La legge di Gauss degli errori come limite di una binomiale

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1 Esiste una dimostrazione rigorosa dovuta a Laplace che la distribuzione degli scarti delle misure affette da errori casuali e indipendenti è la funzione normale di Gauss La legge di Gauss degli errori come limite di una binomiale da Teoria degli errori e Fondamenti di Statistica Appendice D di M. Loreti Zanichelli e 7.13 Carnelli Si suppone, nel modello di Laplace, che gli errori casuali di misura possano essere schematizzati come il concorso contemporaneo di un numero n molto grande di disturbi, molto piccoli e indipendenti tra loro, di ampiezza costante ℇ, ognuno dei quali tenda a spostare la misura x dal valore vero X con uguale probabilità in difetto o in eccesso. 1

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3 Modello di prove ripetute e la pro (n- )

4 Modello delle prove ripetute Supponiamo che X sia il valore vero della grandezza da misurare e che k (= 0,1,2, n) disturbi spostino per eccesso il valore X e n-k la spostino per difetto, il valore x i della i-esima misura è dato da x i = X + k - (n-k) = X + (2k-n) I risultati possibili sono gli n+1 valori che si ottengono al variare di k = 0,1,2,,n La probabilità che si presenti un determinato valore x i della misura è data dalla distribuzione binomiale con k successi e n-k insuccessi. B n,p (k) = ( n k) p k q (n-k) con p = q = 1/2

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6 Si ponga il cambiamento della variabile binomiale = k-np = k - n/2 con k = 0,1,..n = 0, 1, 2,.., n/2 se n e pari = 1/2, 3/2,, n/2 se n e dispari e la distribuzione binomiale nella variabile n! B n,p ( ) = p ( +np ) q ( + np)! (nq - )! (nq - )

7 Supponiamo n molto grande >> 1 Si può usare l approssimazione di n! +( formula di De Moivre, Stirling*) n! 2 n (np+1/2) e -n (np+ )! 2 (np+ ) (np+ +1/2) e-(np+ ) (nq- )! 2 (nq- ) (nq- +1/2) e-(nq- ) Le ultime 2 nell ipotesi che sia (np+ )>>1 e (nq- )>>1 ovvero che non sia vicino ai limiti -np e nq

8 Usando le approssimazioni precedenti si dimostra (vedi *) che per piccolo molto minore di np ed nq La distribuzione Binomiale nella variabile assume la forma gaussiana *(vedi Appendice D di Teoria degli errori e Fondamenti di Statistica di M. Loreti Zanichelli)

9 La variabile = k - np è discreta legata alla variabile continua x dalla relazione X = x + k - (n-k) = x + (2k-n) = x + (2 + 2np-n) da cui = (x-x)/2 - np + n/2 = (x - X)/2 poichè p =1/2 che sostituita nella binomiale precedente è la funzione densità di probabilità

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11 Approssimazione della Binomiale alla Poissoniana Se si hanno 100 prove ripetute con probabilità del successo p = 0,02, per calcolare la probabilità che si abbiano 0,1,2,3,4,5 e >5 successi si puo usare l approssimazione Poissoniana? Si perchè p 2 = << p = 0.02 << np = 2 << n = 100 np = 2 npq = 0.4

12 Approssimazione gaussiana alle distribuzioni Binomiale e di Poisson La distribuzione Binomiale B n,p (k) = ( n k) p k q (n-k) per p e q non troppo piccoli tende alla distribuzione di Gauss per valori di n B n,p (k) G X,σ (x) con X = np e deviazione standard σ = npq Se la Binomiale è simmetrica l approssimazione è già soddisfacente per np 5, se asimmetrica devono essere np 5 e nq 5 La distribuzione di Poisson P μ (K) = e μ μ K /K! tende alla distribuzione di Gauss per valori del valor medio μ P μ (K) G X,σ (X) con X = μ e deviazione standard σ = μ Si considera che per μ 9 l approssimazione sia soddisfacente

13 Correzione di continuita La variabile binomiale k = 0,1,2.3..,n e poissoniana k (k= 0, ) sono discrete mentre la variabile gaussiana è continua. E necessario pertanto introdurre una correzione detta di continuità, Si approssima cioe la probabilità B n,p (k) o P μ (k), relativa a un certo k, tramite l area sotto la curva G X,σ (X) (coi parametri X, σ delle distribuzioni binomiale e poissoniana che si vogliono approssimare) compresa tra k 1/2 e k+1/2.

14 Esercizio. Approssimazione gaussiana di una Poissoniana E' dato un campione radioattivo la cui attivita' media e' 5.3 dis/s. Si calcoli: a) la probabilita' di avere in 1 s un numero di disintegrazioni 2 b) usare l'approssimazione gaussana per calcolare la stessa probabilita'. Si puo' dire che l'approssimazione gaussiana e' soddisfacente? c) se si considera un intervallo di tempo di 2 s, supponendo che il rate di conteggio sia costante, si puo' dire che vale l'approssimazione gaussiana? Soluzione a) µ=5.3 P(0)=exp(-5.3)=0.005 ; P(1)=5.3*exp(-5.3)=0.026 P(2)=5.3*P(1)/2=0.070 P(<3)=P(0)+P(1)+P(2)=0.101 b) z=( )/ 5.3= P(z< )=0.113 l'approssimazione non e' soddisfacente c) in 2 s µ=10.6 >9 vale l'approx gaussiana anche perche'inoltre µ> 3

15 Esercizio: approssimazione gaussiana di una binomiale Date n= 100 prove ripetute nelle stesse condizioni,essendo 0.4 la probabilita' di successo nella singola prova,calcolare la probabilita' di osservare tra 38 e 52 (inclusi gli estremi) successi. Si dica per quale motivo la distribuzione gaussiana bene approssima la distribuzione binomiale. Soluzione: la media np=40, la deviazione standard s= (npq)=4.89 e nq = 60 G 40,4.9 (x) approssima la B 100,0.4 (k) essendo il valor medio np >> 5 e nq >>5 Inoltre np > 3 npq Il testo dell esercizio chiede di calcolare: Ptot = B 100,0.4 (38) + B 100,0.4 (39) +.. B 100,0.4 (52) Usando l'approsimazione Gaussiana: z 1 =( )/4.9 = 0.51 z 2 =( )/4.9 = 2.55 P(entro 0.51) = 38.29% P (entro 2.55) = 98.92% P(38 k 52)=integrale(G (40,4.9) (37.5<x<52.5))= *( )=68.60%

16 Esercizio: approssimazione gaussiana di una poissoniana Durante uno sciame,i meteoriti cadono ad una velocita' di 15.7 /h. Qual'e' la probabilita' di osservarne meno di 5 in 30 minuti? Soluzione µ =7.85 in 30 minuti L'approx gaussiana a priori non dovrebbe essere soddisfacente. Calcolo esatto P(<5)=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)= exp(-7.85)( (7.85) 2 /2 +(7.85) 3 /6)= Calcolo approssimato z=(7,85-4.5)/ (7.85)=1.196 P(<4.5)=(1-P(entro1.196))/2=( )/2=0.117 Il calcolo esatto da una probabilità di 10.9% mentre quello con l approssimazione gaussiana da una probabilità dell 11.7 %. Sono numeri differenti! Il contesto della analisi statistica dirà se l approssimazione è accettabile o meno