La distribuzione delle frequenze. T 10 (s)

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1 1 La distribuzione delle frequenze Si vuole misurare il periodo di oscillazione di un pendolo costituito da una sferetta metallica agganciata a un filo (fig. 1). A Figura 1 B Ricordiamo che il periodo di oscillazione è l intervallo di tempo impiegato dal pendolo per compiere un oscillazione completa (da A a B e poi da B ad A). Il periodo di oscillazione del pendolo dipende dalla lunghezza del filo. Pendoli corti hanno oscillazioni molto rapide, cosicché misurando con un cronometro, azionato manualmente, l intervallo di tempo relativo a una singola oscillazione si commettono errori accidentali rilevanti. È perciò conveniente misurare l intervallo di tempo impiegato dal pendolo per eseguire un certo numero di oscillazioni, per esempio dieci, e successivamente calcolare il periodo dividendo le misure per dieci. Indichiamo con il simbolo, il valore dell intervallo di tempo per 10 oscillazioni. Ripetiamo le misure con due cronometri diversi: prima con un cronometro di sensibilità 0, s, poi con un cronometro di sensibilità 0,01 s, prestando attenzione che l ampiezza di oscillazione del pendolo sia piccola, inferiore a una decina di gradi. 1,0 1 0,04 1,4 1 0,04 1,8 0,049,0 1 0,51, 1 0,93,4 0,049,6 1 0,04 3, 1 0,04 Tabella 1, intervallo di tempo per dieci oscillazioni; (numero misure) = 41. f A 1 1 ella tabella 1 sono riportati i risultati delle 41 misure eseguite con il primo cronometro (sensibilità 0, s). Poiché alcuni valori si ripetono più volte, riportiamo i risultati in una forma più compatta e significativa, indicando nella prima colonna le misure e nella seconda colonna la loro frequenza assoluta f A, cioè il numero di volte che ciascun valore è stato ottenuto. La somma di tutte le frequenze assolute è uguale a 41, il numero delle misure effettuate. ella terza colonna è riportata, approssimata al millesimo, la frequenza relativa che si ricava dividendo la frequenza assoluta di ogni misura per il numero delle misure eseguite: = f A da cui si deduce che la somma di tutte le frequenze relative è uguale a uno. Rappresentando graficamente le misure riportando sull asse delle ascisse i valori di e sull asse delle ordinate la frequenza assoluta (o quella relativa), si ottiene un grafico, chiamato distribuzione delle frequenze (fig. ). Poiché il valore,0 s è quello che ha frequenza maggiore, cioè è stato ottenuto il maggior numero di volte, diciamo che,0 s è il valore più probabile dell intervallo di tempo che stiamo misurando. Figura Distribuzione delle frequenze assolute. (s) Molte volte per rappresentare i dati sperimentali è più conveniente e significativo servirsi di un istogramma, che si ottiene suddividendo la variabile tempo in tanti intervalli suc-

2 cessivi di ampiezza determinata e costante I e disegnando tanti rettangoli aventi per base l ampiezza dell intervallo e per altezza il numero di misure che cadono all interno di ogni intervallo. Considerando intervalli di tempo di ampiezza 0, s l uno, in questo caso uguali alla sensibilità dello strumento di misura, costruiamo l istogramma delle frequenze con i dati delle prime due colonne della tabella 1. f A 1 1 Poiché il minimo valore di misurato è di 1,0 s, decidiamo di scegliere come primo intervallo quello compreso fra 0,9 s e 1,1 s in modo tale che la misura 1,0 s cada al centro di tale intervallo. Procedendo con questo criterio anche per tutte le altre misure si ottiene l istogramma delle frequenze di figura 3. Figura 3 Istogramma delle frequenze assolute. (s) Per poter confrontare tra di loro le distribuzioni di frequenza, è conveniente riportare sull asse delle ordinate la frequenza relativa invece di quella assoluta, perché la somma di tutte le frequenze relative delle misure è uguale a uno, indipendentemente dal numero di misure effettuate. In particolare, se si vogliono confrontare i risultati di esperimenti diversi (nel nostro caso il periodo del pendolo misurato con cronometri differenti), è più significativo riportare sulle ordinate la frequenza relativa per unità di intervallo, cioè la frequenza relativa divisa per l ampiezza dell intervallo I: I I (s 1 ) 0,9 < < 1,1 1 0,1 1,1 < < 1, ,3 < < 1,5 1 0,1 1,5 < < 1, ,7 < < 1,9 0,4 1,9 < <,1 1,56,1 < <,3 1 1,46,3 < <,5 0,4,5 < <,7 1 0,1,7 < <,9 0 0,9 < < 3, ,1 < < 3,3 1 0,1 Tabella Intervallo di tempo, cronometro di sensibilità 0, s; = 41; I = 0, s. Questa rappresentazione è detta istogramma normalizzato in quanto la sua area è uguale a uno. elle tabelle successive sono riportati i dati necessari per costruire gli istogrammi normalizzati degli intervalli di tempo misurati con i due diversi cronometri. Affinché gli istogrammi siano facilmente sovrapponibili, anche nel secondo caso (cronometro di sensibilità 0,01 s) abbiamo raggruppato le misure in intervalli di ampiezza 0,0 s. Analizziamo la tabella. Per ricavare f (si consideri la prima riga), si determina la frequenza relativa: = f A = 1 = 0, quindi la frequenza relativa per unità di intervallo è: I = 0,0439 = 0,1195 s 0, s 1 che arrotondato al centesimo dà 0,1 s 1.

3 3 I (s 1 ) 1,50 < < 1,70 0,6 1,70 < < 1,90 7 0,90 1,90 < <,10 1 1,54,10 < <,30 8 1,03,30 < <,50 9 1,15,50 < <,70 1 0,13 Tabella 3 Intervallo di tempo ; cronometro di sensibilità 0,01 s; = 39; I = 0,0 s. In maniera analoga si procede per ricavare gli altri valori della grandezza f. ella tabella 3 sono riportate, raggruppate per intervalli, le misure ottenute con il cronometro centesimale (sensibilità 0,01 s). ella figura 4 sono riportati, sovrapposti, i due istogrammi delle frequenze. Quello riferito al cronometro centesimale è tratteggiato. Ci sono alcuni tratti comuni ai due istogrammi. Anzitutto entrambi presentano un picco, cioè il valore più probabile, che cade all interno dello stesso intervallo di valori 1,90 s < <,10 s in entrambe le prove. f,56 1,54 1,46 1,15 1,03 0,90 Figura 4 0,6 0,4 0,1 (s) Si noti che la distribuzione delle frequenze ottenuta con il cronometro centesimale è più stretta di quella realizzata impiegando l altro cronometro, cioè i valori risultano meno sparpagliati e più vicini al valore più probabile. L analisi della distribuzione delle frequenze Figura 5 frequenze Ci chiediamo che cosa succederebbe se continuassimo ad aumentare il numero delle misure del periodo di oscillazione del pendolo. ella pratica ciò non è possibile, perché ogni misura richiede un certo tempo, al passare del tempo le condizioni fisiche della grandezza potrebbero mutare, l attenzione di chi misura potrebbe diminuire ecc. Tuttavia se passassimo da una quarantina di misure a qualche centinaio noteremmo che la distribuzione delle frequenze tende ad assumere una forma sempre più simmetrica intorno a un massimo centrale. Per un numero molto grande di misure è possibile tracciare una curva continua che approssima la distribuzione discreta delle frequenze (o l istogramma), ottenendo un tipo di curva detta gaussiana, o curva normale (fig. 5). X misure

4 4 Una curva gaussiana ha le seguenti caratteristiche: è una curva simmetrica; è asintotica all asse delle ascisse; è dotata di un massimo in corrispondenza del valore X. La misura della grandezza che stiamo cercando è data dal valore X in quanto è l unico valore che gode, contemporaneamente, delle seguenti proprietà: a) è la moda (cioè il valore più probabile), perché è stato ottenuto il maggior numero di volte; b) è il valore medio di tutte le misure; c) è la mediana, cioè la sua ordinata divide l area sotto la gaussiana in due parti uguali. Stabilito il valore della grandezza dobbiamo ricercare un secondo numero che permetta di valutare la precisione dell apparato di misura. Questo numero è legato alla larghezza della curva gaussiana in quanto una distribuzione più larga indica misure più sparpagliate intorno al valore centrale, quindi un apparato di misura, vuoi per lo strumento impiegato, vuoi per l abilità e l attenzione dello sperimentatore o vuoi per entrambi i fattori, meno preciso. frequenze Figura 6 ella figura 6 sono rappresentate due distribuzioni gaussiane che si riferiscono al medesimo esperimento realizzato con 1 apparati di misura di diversa precisione. Abbiamo supposto che entrambi gli esperimenti forniscano lo stesso valore medio X, mentre è diversa la larghezza delle distribuzioni. Quando l area sotto la curva è uguale a uno si dice che la distribuzione è normalizzata. Poiché in questo caso entrambe le curve sono normalizzate, una distribuzione X misure più larga è caratterizzata da un massimo che ha una ordinata minore rispetto a una curva più stretta. La distribuzione 1 caratterizza un apparato di misura più preciso di quello della distribuzione, in quanto la maggior parte delle misure dell esperimento 1 risultano più vicine al valore centrale di quanto non lo siano i valori della distribuzione. Il numero che definisce la larghezza della distribuzione gaussiana è la deviazione standard σ che si ricava a partire dagli scarti ε 1, ε, ε 3,, ε di tutte le misure eseguite. Ricordiamo che per ogni misura x i lo scarto rispetto al valore medio X è: ε i = x i X Si determina prima la deviazione quadratica media o varianza (simbolo σ, leggi sigma quadro ) sommando tutti i quadrati degli scarti dal valore medio e dividendo per il numero totale delle misure: σ = ε + ε ε

5 5 Quindi si ricava la deviazione standard σ, la radice quadrata della varianza: σ = ε + ε ε Minore è la deviazione standard, più stretta è la distribuzione delle frequenze e maggiore è la precisione dell apparato di misura. Disegnata la distribuzione gaussiana è possibile fare alcune interessanti considerazioni sulla probabilità che una misura cada all interno di un certo intervallo di valori. Se la distribuzione è normalizzata la probabilità di trovare una misura compresa in un certo intervallo di valori è data dall area colorata in grigio nei grafici della figura 7. (a) (b) (c) 68,3% 95,4% 99,7% Figura 7 X σ X+σ X σ X+σ X 3σ X+3σ Si può dimostrare che la probabilità di trovare una misura compresa fra X σ e X + σ è uguale a 0,683, cioè la probabilità è del 68,3%. Analogamente si può dimostrare che la probabilità che una misura cada tra X σ e X + σ è uguale al 95,4%, mentre quella tra X 3σ e X + 3σ è 99,7 % (fig. 7c). In pratica, considerato un intervallo di semiampiezza 3σ intorno al valore medio, quasi tutte le misure cadono al suo interno perché la probabilità di ottenere una misura al di fuori di questo intervallo è solamente dello 0,3%. Finora abbiamo considerato un numero elevato di misure della grandezza X in modo da poter approssimare la distribuzione delle frequenze con una curva continua. In diversi casi, però, è possibile ripetere la misura di una grandezza solo un numero limitato di volte. Come si deve operare con un numero limitato di misure è spiegato nel paragrafo 1-5 del volume.