI TRATTATI NEL CORSO DI ANALISI II ARGOMENTI TRATTATI NEL CORSO DI ANALISI II ANALISI Limiti Curve Convergenza di una successione di punti Definizione di limite Condizione necessaria e condizione sufficiente all esistenza del limite in

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica La distribuzione delle statistiche campionarie Teorema del limite centrale Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma.it Esercizio (Scozzafava) Una ferrovia metropolitana

Dettagli

Ψ PSICOMETRIA. Corso di laurea triennale (classe 34) STATISTICA INFERENZIALE

Ψ PSICOMETRIA. Corso di laurea triennale (classe 34) STATISTICA INFERENZIALE Ψ PSICOMETRIA Corso di laurea triennale (classe 34) STATISTICA INFERENZIALE STATISTICA INFERENZIALE CAMPIONE caratteristiche conosciute POPOLAZIONE caratteristiche sconosciute STATISTICA INFERENZIALE STIMA

Dettagli

Vedi: Probabilità e cenni di statistica

Vedi:  Probabilità e cenni di statistica Vedi: http://www.df.unipi.it/~andreozz/labcia.html Probabilità e cenni di statistica Funzione di distribuzione discreta Istogrammi e normalizzazione Distribuzioni continue Nel caso continuo la probabilità

Dettagli

Statistica ARGOMENTI. Calcolo combinatorio

Statistica ARGOMENTI. Calcolo combinatorio Statistica ARGOMENTI Calcolo combinatorio Probabilità Disposizioni semplici Disposizioni con ripetizione Permutazioni semplici Permutazioni con ripetizioni Combinazioni semplici Assiomi di probabilità

Dettagli

Distribuzioni campionarie

Distribuzioni campionarie 1 Inferenza Statistica Descrittiva Distribuzioni campionarie Statistica Inferenziale: affronta problemi di decisione in condizioni di incertezza basandosi sia su informazioni a priori sia sui dati campionari

Dettagli

Tipi di variabili. Indici di tendenza centrale e di dispersione

Tipi di variabili. Indici di tendenza centrale e di dispersione Tipi di variabili. Indici di tendenza centrale e di dispersione L. Boni Variabile casuale In teoria della probabilità, una variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica o random variable)

Dettagli

STATISTICA ESERCITAZIONE

STATISTICA ESERCITAZIONE STATISTICA ESERCITAZIONE Dott. Giuseppe Pandolfo 1 Giugno 2015 Esercizio 1 Una fabbrica di scatole di cartone evade il 96% degli ordini entro un mese. Estraendo 300 campioni casuali di 300 consegne, in

Dettagli

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile e Edile Analisi Matematica II e Probabilita Lezioni A.A. 2000/01, prof. G. Stefani 9 Ottobre Gennaio 2001

Corsi di Laurea in Ingegneria Civile e Edile Analisi Matematica II e Probabilita Lezioni A.A. 2000/01, prof. G. Stefani 9 Ottobre Gennaio 2001 Corsi di Laurea in Ingegneria Civile e Edile Analisi Matematica II e Probabilita Lezioni A.A. 2000/01, prof. G. Stefani 9 Ottobre 2000-28 Gennaio 2001 1 Nona settimana 76. Lun. 4 Dic. Generalita. Spazi

Dettagli

Teoria e tecniche dei test

Teoria e tecniche dei test Teoria e tecniche dei test Lezione 9 LA STANDARDIZZAZIONE DEI TEST. IL PROCESSO DI TARATURA: IL CAMPIONAMENTO. Costruire delle norme di riferimento per un test comporta delle ipotesi di fondo che è necessario

Dettagli

VARIABILI CASUALI CONTINUE

VARIABILI CASUALI CONTINUE p. 1/1 VARIABILI CASUALI CONTINUE Una variabile casuale continua può assumere tutti gli infiniti valori appartenenti ad un intervallo di numeri reali. p. 1/1 VARIABILI CASUALI CONTINUE Una variabile casuale

Dettagli

Ulteriori Conoscenze di Informatica e Statistica

Ulteriori Conoscenze di Informatica e Statistica ndici di forma Ulteriori Conoscenze di nformatica e Statistica Descrivono le asimmetrie della distribuzione Carlo Meneghini Dip. di fisica via della Vasca Navale 84, st. 83 ( piano) tel.: 06 55 17 72 17

Dettagli

Il processo inferenziale consente di generalizzare, con un certo grado di sicurezza, i risultati ottenuti osservando uno o più campioni

Il processo inferenziale consente di generalizzare, con un certo grado di sicurezza, i risultati ottenuti osservando uno o più campioni La statistica inferenziale Il processo inferenziale consente di generalizzare, con un certo grado di sicurezza, i risultati ottenuti osservando uno o più campioni E necessario però anche aggiungere con

Dettagli

Università degli Studi Roma Tre Anno Accademico 2016/2017 ST410 Statistica 1

Università degli Studi Roma Tre Anno Accademico 2016/2017 ST410 Statistica 1 Università degli Studi Roma Tre Anno Accademico 2016/2017 ST410 Statistica 1 Lezione 1 - Mercoledì 28 Settembre 2016 Introduzione al corso. Richiami di probabilità: spazi di probabilità, variabili aleatorie,

Dettagli

Sommario. Capitolo 1 I dati e la statistica 1. Capitolo 2 Statistica descrittiva: tabelle e rappresentazioni grafiche 25

Sommario. Capitolo 1 I dati e la statistica 1. Capitolo 2 Statistica descrittiva: tabelle e rappresentazioni grafiche 25 Sommario Presentazione dell edizione italiana Prefazione xv xiii Capitolo 1 I dati e la statistica 1 Statistica in pratica: BusinessWeek 1 1.1 Le applicazioni in ambito aziendale ed economico 3 Contabilità

Dettagli

Esercitazione: La distribuzione NORMALE

Esercitazione: La distribuzione NORMALE Esercitazione: La distribuzione NORMALE Uno dei più importanti esempi di distribuzione di probabilità continua è dato dalla distribuzione Normale (curva normale o distribuzione Gaussiana); è una delle

Dettagli

Esercizi svolti di statistica. Gianpaolo Gabutti

Esercizi svolti di statistica. Gianpaolo Gabutti Esercizi svolti di statistica Gianpaolo Gabutti (gabuttig@hotmail.com) 1 Introduzione Questo breve documento contiene lo svolgimento di alcuni esercizi di statistica da me svolti durante la preparazione

Dettagli

Compiti tematici capp. 5,6

Compiti tematici capp. 5,6 Compiti tematici capp. 5,6 a cura di Giovanni M. Marchetti 2016 ver. 0.6 Indice Esercizi dai compiti a casa (HW..................................... 8 1. Se X e Y sono due variabili casuali independenti,

Dettagli

Per capire qual è l altezza media degli italiani è stato intervistato un campione di 1523 cittadini. La media campionaria dell altezza risulta essere:

Per capire qual è l altezza media degli italiani è stato intervistato un campione di 1523 cittadini. La media campionaria dell altezza risulta essere: PROBABILITÀ E STATISTICA Per capire qual è l altezza media degli italiani è stato intervistato un campione di 1523 cittadini. La media campionaria dell altezza risulta essere: x = 172, 3 cm Possiamo affermare

Dettagli

Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche

Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche Ø Prof. Attilio Santocchia Ø Ufficio presso il Dipartimento di Fisica (Quinto Piano) Tel. 75-585 278 Ø E-mail: attilio.santocchia@pg.infn.it Ø Web: http://www.fisica.unipg.it/~attilio.santocchia/

Dettagli

STATISTICA ESERCITAZIONE. 1) Specificare la distribuzione di probabilità della variabile e rappresentarla graficamente;

STATISTICA ESERCITAZIONE. 1) Specificare la distribuzione di probabilità della variabile e rappresentarla graficamente; 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 STATISTICA ESERCITAZIONE Dott. Giuseppe Pandolfo 4 Maggio 2015 Esercizio 1 (Uniforme discreta) Si consideri l esperimento lancio di un dado non truccato. Sia X la variabile casuale

Dettagli

Capitolo 5 Variabili aleatorie discrete notevoli Insegnamento: Statistica Applicata Corso di Laurea in "Scienze e Tecnologie Alimentari"

Capitolo 5 Variabili aleatorie discrete notevoli Insegnamento: Statistica Applicata Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Alimentari Levine, Krehbiel, Berenson Statistica Capitolo 5 Variabili aleatorie discrete notevoli Insegnamento: Statistica Applicata Corso di Laurea in "Scienze e Tecnologie Alimentari" Unità Integrata Organizzativa

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilità

Esercizi di Calcolo delle Probabilità Esercizi di Calcolo delle Probabilità Versione del 1/05/005 Corso di Statistica Anno Accademico 00/05 Antonio Giannitrapani, Simone Paoletti Calcolo delle probabilità Esercizio 1. Un dado viene lanciato

Dettagli

Analisi degli Errori di Misura. 08/04/2009 G.Sirri

Analisi degli Errori di Misura. 08/04/2009 G.Sirri Analisi degli Errori di Misura 08/04/2009 G.Sirri 1 Misure di grandezze fisiche La misura di una grandezza fisica è descrivibile tramite tre elementi: valore più probabile; incertezza (o errore ) ossia

Dettagli

Modelli probabilistici variabili casuali

Modelli probabilistici variabili casuali Modelli probabilistici variabili casuali Le variabili casuali costituiscono il legame tra il calcolo della probabilità e gli strumenti di statistica descrittiva visti fino ad ora. Idea: pensiamo al ripetersi

Dettagli

Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /2e S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill

Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /2e S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /e S. Borra A. Di Ciaccio - McGraw Hill s. 9. Soluzione degli esercizi del capitolo 9 In base agli arrotondamenti effettuati nei calcoli si

Dettagli

Misure Meccaniche e Termiche. punti massa. Valore atteso: Varianza:

Misure Meccaniche e Termiche. punti massa. Valore atteso: Varianza: Fenomeni aleatori Misure Meccaniche e Termiche Sezione di Misure e Tecniche Sperimentali I fenomeni aleatori (o casuali) sono fenomeni empirici il cui risultato non è prevedibile a priori, caratterizzati

Dettagli

Variabili casuali. - di Massimo Cristallo -

Variabili casuali. - di Massimo Cristallo - Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 16 e 27 maggio 2013 - di Massimo Cristallo - Variabili casuali

Dettagli

Il campionamento e l inferenza. Il campionamento e l inferenza

Il campionamento e l inferenza. Il campionamento e l inferenza Il campionamento e l inferenza Popolazione Campione Dai dati osservati mediante scelta campionaria si giunge ad affermazioni che riguardano la popolazione da cui essi sono stati prescelti Il campionamento

Dettagli

Statistica Inferenziale

Statistica Inferenziale Statistica Inferenziale Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Esercizio 1 (stima puntuale) In un processo di controllo di qualità, siamo interessati al numero mensile di guasti

Dettagli

NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI

NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI I METODI PER IL CONFRONTO DI MEDIE (Campioni non indipendenti) Prof.ssa G. Serio, Prof. P. Trerotoli, Cattedra di Statistica Medica, Università di Bari

Dettagli

05. Errore campionario e numerosità campionaria

05. Errore campionario e numerosità campionaria Statistica per le ricerche di mercato A.A. 01/13 05. Errore campionario e numerosità campionaria Gli schemi di campionamento condividono lo stesso principio di fondo: rappresentare il più fedelmente possibile,

Dettagli

ESERCITAZIONE 20 : VARIABILI ALEATORIE DISCRETE

ESERCITAZIONE 20 : VARIABILI ALEATORIE DISCRETE ESERCITAZIONE 20 : VARIABILI ALEATORIE DISCRETE e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Ricevimento: su appuntamento Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 114 30 Aprile 2013 Esercizio

Dettagli

Esercitazione 4 Distribuzioni campionarie e introduzione ai metodi Monte Carlo

Esercitazione 4 Distribuzioni campionarie e introduzione ai metodi Monte Carlo Esercitazione 4 Distribuzioni campionarie e introduzione ai metodi Monte Carlo 1. Gli studi di simulazione possono permetterci di apprezzare alcune delle proprietà di distribuzioni campionarie ricavate

Dettagli

Prefazione Ringraziamenti dell'editore Il sito web dedicato al libro Test online: la piattaforma McGraw-Hill Education Guida alla lettura

Prefazione Ringraziamenti dell'editore Il sito web dedicato al libro Test online: la piattaforma McGraw-Hill Education Guida alla lettura INDICE GENERALE Prefazione Ringraziamenti dell'editore Il sito web dedicato al libro Test online: la piattaforma McGraw-Hill Education Guida alla lettura XI XIV XV XVII XVIII 1 LA RILEVAZIONE DEI FENOMENI

Dettagli

DISTRIBUZIONI DI CAMPIONAMENTO

DISTRIBUZIONI DI CAMPIONAMENTO DISTRIBUZIONI DI CAMPIONAMENTO 12 DISTRIBUZIONE DI CAMPIONAMENTO DELLA MEDIA Situazione reale Della popolazione di tutti i laureati in odontoiatria negli ultimi 10 anni, in tutte le Università d Italia,

Dettagli

STATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI

STATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI STATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI VARIABILI CASUALI 2 VARIABILI CASUALI. Variabili casuali generiche. Si supponga che un dado truccato, formato da sei facce contrassegnate dai numeri

Dettagli

Statistica Applicata all edilizia: alcune distribuzioni di probabilità

Statistica Applicata all edilizia: alcune distribuzioni di probabilità Statistica Applicata all edilizia: Alcune distribuzioni di probabilità E-mail: orietta.nicolis@unibg.it 23 marzo 2010 Indice Distribuzioni di probabilità discrete 1 Distribuzioni di probabilità discrete

Dettagli

Lezione 12. Statistica. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Lezione 12. A. Iodice.

Lezione 12. Statistica. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Lezione 12. A. Iodice. discrete uniforme Bernoulli Poisson Statistica Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino () Statistica 1 / 56 Outline discrete uniforme Bernoulli Poisson 1 2 discrete 3

Dettagli

Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 3

Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 3 Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 3 A Garfagnini, M Mazzocco, C Sada Dipartimento di Fisica G. Galilei, Università di Padova AA 2014/2015 Elementi di Teoria della Probabilità L ineliminabile

Dettagli

Esame di AM2 & EAP (270/04) a.a. 2009/10

Esame di AM2 & EAP (270/04) a.a. 2009/10 Quarto appello del 16 Luglio 2010 1. Un urna contiene delle palline numerate e distribuite in seguente maniera: Vengono estratte due palline senza rimpiazzo e siano X e Y rispettivamente il numero della

Dettagli

Variabili casuali ad una dimensione Testi degli esercizi. Variabili casuali ad una dimensione a.a. 2012/2013 1

Variabili casuali ad una dimensione Testi degli esercizi. Variabili casuali ad una dimensione a.a. 2012/2013 1 Variabili casuali ad una dimensione Testi degli esercizi 1 Costruzione di variabile casuale discreta Esercizio 1. Sia data un urna contenente 3 biglie rosse, 2 biglie bianche ed una biglia nera. Ad ogni

Dettagli

Criteri di Valutazione della scheda (solo a carattere indicativo)

Criteri di Valutazione della scheda (solo a carattere indicativo) Criteri di Valutazione della scheda (solo a carattere indicativo) Previsioni - A Sono state fatte le previsioni e discussi i valori attesi insieme al ragionamento con cui sono stati calcolati? E stata

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 6 giugno 26 Statistica Esercizio Sia {X n } n una famiglia di v.a. di media µ e varianza σ 2. Verificare che X = n n X i σ 2 = n (X i µ) 2 S 2 = n

Dettagli

CAPITOLO QUINTO DISTRIBUZIONE NORMALE

CAPITOLO QUINTO DISTRIBUZIONE NORMALE CAPITOLO QUINTO DISTRIBUZIONE NORMALE 1. Probabilità nel continuo Fino ad ora abbiamo considerato casi in cui l insieme degli eventi elementari è finito. Vediamo, mediante due semplici esempi, come si

Dettagli

Approssimazione normale alla distribuzione binomiale

Approssimazione normale alla distribuzione binomiale Approssimazione normale alla distribuzione binomiale P b (X r) costoso P b (X r) P(X r) per N grande Teorema: Se la variabile casuale X ha una distribuzione binomiale con parametri N e p, allora, per N

Dettagli

Distribuzione Gaussiana - Facciamo un riassunto -

Distribuzione Gaussiana - Facciamo un riassunto - Distribuzione Gaussiana - Facciamo un riassunto - Nell ipotesi che i dati si distribuiscano seguendo una curva Gaussiana è possibile dare un carattere predittivo alla deviazione standard La prossima misura

Dettagli

Campionamento La statistica media campionaria e la sua distribuzione

Campionamento La statistica media campionaria e la sua distribuzione Campionamento La statistica media campionaria e la sua distribuzione 1 Definisco il problema da studiare: es. tempo di percorrenza tra abitazione e università Carattere: tempo ossia v.s. continua Popolazione:

Dettagli

Probabilita' mediante l'analisi combinatoria D n,k =Disposizioni di n oggetti a k a k (o di classe k)

Probabilita' mediante l'analisi combinatoria D n,k =Disposizioni di n oggetti a k a k (o di classe k) Probabilita' mediante l'analisi combinatoria D n,k =Disposizioni di n oggetti a k a k (o di classe k) Nel calcolo del numero di modalita' con cui si presenta un evento e' utile talvolta utilizzare le definizioni

Dettagli

STATISTICA ESERCITAZIONE 9

STATISTICA ESERCITAZIONE 9 STATISTICA ESERCITAZIONE 9 Dott. Giuseppe Pandolfo 19 Gennaio 2015 REGOLE DI CONTEGGIO Sequenze ordinate Sequenze non ordinate Estrazioni con ripetizione Estrazioni senza ripetizione Estrazioni con ripetizione

Dettagli

SOLUZIONI ESERCITAZIONE NR. 8 Test statistici

SOLUZIONI ESERCITAZIONE NR. 8 Test statistici SOLUZIONI ESERCITAZIONE NR. 8 Test statistici ESERCIZIO nr. 1 Un campione casuale di dieci pazienti di sesso maschile in cura per comportamenti aggressivi nell ambito del contesto familiare è stato classificato

Dettagli

CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - 9 giugno 1998 Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati

CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - 9 giugno 1998 Scrivere le risposte negli appositi spazi Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati CALCOLO DELLE PROBABILITÀ - 9 giugno 1998 1. Dati gli eventi A,B,C, ognuno dei quali implica il successivo, e tali che P (A) è metà della probabilità di B, che a sua volta ha probabilità metà di quella

Dettagli

1 4 Esempio 2. Si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale X = punteggio ottenuto lanciando un dado. Si ha immediatamente:

1 4 Esempio 2. Si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale X = punteggio ottenuto lanciando un dado. Si ha immediatamente: CAPITOLO TERZO VARIABILI CASUALI. Le variabili casuali e la loro distribuzione di probabilità In molte situazioni, dato uno spazio di probabilità S, si è interessati non tanto agli eventi elementari (o

Dettagli

Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 2

Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 2 Sperimentazioni di Fisica I mod. A Statistica - Lezione 2 A. Garfagnini M. Mazzocco C. Sada Dipartimento di Fisica G. Galilei, Università di Padova AA 2014/2015 Elementi di Statistica Lezione 2: 1. Istogrammi

Dettagli

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ Metodi statistici e probabilistici per l ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Civile A.A. 2009-10 Facoltà di Ingegneria, Università di Padova Docente: Dott. L. Corain 1 LE PRINCIPALI DISTRIBUZIONI

Dettagli

Test di ipotesi. Test

Test di ipotesi. Test Test di ipotesi Test E una metodologia statistica che consente di prendere una decisione. Esempio: Un supermercato riceve dal proprio fornitore l assicurazione che non più del 5% delle mele di tipo A dell

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 4

CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 4 CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 4 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Stimatore media campionaria Il tempo in minuti necessario a un certo impiegato dell anagrafe

Dettagli

La simulazione con DERIVE Marcello Pedone LE SIMULAZIONI DEL LANCIO DI DADI CON DERIVE

La simulazione con DERIVE Marcello Pedone  LE SIMULAZIONI DEL LANCIO DI DADI CON DERIVE LE SIMULAZIONI DEL LANCIO DI DADI CON DERIVE Premessa Abbiamo già visto la simulazione del lancio di dadi con excel Vedi: http:///statistica/prob_simu/index.htm Ci proponiamo di ottenere risultati analoghi

Dettagli

TEST DI AUTOVALUTAZIONE APPROSSIMAZIONE NORMALE

TEST DI AUTOVALUTAZIONE APPROSSIMAZIONE NORMALE TEST DI AUTOVALUTAZIONE APPROSSIMAZIONE NORMALE I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Metodi statistici per la biologia Parte A. Sia X, X,...

Dettagli

Nozioni preliminari... 1 Notazioni... 1 Alcunirichiamidianalisimatematica... 3 Sommeinfinite... 3

Nozioni preliminari... 1 Notazioni... 1 Alcunirichiamidianalisimatematica... 3 Sommeinfinite... 3 Indice Nozioni preliminari... 1 Notazioni... 1 Alcunirichiamidianalisimatematica... 3 Sommeinfinite... 3 1 Spazi di probabilità discreti: teoria... 7 1.1 Modelli probabilistici discreti..... 7 1.1.1 Considerazioni

Dettagli

LEZIONI DI STATISTICA MEDICA

LEZIONI DI STATISTICA MEDICA LEZIONI DI STATISTICA MEDICA A.A. 2010/2011 - Distribuzione binomiale - Distribuzione Normale Sezione di Epidemiologia & Statistica Medica Università degli Studi di Verona DISTRIBUZIONI TEORICHE DI PROBABILITA

Dettagli

VIII Indice 2.6 Esperimenti Dicotomici Ripetuti: Binomiale ed Ipergeometrica Processi Stocastici: Bernoul

VIII Indice 2.6 Esperimenti Dicotomici Ripetuti: Binomiale ed Ipergeometrica Processi Stocastici: Bernoul 1 Introduzione alla Teoria della Probabilità... 1 1.1 Introduzione........................................ 1 1.2 Spazio dei Campioni ed Eventi Aleatori................ 2 1.3 Misura di Probabilità... 5

Dettagli

8.8 Modificare i file di testo I processi La stampa Accesso alle periferiche 176

8.8 Modificare i file di testo I processi La stampa Accesso alle periferiche 176 INDICE i Statistica ed analisi dei dati 1 1 Propagazione degli errori. Parte I 5 1.1 Terminologia 5 1.2 Propagazione dell incertezza massima (errore massimo) 7 1.2.1 Somma 8 1.2.2 Differenza 9 1.2.3 Prodotto

Dettagli

Test di ipotesi su due campioni

Test di ipotesi su due campioni 2/0/20 Test di ipotesi su due campioni Confronto tra due popolazioni Popolazioni effettive: unità statistiche realmente esistenti. Esempio: Confronto tra forze lavoro di due regioni. Popolazioni ipotetiche:

Dettagli

Statistica Inferenziale

Statistica Inferenziale Statistica Inferenziale a) L Intervallo di Confidenza b) La distribuzione t di Student c) La differenza delle medie d) L intervallo di confidenza della differenza Prof Paolo Chiodini Dalla Popolazione

Dettagli

Il confronto fra medie

Il confronto fra medie L. Boni Obiettivo Verificare l'ipotesi che regimi alimentari differenti non producano mediamente lo stesso effetto sulla gittata cardiaca Ipotesi nulla IPOTESI NULLA La dieta non dovrebbe modificare in

Dettagli

un elemento scelto a caso dello spazio degli esiti di un fenomeno aleatorio;

un elemento scelto a caso dello spazio degli esiti di un fenomeno aleatorio; TEST DI AUTOVALUTAZIONE - SETTIMANA 3 I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Metodi statistici per la biologia 1 Parte A 1.1 Una variabile casuale

Dettagli

Esercizi su variabili aleatorie discrete

Esercizi su variabili aleatorie discrete Esercizi su variabili aleatorie discrete Esercizio 1. Data la variabile aleatoria discreta X, caratterizzata dalla seguente rappresentazione nello spazio degli stati: 1 0,25 X = { 0 0,50 1 0,25 calcolare

Dettagli

Intervallo di confidenza

Intervallo di confidenza Intervallo di confidenza Prof. Giuseppe Verlato, Prof. Roberto de Marco Sezione di Epidemiologia e Statistica Medica, Università di Verona campione inferenza popolazione Media Riportare sempre anche Stima

Dettagli

Distribuzione Gaussiana

Distribuzione Gaussiana Nella maggioranza dei casi (ma non in tutti) facendo un istogramma delle misure acquisite si ottiene una curva a campana detta normale o Gaussiana. G,, G,, d 1 e 2 1 Distribuzione Gaussiana 1 2 = Valor

Dettagli

Matematica Applicata L-A Definizioni e teoremi

Matematica Applicata L-A Definizioni e teoremi Definizioni e teoremi Settembre - Dicembre 2008 Definizioni e teoremi di statistica tratte dalle lezioni del corso di Matematica Applicata L- A alla facoltà di Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni

Dettagli

Elementi di base su modello binomiale e modello normale

Elementi di base su modello binomiale e modello normale Elementi di base su modello binomiale e modello normale (alcune note) Parte 1: il modello binomiale Di fondamentale importanza nell analisi della qualità sono i modelli. I due principali modelli statistico-probablistici

Dettagli

CAMPIONAMENTO - ALCUNI TERMINI CHIAVE

CAMPIONAMENTO - ALCUNI TERMINI CHIAVE CAMPIONAMENTO - ALCUNI TERMINI CHIAVE POPOLAZIONE = qualsiasi insieme di oggetti (unità di analisi) di ricerca N = ampiezza della popolazione PARAMETRI = caratteristiche della popolazione [media, proporzione

Dettagli

Statistica. Esercitazione 10. Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it. Università degli studi di Cassino. Statistica. A. Iodice. V.C.

Statistica. Esercitazione 10. Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it. Università degli studi di Cassino. Statistica. A. Iodice. V.C. uniforme Bernoulli binomiale di Esercitazione 10 Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino () 1 / 55 Outline uniforme Bernoulli binomiale di 1 uniforme 2 Bernoulli 3 4

Dettagli

Modelli descrittivi, statistica e simulazione

Modelli descrittivi, statistica e simulazione Modelli descrittivi, statistica e simulazione Master per Smart Logistics specialist Roberto Cordone (roberto.cordone@unimi.it) Statistica inferenziale Cernusco S.N., giovedì 18 febbraio 2016 (9.00/13.00)

Dettagli

Statistica A. Ingegneria Logistica e della Produzione - Teledidattico. Prova del 15 marzo 2007

Statistica A. Ingegneria Logistica e della Produzione - Teledidattico. Prova del 15 marzo 2007 Compito A Statistica A Ingegneria Logistica e della Produzione - Teledidattico Prova del 15 marzo 2007 Cognome e Nome...... N 0 di Matricola. ISTRUZIONI: Copiare in modo chiaro e leggibile lo svolgimento

Dettagli

Diario delle lezioni di Calcolo e Biostatistica (O-Z) - a.a. 2013/14 A. Teta

Diario delle lezioni di Calcolo e Biostatistica (O-Z) - a.a. 2013/14 A. Teta Diario delle lezioni di Calcolo e Biostatistica (O-Z) - a.a. 2013/14 A. Teta 1. (1/10 Lu.) Generalità sugli insiemi, operazioni di unione, intersezione e prodotto cartesiano. Insiemi numerici: naturali,

Dettagli