La distribuzione normale o distribuzione di Gauss

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1 La distribuzione normale o distribuzione di Gauss Gauss ha dimostrato che secondo questa legge si possono ritenere distribuiti gli errori accidentali di misura di una qualsivoglia grandezza. Densità di probabilità: p() = 1 ep - 1 2πσ() 2 - µ ( ) 2 σ() Poichè la curva è simmetrica la media, la mediana e la moda coincidono tra loro. Cambiare il valore della media µ() equivale a fare scorrere lungo l'asse delle ascisse il grafico che rappresenta la densità di probabilità p(). Cambiare il valore dello scarto quadratico medio σ() equivale a cambiare la forma del grafico. Probabilità che la sia contenuta in un certo intervallo: - intervallo [µ() - σ(), µ() + σ()] probabilità uguale a 0,683; - intervallo [µ() - 2σ(), µ() + 2σ()] probabilità uguale a 0,945; - intervallo [µ() - 3σ(), µ() + 3σ()] probabilità uguale a 0,997.

2 p() 0.1 σ() σ() 0.05 µ() Distribuzione di Gauss

3 0,200 a b p() 0,100 0, Funzioni di densità di probabilità di due distribuzioni normali con diverso valore della media µ() (10 per la distribuzione a e 20 per la distribuzione b) e uguale valore (2,5) dello scarto quadratico medio σ()

4 0,200 a p() 0,100 b 0, Funzioni di densità di probabilità di due distribuzioni normali con uguale valore (10) della media µ() e diverso valore dello scarto quadratico medio σ () (2,5 per la distribuzione a e 5 per la distribuzione b)

5 Il teorema del limite centrale N variabili casuali indipendenti 1, 2,..., N variabile casuale N z = i i=1 La distribuzione della variabile z tende a essere normale, al tendere di N a infinito, quali che siano le funzioni di probabilità delle variabili originarie.

6 La distribuzione normale in forma canonica P() = p()d - P() = 1 ep - 1 2πσ() 2 - µ ( ) 2 d σ() - La funzione non è integrabile analiticamente: P() si deve calcolare per mezzo di un procedimento numerico approssimato. In passato i valori della probabilità P() erano tabulati. Oggi si calcolano per mezzo di un codice di calcolo automatico. u = - µ ( ) σ() variabile ridotta o standardizzata P(u) = P() probabilità di non superamento p(u) = p() d du d = σ () p(u) = p()σ() du p(u) = 1 2π ep - u 2 2 densità di probabilità µ(u) = µ() - µ() = 0 σ(u) = σ() σ() σ() = 1

7 Funzione di probabilità della distribuzione di Gauss. Valori della variabile ridotta u in funzione di quelli della probabilità di non superamento P. P u P u P u P u P u P u P u P u P u P u P u P u (A causa della simmetria della distribuzione non sono tabulati i valori negativi della variabile ridotta.)

8 Approssimazione numerica della funzione di probabilità della distribuzione di Gauss per u 0 p(u) = 1 2π ep - u2 2 P (u) = u - p(u)du r = 0, b 1 = 0, b 2 = -0, b 3 = 1, b 4 = -1, b 5 = 1, f = 1 2π ep - u2 2 t = r u P (u ) 1 - f(b 1 t + b 2 t 2 + b 3 t 3 + b 4 t 4 + b 5 t 5 )

9 Approssimazione numerica dell'inversa della funzione di probabilità della distribuzione di Gauss per P 0,5 P(u) = u - p(u)du c 0 = 2, c 1 = 0, c 2 = 0, d 1 = 1, d 2 = 0, d 3 = 0, t = ln (1 - P) 2 u t - \S\DO3(\F(c 0 + c 1 t + c 2 t 2 ;1 + d 1 t + d 2 t 2 + d 3 t 3 )).

10 Distribuzione di Gauss - Esempi di calcolo Parametri della distribuzione: µ() = 500 σ() = 100 Determinazione della probabilità di non superamento P() di un valore della assegnato: = 650 u = ( )/100 = 1,5 u P(u) (codice di calcolo o tabella) P(u) = 0,9332 P() = P(u) P() = 0,9332 Determinazione del valore della variabile con probabilità di non superamento P() assegnata: P() = 0,8 P(u) = P() P(u) = 0,8 P(u) u (codice di calcolo o tabella) u = 0,8415 = µ() + uσ() = , = 584,15

11 Distribuzione lognormale a due parametri y = ln variabile trasformata p () = 1 ep - 1 2πσ(y) 2 ln - µ(y) 2 σ(y) La distribuzione della è limitata inferiormente e ha come limite zero. La distribuzione della variabile originaria non è simmetrica. Relazioni tra media e varianza della variabile originaria e della variabile trasformata y : µ (y ) = ln µ() ln σ () µ 2 () σ 2 (y ) = ln σ () µ 2 () u = ay + b variabile gaussiana standardizzata u = a ln + b a = 1 σ(y) µ (y ) b = - σ(y)

12 µ() = 1000 p() σ() = Distribuzione lognormale

13 0,3 0,2 a p() 0,1 b 0, Distribuzioni lognormali con uguale valore dello scarto quadratico medio σ(y) e diverso valore (maggiore per la distribuzione b) della media µ(y)

14 0,3 0,2 a p() 0,1 b 0, Distribuzioni lognormali con uguale valore della media µ(y) e diverso valore (maggiore per la distribuzione b) dello scarto quadratico medio σ(y)

15 Distribuzione lognormale a tre parametri y = ln ( - 0 ) variabile trasformata Parametri: µ(y) σ(y) 0 u = a ln ( - 0 ) + b variabile gaussiana standardizzata

16 Le distribuzioni di Pearson La funzione di densità di probabilità p () è una soluzione dell'equazione differenziale dp() d = - a b 2 + c + d p () Esistono sei diversi tipi di leggi di Pearson.

17 La distribuzione Gamma a due parametri α p() = γ γ-1 e -α Γ(γ) La distribuzione della variabile è limitata inferiormente e illimitata superiormente. Il limite inferiore è uguale a zero. La distribuzione della variabile non è simmetrica. y = α variabile trasformata P() = α γ γ-1 e -α Γ(γ) 0 d = Γ i(y ;γ) Γ(γ) y Γ i(y;γ) = e -t t γ -1 dt 0 funzione Gamma incompleta Γ(γ) = e -t t γ-1 dt = Γ i( ;γ) funzione Gamma completa 0 Relazioni tra la media e la varianza della variabile e i due parametri α e γ : α = γ = µ() σ 2 () = 1 σ()cv() µ 2 () σ 2 () = 1 CV 2 ()

18 0,3 0,2 a p() b 0,1 0, Funzioni di densità di probabilità di due distribuzioni Gamma (a due parametri) con diverso valore (maggiore per la distribuzione b) del parametro γ e uguale valore del parametro α

19 0,3 0,2 a p() 0,1 b 0, Funzioni di densità di probabilità di due distribuzioni Gamma (a due parametri) con diverso valore (maggiore per la distribuzione a) del parametro α e uguale valore del parametro γ

20 La distribuzione Gamma a tre parametri α p() = γ ( - 0 ) γ-1 e -α(- 0) Γ(γ) La distribuzione della variabile è limitata inferiormente e illimitata superiormente. Il limite inferiore è uguale al parametro 0. La distribuzione della variabile non è simmetrica. La trasformazione logaritmica della distribuzione Gamma (distribuzione log-gamma) y = ln variabile trasformata La variabile trasformata y si assume distribuita secondo la legge Gamma a tre parametri. p () = α γ (ln - ln 0 ) γ-1 ( 0 /) α Γ(γ) P () = α γ (ln - ln 0 ) γ-1 ( 0 /) α d Γ(γ) 0 Negli Stati Uniti è raccomandato l'uso della distribuzione log-gamma per l'analisi dei massimi annuali delle portate di piena.

21 La distribuzione del massimo valore in un campione P() distribuzione di probabilità originaria P N () distribuzione di probabilità del massimo in un campione di dimensione N (gli elementi sono estratti dalla popolazione della indipendentemente l'uno dall'altro) Per l'assioma della probabilità composta è PN() = P()N Esempio Funzioni di densità di probabilità della distribuzione originaria (a), della distribuzione del massimo valore in un campione di 10 elementi (b) e della distribuzione del massimo valore in un campione di 100 elementi (c) 0,4 c 0,3 b p() 0,2 a 0,1 0,

22 La distribuzione asintotica del massimo valore del I tipo o distribuzione di Gumbel Distribuzione asintotica del massimo valore: lim P N () N Distribuzione asintotica del massimo valore del I tipo o distribuzione di Gumbel (valida per le distribuzioni originarie di tipo esponenziale): P ( ) = e -e -α( - u) p ( ) = α e -e -α( - u) - α( - u) y = α( - u) variabile ridotta P(y) = e -e -y µ(y) = γ (costante di Eulero) 0,5772 σ(y) = \S\DO2(\F(π;\R(6))) 1,283 Relazioni tra media e scarto quadratico medio della variabile e parametri della distribuzione di Gumbel: α = 1,283 σ() u = µ () - 0,450σ()

23 u = 85 α = 0,030 α = 0,040 p() Funzioni di densità di probabilità di due distribuzioni di Gumbel, con diverso valore del parametro α e uguale valore del parametro u