La distribuzione delle frequenze. T 10 (s)

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "La distribuzione delle frequenze. T 10 (s)"

Transcript

1 1 La distribuzione delle frequenze Si vuole misurare il periodo di oscillazione di un pendolo costituito da una sferetta metallica agganciata a un filo (fig. 1). A Figura 1 B Ricordiamo che il periodo di oscillazione è l intervallo di tempo impiegato dal pendolo per compiere un oscillazione completa (da A a B e poi da B ad A). Il periodo di oscillazione del pendolo dipende dalla lunghezza del filo. Pendoli corti hanno oscillazioni molto rapide, cosicché misurando con un cronometro, azionato manualmente, l intervallo di tempo relativo a una singola oscillazione si commettono errori accidentali rilevanti. È perciò conveniente misurare l intervallo di tempo impiegato dal pendolo per eseguire un certo numero di oscillazioni, per esempio dieci, e successivamente calcolare il periodo dividendo le misure per dieci. Indichiamo con il simbolo, il valore dell intervallo di tempo per 10 oscillazioni. Ripetiamo le misure con due cronometri diversi: prima con un cronometro di sensibilità 0, s, poi con un cronometro di sensibilità 0,01 s, prestando attenzione che l ampiezza di oscillazione del pendolo sia piccola, inferiore a una decina di gradi. 1,0 1 0,04 1,4 1 0,04 1,8 0,049,0 1 0,51, 1 0,93,4 0,049,6 1 0,04 3, 1 0,04 Tabella 1, intervallo di tempo per dieci oscillazioni; (numero misure) = 41. f A 1 1 ella tabella 1 sono riportati i risultati delle 41 misure eseguite con il primo cronometro (sensibilità 0, s). Poiché alcuni valori si ripetono più volte, riportiamo i risultati in una forma più compatta e significativa, indicando nella prima colonna le misure e nella seconda colonna la loro frequenza assoluta f A, cioè il numero di volte che ciascun valore è stato ottenuto. La somma di tutte le frequenze assolute è uguale a 41, il numero delle misure effettuate. ella terza colonna è riportata, approssimata al millesimo, la frequenza relativa che si ricava dividendo la frequenza assoluta di ogni misura per il numero delle misure eseguite: = f A da cui si deduce che la somma di tutte le frequenze relative è uguale a uno. Rappresentando graficamente le misure riportando sull asse delle ascisse i valori di e sull asse delle ordinate la frequenza assoluta (o quella relativa), si ottiene un grafico, chiamato distribuzione delle frequenze (fig. ). Poiché il valore,0 s è quello che ha frequenza maggiore, cioè è stato ottenuto il maggior numero di volte, diciamo che,0 s è il valore più probabile dell intervallo di tempo che stiamo misurando. Figura Distribuzione delle frequenze assolute. (s) Molte volte per rappresentare i dati sperimentali è più conveniente e significativo servirsi di un istogramma, che si ottiene suddividendo la variabile tempo in tanti intervalli suc-

2 cessivi di ampiezza determinata e costante I e disegnando tanti rettangoli aventi per base l ampiezza dell intervallo e per altezza il numero di misure che cadono all interno di ogni intervallo. Considerando intervalli di tempo di ampiezza 0, s l uno, in questo caso uguali alla sensibilità dello strumento di misura, costruiamo l istogramma delle frequenze con i dati delle prime due colonne della tabella 1. f A 1 1 Poiché il minimo valore di misurato è di 1,0 s, decidiamo di scegliere come primo intervallo quello compreso fra 0,9 s e 1,1 s in modo tale che la misura 1,0 s cada al centro di tale intervallo. Procedendo con questo criterio anche per tutte le altre misure si ottiene l istogramma delle frequenze di figura 3. Figura 3 Istogramma delle frequenze assolute. (s) Per poter confrontare tra di loro le distribuzioni di frequenza, è conveniente riportare sull asse delle ordinate la frequenza relativa invece di quella assoluta, perché la somma di tutte le frequenze relative delle misure è uguale a uno, indipendentemente dal numero di misure effettuate. In particolare, se si vogliono confrontare i risultati di esperimenti diversi (nel nostro caso il periodo del pendolo misurato con cronometri differenti), è più significativo riportare sulle ordinate la frequenza relativa per unità di intervallo, cioè la frequenza relativa divisa per l ampiezza dell intervallo I: I I (s 1 ) 0,9 < < 1,1 1 0,1 1,1 < < 1, ,3 < < 1,5 1 0,1 1,5 < < 1, ,7 < < 1,9 0,4 1,9 < <,1 1,56,1 < <,3 1 1,46,3 < <,5 0,4,5 < <,7 1 0,1,7 < <,9 0 0,9 < < 3, ,1 < < 3,3 1 0,1 Tabella Intervallo di tempo, cronometro di sensibilità 0, s; = 41; I = 0, s. Questa rappresentazione è detta istogramma normalizzato in quanto la sua area è uguale a uno. elle tabelle successive sono riportati i dati necessari per costruire gli istogrammi normalizzati degli intervalli di tempo misurati con i due diversi cronometri. Affinché gli istogrammi siano facilmente sovrapponibili, anche nel secondo caso (cronometro di sensibilità 0,01 s) abbiamo raggruppato le misure in intervalli di ampiezza 0,0 s. Analizziamo la tabella. Per ricavare f (si consideri la prima riga), si determina la frequenza relativa: = f A = 1 = 0, quindi la frequenza relativa per unità di intervallo è: I = 0,0439 = 0,1195 s 0, s 1 che arrotondato al centesimo dà 0,1 s 1.

3 3 I (s 1 ) 1,50 < < 1,70 0,6 1,70 < < 1,90 7 0,90 1,90 < <,10 1 1,54,10 < <,30 8 1,03,30 < <,50 9 1,15,50 < <,70 1 0,13 Tabella 3 Intervallo di tempo ; cronometro di sensibilità 0,01 s; = 39; I = 0,0 s. In maniera analoga si procede per ricavare gli altri valori della grandezza f. ella tabella 3 sono riportate, raggruppate per intervalli, le misure ottenute con il cronometro centesimale (sensibilità 0,01 s). ella figura 4 sono riportati, sovrapposti, i due istogrammi delle frequenze. Quello riferito al cronometro centesimale è tratteggiato. Ci sono alcuni tratti comuni ai due istogrammi. Anzitutto entrambi presentano un picco, cioè il valore più probabile, che cade all interno dello stesso intervallo di valori 1,90 s < <,10 s in entrambe le prove. f,56 1,54 1,46 1,15 1,03 0,90 Figura 4 0,6 0,4 0,1 (s) Si noti che la distribuzione delle frequenze ottenuta con il cronometro centesimale è più stretta di quella realizzata impiegando l altro cronometro, cioè i valori risultano meno sparpagliati e più vicini al valore più probabile. L analisi della distribuzione delle frequenze Figura 5 frequenze Ci chiediamo che cosa succederebbe se continuassimo ad aumentare il numero delle misure del periodo di oscillazione del pendolo. ella pratica ciò non è possibile, perché ogni misura richiede un certo tempo, al passare del tempo le condizioni fisiche della grandezza potrebbero mutare, l attenzione di chi misura potrebbe diminuire ecc. Tuttavia se passassimo da una quarantina di misure a qualche centinaio noteremmo che la distribuzione delle frequenze tende ad assumere una forma sempre più simmetrica intorno a un massimo centrale. Per un numero molto grande di misure è possibile tracciare una curva continua che approssima la distribuzione discreta delle frequenze (o l istogramma), ottenendo un tipo di curva detta gaussiana, o curva normale (fig. 5). X misure

4 4 Una curva gaussiana ha le seguenti caratteristiche: è una curva simmetrica; è asintotica all asse delle ascisse; è dotata di un massimo in corrispondenza del valore X. La misura della grandezza che stiamo cercando è data dal valore X in quanto è l unico valore che gode, contemporaneamente, delle seguenti proprietà: a) è la moda (cioè il valore più probabile), perché è stato ottenuto il maggior numero di volte; b) è il valore medio di tutte le misure; c) è la mediana, cioè la sua ordinata divide l area sotto la gaussiana in due parti uguali. Stabilito il valore della grandezza dobbiamo ricercare un secondo numero che permetta di valutare la precisione dell apparato di misura. Questo numero è legato alla larghezza della curva gaussiana in quanto una distribuzione più larga indica misure più sparpagliate intorno al valore centrale, quindi un apparato di misura, vuoi per lo strumento impiegato, vuoi per l abilità e l attenzione dello sperimentatore o vuoi per entrambi i fattori, meno preciso. frequenze Figura 6 ella figura 6 sono rappresentate due distribuzioni gaussiane che si riferiscono al medesimo esperimento realizzato con 1 apparati di misura di diversa precisione. Abbiamo supposto che entrambi gli esperimenti forniscano lo stesso valore medio X, mentre è diversa la larghezza delle distribuzioni. Quando l area sotto la curva è uguale a uno si dice che la distribuzione è normalizzata. Poiché in questo caso entrambe le curve sono normalizzate, una distribuzione X misure più larga è caratterizzata da un massimo che ha una ordinata minore rispetto a una curva più stretta. La distribuzione 1 caratterizza un apparato di misura più preciso di quello della distribuzione, in quanto la maggior parte delle misure dell esperimento 1 risultano più vicine al valore centrale di quanto non lo siano i valori della distribuzione. Il numero che definisce la larghezza della distribuzione gaussiana è la deviazione standard σ che si ricava a partire dagli scarti ε 1, ε, ε 3,, ε di tutte le misure eseguite. Ricordiamo che per ogni misura x i lo scarto rispetto al valore medio X è: ε i = x i X Si determina prima la deviazione quadratica media o varianza (simbolo σ, leggi sigma quadro ) sommando tutti i quadrati degli scarti dal valore medio e dividendo per il numero totale delle misure: σ = ε + ε ε

5 5 Quindi si ricava la deviazione standard σ, la radice quadrata della varianza: σ = ε + ε ε Minore è la deviazione standard, più stretta è la distribuzione delle frequenze e maggiore è la precisione dell apparato di misura. Disegnata la distribuzione gaussiana è possibile fare alcune interessanti considerazioni sulla probabilità che una misura cada all interno di un certo intervallo di valori. Se la distribuzione è normalizzata la probabilità di trovare una misura compresa in un certo intervallo di valori è data dall area colorata in grigio nei grafici della figura 7. (a) (b) (c) 68,3% 95,4% 99,7% Figura 7 X σ X+σ X σ X+σ X 3σ X+3σ Si può dimostrare che la probabilità di trovare una misura compresa fra X σ e X + σ è uguale a 0,683, cioè la probabilità è del 68,3%. Analogamente si può dimostrare che la probabilità che una misura cada tra X σ e X + σ è uguale al 95,4%, mentre quella tra X 3σ e X + 3σ è 99,7 % (fig. 7c). In pratica, considerato un intervallo di semiampiezza 3σ intorno al valore medio, quasi tutte le misure cadono al suo interno perché la probabilità di ottenere una misura al di fuori di questo intervallo è solamente dello 0,3%. Finora abbiamo considerato un numero elevato di misure della grandezza X in modo da poter approssimare la distribuzione delle frequenze con una curva continua. In diversi casi, però, è possibile ripetere la misura di una grandezza solo un numero limitato di volte. Come si deve operare con un numero limitato di misure è spiegato nel paragrafo 1-5 del volume.

Analisi degli Errori di Misura. 08/04/2009 G.Sirri

Analisi degli Errori di Misura. 08/04/2009 G.Sirri Analisi degli Errori di Misura 08/04/2009 G.Sirri 1 Misure di grandezze fisiche La misura di una grandezza fisica è descrivibile tramite tre elementi: valore più probabile; incertezza (o errore ) ossia

Dettagli

FISICA. Elaborazione dei dati sperimentali. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica

FISICA. Elaborazione dei dati sperimentali. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica FISICA Elaborazione dei dati sperimentali Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica LA MISURA GLI STRUMENTI DI MISURA Gli strumenti di misura possono essere analogici o digitali.

Dettagli

Distribuzione Normale

Distribuzione Normale Distribuzione Normale istogramma delle frequenze di un insieme di misure di una grandezza che può variare con continuità popolazione molto numerosa, costituita da una quantità praticamente illimitata di

Dettagli

Capitolo 6. Variabili casuali continue. 6.1 La densità di probabilità

Capitolo 6. Variabili casuali continue. 6.1 La densità di probabilità Capitolo 6 Variabili casuali continue Le definizioni di probabilità che abbiamo finora usato sono adatte solo per una variabile casuale che possa assumere solo valori discreti; vediamo innanzi tutto come

Dettagli

SCHEDA N 8 DEL LABORATORIO DI FISICA

SCHEDA N 8 DEL LABORATORIO DI FISICA SCHEDA N 1 IL PENDOLO SEMPLICE SCHEDA N 8 DEL LABORATORIO DI FISICA Scopo dell'esperimento. Determinare il periodo di oscillazione di un pendolo semplice. Applicare le nozioni sugli errori di una grandezza

Dettagli

TEORIA DEGLI ERRORI DI MISURA, IL CALCOLO DELLE INCERTEZZE

TEORIA DEGLI ERRORI DI MISURA, IL CALCOLO DELLE INCERTEZZE TEORIA DEGLI ERRORI DI MISURA, IL CALCOLO DELLE INCERTEZZE Errore di misura è la differenza fra l indicazione fornita dallo strumento e la dimensione vera della grandezza. Supponendo che la grandezza vera

Dettagli

GLI ERRORI DI MISURA

GLI ERRORI DI MISURA Revisione del 26/10/15 ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE V.E.MARZOTTO Valdagno (VI) Corso di Fisica prof. Nardon GLI ERRORI DI MISURA Richiami di teoria Caratteristiche degli strumenti di misura Portata: massimo

Dettagli

DISTRIBUZIONE NORMALE (1)

DISTRIBUZIONE NORMALE (1) DISTRIBUZIONE NORMALE (1) Nella popolazione generale molte variabili presentano una distribuzione a forma di campana, bene caratterizzata da un punto di vista matematico, chiamata distribuzione normale

Dettagli

L indagine campionaria Lezione 3

L indagine campionaria Lezione 3 Anno accademico 2007/08 L indagine campionaria Lezione 3 Docente: prof. Maurizio Pisati Variabile casuale Una variabile casuale è una quantità discreta o continua il cui valore è determinato dal risultato

Dettagli

1 4 Esempio 2. Si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale X = punteggio ottenuto lanciando un dado. Si ha immediatamente:

1 4 Esempio 2. Si determini la distribuzione di probabilità della variabile casuale X = punteggio ottenuto lanciando un dado. Si ha immediatamente: CAPITOLO TERZO VARIABILI CASUALI. Le variabili casuali e la loro distribuzione di probabilità In molte situazioni, dato uno spazio di probabilità S, si è interessati non tanto agli eventi elementari (o

Dettagli

ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:

ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI: ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI: i 3 4 5 6 7 8 9 0 i 0. 8.5 3 0 9.5 7 9.8 8.6 8. bin (=.) 5-7. 7.-9.4 n k 3 n k 6 5 n=0 =. 9.4-.6 5 4.6-3.8 3 Numero di misure nell intervallo 0 0 4 6 8 0 4 6 8 30 ISTOGRAMMI

Dettagli

Esercitazione: La distribuzione NORMALE

Esercitazione: La distribuzione NORMALE Esercitazione: La distribuzione NORMALE Uno dei più importanti esempi di distribuzione di probabilità continua è dato dalla distribuzione Normale (curva normale o distribuzione Gaussiana); è una delle

Dettagli

Distribuzione statistica delle misure del periodo di un pendolo semplice

Distribuzione statistica delle misure del periodo di un pendolo semplice Gruppo A2 XXX XXX XXX XXX Cesa Joshua 77685 Udine, 20/10/2006 Distribuzione statistica delle misure del periodo di un pendolo semplice Oggetto della prova Oggetto della prova è la misurazione del periodo

Dettagli

Note sulla probabilità

Note sulla probabilità Note sulla probabilità Maurizio Loreti Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Padova Anno Accademico 2002 03 1 La distribuzione del χ 2 0.6 0.5 N=1 N=2 N=3 N=5 N=10 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15

Dettagli

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI BRESCIA-FACOLTA DI MEDICINA E CHIRURGIA CORSO DI LAUREA IN INFERMIERISTICA SEDE DI DESENZANO dg STATISTICA MEDICA.

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI BRESCIA-FACOLTA DI MEDICINA E CHIRURGIA CORSO DI LAUREA IN INFERMIERISTICA SEDE DI DESENZANO dg STATISTICA MEDICA. Lezione 4 DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA 1 DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA Una variabile i cui differenti valori seguono una distribuzione di probabilità si chiama variabile aleatoria. Es:il numero di figli maschi

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 3

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 3 CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 3 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Sintesi a cinque e misure di variabilità rispetto ad un centro Una catena di fast-food ha selezionato

Dettagli

Teoria e tecniche dei test. Concetti di base

Teoria e tecniche dei test. Concetti di base Teoria e tecniche dei test Lezione 2 2013/14 ALCUNE NOZIONI STATITICHE DI BASE Concetti di base Campione e popolazione (1) La popolazione è l insieme di individui o oggetti che si vogliono studiare. Questi

Dettagli

Statistica a.a Autovalutazione 1

Statistica a.a Autovalutazione 1 Statistica a.a. 016-17 Autovalutazione 1 CORSO: Diritto per le Imprese e le Istituzioni ATTENZIONE: alle domande aperte è stato dato un possibile esempio di risposta, altre parole possono essere usate

Dettagli

Lezione 4 a - Misure di dispersione o di variabilità

Lezione 4 a - Misure di dispersione o di variabilità Lezione 4 a - Misure di dispersione o di variabilità Abbiamo visto che la media è una misura della localizzazione centrale della distribuzione (il centro di gravità). Popolazioni con la stessa media possono

Dettagli

Variabile casuale Normale

Variabile casuale Normale Variabile casuale Normale La var. casuale Normale (o Gaussiana) è considerata la più importante distribuzione Statistica per le innumerevoli Applicazioni e per le rilevanti proprietà di cui gode L'importanza

Dettagli

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA Nell associare ai risultati di un esperimento un valore numerico si costruisce una variabile casuale (o aleatoria, o stocastica). Ogni variabile casuale ha una corrispondente

Dettagli

DISTRIBUZIONI DISTRIBUZIONE DI GAUSS

DISTRIBUZIONI DISTRIBUZIONE DI GAUSS DISTRIBUZIONI ESPERIENZA a: DISTRIBUZIONE DI GAUSS SCOPO: Costruzione di una distribuzione di Gauss dai valori di una grandezza fisica ottenuti da una misura dominata da errori casuali. Studio dell influenza

Dettagli

Capitolo 2 Le misure delle grandezze fisiche

Capitolo 2 Le misure delle grandezze fisiche Capitolo 2 Le misure delle grandezze fisiche Gli strumenti di misura Gli errori di misura Il risultato di una misura Errore relativo ed errore percentuale Propagazione degli errori Rappresentazione di

Dettagli

TOPOGRAFIA 2013/2014. Prof. Francesco-Gaspare Caputo

TOPOGRAFIA 2013/2014. Prof. Francesco-Gaspare Caputo TOPOGRAFIA 2013/2014 L operazione di misura di una grandezza produce un numero reale che esprime il rapporto della grandezza stessa rispetto a un altra, a essa omogenea, assunta come unità di misura. L

Dettagli

Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche

Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche Ø Prof. Attilio Santocchia Ø Ufficio presso il Dipartimento di Fisica (Quinto Piano) Tel. 75-585 278 Ø E-mail: attilio.santocchia@pg.infn.it Ø Web: http://www.fisica.unipg.it/~attilio.santocchia/

Dettagli

Indicatori di Posizione e di Variabilità. Corso di Laurea Specialistica in SCIENZE DELLE PROFESSIONI SANITARIE DELLA RIABILITAZIONE Statistica Medica

Indicatori di Posizione e di Variabilità. Corso di Laurea Specialistica in SCIENZE DELLE PROFESSIONI SANITARIE DELLA RIABILITAZIONE Statistica Medica Indicatori di Posizione e di Variabilità Corso di Laurea Specialistica in SCIENZE DELLE PROFESSIONI SANITARIE DELLA RIABILITAZIONE Statistica Medica Indici Sintetici Consentono il passaggio da una pluralità

Dettagli

Distribuzioni di probabilità

Distribuzioni di probabilità Distribuzioni di probabilità Distribuzioni di probabilità L analisi statistica spesso studia i fenomeni collettivi confrontandoli con modelli teorici di riferimento. Tra di essi, vedremo: la distribuzione

Dettagli

LABORATORIO DI CIRCUITI ELETTRICI Nozioni generali e guida agli esperimenti. Rappresentazione grafica dei risultati sperimentali

LABORATORIO DI CIRCUITI ELETTRICI Nozioni generali e guida agli esperimenti. Rappresentazione grafica dei risultati sperimentali LABORATORIO DI CIRCUITI ELETTRICI Nozioni generali e guida agli esperimenti Rappresentazione grafica dei risultati sperimentali Uno strumento molto utile per comunicare e leggere risultati sperimentali

Dettagli

Esercizi Svolti. 2. Costruire la distribuzione delle frequenze cumulate del tempo di attesa

Esercizi Svolti. 2. Costruire la distribuzione delle frequenze cumulate del tempo di attesa Esercizi Svolti Esercizio 1 Per una certa linea urbana di autobus sono state effettuate una serie di rilevazioni sui tempi di attesa ad una determinata fermata; la corrispondente distribuzione di frequenza

Dettagli

La misura e le incertezze

La misura e le incertezze 1. Gli strumenti di misura Gli strumenti di misura vengono utilizzati per effettuare la misura di una grandezza fisica. Esistono due tipologie di strumenti di misura: 1. strumenti analogici, in cui la

Dettagli

Statistica Un Esempio

Statistica Un Esempio Statistica Un Esempio Un indagine sul peso, su un campione di n = 100 studenti, ha prodotto il seguente risultato. I pesi p sono espressi in Kg e sono stati raggruppati in cinque classi di peso. classe

Dettagli

LA DISTRIBUZIONE NORMALE (Vittorio Colagrande)

LA DISTRIBUZIONE NORMALE (Vittorio Colagrande) LA DISTRIBUZIONE NORMALE (Vittorio Colagrande) Allo scopo di interpolare un istogramma di un carattere statistico X con una funzione continua (di densità), si può far ricorso nell analisi statistica alla

Dettagli

Variabile Casuale Normale

Variabile Casuale Normale Variabile Casuale Normale Variabile Casuale Normale o Gaussiana E una variabile casuale continua che assume tutti i numeri reali, è definita dalla seguente funzione di densità: 1 f( x) = e σ 2 π ( x µ

Dettagli

Distribuzione Gaussiana

Distribuzione Gaussiana Nella maggioranza dei casi (ma non in tutti) facendo un istogramma delle misure acquisite si ottiene una curva a campana detta normale o Gaussiana. G,, G,, d 1 e 2 1 Distribuzione Gaussiana 1 2 = Valor

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA. Elementi di statistica medica GLI INDICI INDICI DI DISPERSIONE STATISTICA DESCRITTIVA

STATISTICA DESCRITTIVA. Elementi di statistica medica GLI INDICI INDICI DI DISPERSIONE STATISTICA DESCRITTIVA STATISTICA DESCRITTIVA Elementi di statistica medica STATISTICA DESCRITTIVA È quella branca della statistica che ha il fine di descrivere un fenomeno. Deve quindi sintetizzare tramite pochi valori(indici

Dettagli

Errori di misura Teoria

Errori di misura Teoria Errori di misura Teoria a misura operazione di misura di una grandezza fisica, anche se eseguita con uno strumento precisissimo e con tecniche e procedimenti accurati, è sempre affetta da errori. Gli errori

Dettagli

Indici di eterogeneità e di concentrazione

Indici di eterogeneità e di concentrazione Indici di eterogeneità e di concentrazione Dario Malchiodi e Anna Maria Zanaboni 12 gennaio 2016 1 Indici di eterogeneità Nel caso di variabili qualitative nominali la varianza e gli altri indici da essa

Dettagli

La statistica. Elaborazione e rappresentazione dei dati Gli indicatori statistici. Prof. Giuseppe Carucci

La statistica. Elaborazione e rappresentazione dei dati Gli indicatori statistici. Prof. Giuseppe Carucci La statistica Elaborazione e rappresentazione dei dati Gli indicatori statistici Introduzione La statistica raccoglie ed analizza gruppi di dati (su cose o persone) per trarne conclusioni e fare previsioni

Dettagli

MISURA DELLA DISTANZA FOCALE DI UNA LENTE CONVERGENTE

MISURA DELLA DISTANZA FOCALE DI UNA LENTE CONVERGENTE MISURA DELLA DISTANZA FOCALE DI UNA LENTE CONVERGENTE La distanza focale f di una lente convergente sottile è data dalla formula: da cui 1 f = 1 p + 1 q f = pq p + q dove p e q sono, rispettivamente, le

Dettagli

Esplorazione dei dati

Esplorazione dei dati Esplorazione dei dati Introduzione L analisi esplorativa dei dati evidenzia, tramite grafici ed indicatori sintetici, le caratteristiche di ciascun attributo presente in un dataset. Il processo di esplorazione

Dettagli

Dati sperimentali Nella serie di 10 misurazioni di tempo effettuate, si sono ottenuti i seguenti valori espressi in secondi:

Dati sperimentali Nella serie di 10 misurazioni di tempo effettuate, si sono ottenuti i seguenti valori espressi in secondi: ESPERIMENTO DI LABORATORIO DI FISICA MISURE DI TEMPO Obiettivo L obiettivo dell esperimento, oltre che familiarizzare con le misure di tempo, è quello di rivelare gli errori casuali, elaborare statisticamente

Dettagli

Rappresentazioni grafiche

Rappresentazioni grafiche Rappresentazioni grafiche Su una popolazione di n = 20 unità sono stati rilevati i seguenti fenomeni: stato civile (X) livello di scolarità (Y ) numero di figli a carico (Z) reddito in migliaia di (W )

Dettagli

L errore percentuale di una misura è l errore relativo moltiplicato per 100 ed espresso in percentuale. Si indica con e p e risulta: e ( e 100)%

L errore percentuale di una misura è l errore relativo moltiplicato per 100 ed espresso in percentuale. Si indica con e p e risulta: e ( e 100)% UNITÀ L ELBORZIONE DEI DTI IN FISIC 1. Gli errori di misura.. Errori di sensibilità, errori casuali, errori sistematici. 3. La stima dell errore. 4. La media, la semidispersione e lo scarto quadratico

Dettagli

Valutazione dell incertezza di categoria A e B

Valutazione dell incertezza di categoria A e B Valutazione dell incertezza di categoria A e B Il metodo per stimare l incertezza associata ad una misurazione è sancito dalla normativa UNI CEI ENV 13005 Guida all espressione dell incertezza di misura.

Dettagli

REGRESSIONE E CORRELAZIONE

REGRESSIONE E CORRELAZIONE REGRESSIONE E CORRELAZIONE Nella Statistica, per studio della connessione si intende la ricerca di eventuali relazioni, di dipendenza ed interdipendenza, intercorrenti tra due variabili statistiche 1.

Dettagli

Alcune v.a. discrete notevoli

Alcune v.a. discrete notevoli Alcune v.a. discrete notevoli Variabile aleatoria Bernoulliana Il risultato X di un esperimento aleatorio può essere classificato nel modo che segue: successo oppure insuccesso. Indichiamo: Successo =

Dettagli

Lezione VI: Distribuzione normale. La distribuzione normale (curva di Gauss). Prof. Enzo Ballone. Lezione 6a- Ia distribuzione normale

Lezione VI: Distribuzione normale. La distribuzione normale (curva di Gauss). Prof. Enzo Ballone. Lezione 6a- Ia distribuzione normale Lezione VI: Distribuzione normale Cattedra di Biostatistica Dipartimento di Scienze Biomediche, Università degli Studi G. d Annunzio di Chieti Pescara Prof. Enzo Ballone Lezione 6a- Ia distribuzione normale

Dettagli

Capitolo 3. Errori di misura. 3.1 L'incertezza nella misura

Capitolo 3. Errori di misura. 3.1 L'incertezza nella misura Interventi didattici integrativi Appunti di Fisica III 1 Capitolo 3 Errori di misura 3.1 L'incertezza nella misura 3.2 Le misure dirette 3.3 Serie di misure dirette 3.4 Le misure indirette 3.5 Procedimento

Dettagli

LA DISTRIBUZIONE NORMALE

LA DISTRIBUZIONE NORMALE LA DISTRIBUZIONE NORMALE Italo Nofroni Statistica medica - Facoltà di Medicina Sapienza - Roma La più nota ed importante distribuzione di probabilità è, senza alcun dubbio, la Distribuzione normale, anche

Dettagli

Teoria e tecniche dei test

Teoria e tecniche dei test Teoria e tecniche dei test Lezione 9 LA STANDARDIZZAZIONE DEI TEST. IL PROCESSO DI TARATURA: IL CAMPIONAMENTO. Costruire delle norme di riferimento per un test comporta delle ipotesi di fondo che è necessario

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Rappresentazioni grafiche Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si consideri la seguente distribuzione delle industrie tessili secondo il fatturato

Dettagli

L INDAGINE STATISTICA

L INDAGINE STATISTICA SCHEDA DI LAVORO: L INDAGINE STATISTICA ALUNNO:...CLASSE... L INDAGINE STATISTICA RACCOLTA DEI DATI RAPPRESENTAZIONE DEI DATI (GRAFICI) I VALORI DI SINTESI MEDIA MODA MEDIANA GRAFICI ISTOGRAMMA AEROGRAMMA

Dettagli

Relazione di fisica ESPERIMENTO N 1

Relazione di fisica ESPERIMENTO N 1 ISTITUTO SUPERIORE "B. RUSSELL" DI ROMA Relazione di fisica ESPERIMENTO N 1 1.TITOLO Misurazione indiretta della massa di un cilindretto metallico mediante i metodi della tara di J.C. Borda e della doppia

Dettagli

DESCRITTIVE, TEST T PER IL CONFRONTO DELLE MEDIE DI CAMPIONI INDIPENDENTI.

DESCRITTIVE, TEST T PER IL CONFRONTO DELLE MEDIE DI CAMPIONI INDIPENDENTI. Corso di Laurea Specialistica in Biologia Sanitaria, Universita' di Padova C.I. di Metodi statistici per la Biologia, Informatica e Laboratorio di Informatica (Mod. B) Docente: Dr. Stefania Bortoluzzi

Dettagli

Laboratorio di Fisica

Laboratorio di Fisica Laboratorio di Fisica dott. G. Casini ARGOMENTO 1: Misura delle grandezze fisiche LDFM Laboratorio di Fisica presentazione realizzata dal prof. Antonio Covello Schema della relazione di laboratorio Strumenti

Dettagli

Programmazione con Foglio di Calcolo Cenni di Statistica Descrittiva

Programmazione con Foglio di Calcolo Cenni di Statistica Descrittiva Fondamenti di Informatica Ester Zumpano Programmazione con Foglio di Calcolo Cenni di Statistica Descrittiva Lezione 5 Statistica descrittiva La statistica descrittiva mette a disposizione il calcolo di

Dettagli

Le misure della tendenza

Le misure della tendenza Statistica descrittiva: le misure della tendenza centrale 4 ottobre 2011 Statistica sociale 1 Le misure della tendenza centrale Vediamo i passi che abbiamo fatto finora: 1) Abbiamo stabilito che cosa è

Dettagli

Distribuzioni di probabilità e principi del metodo di Montecarlo. Montecarlo

Distribuzioni di probabilità e principi del metodo di Montecarlo. Montecarlo Distribuzioni di probabilità e principi del metodo di Montecarlo Simulazione di sistemi complessi Distribuzioni di probabilità Istogrammi Generazione di numeri casuali Esempi di applicazione del metodo

Dettagli

Università degli studi della Tuscia. Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 2014/2015. Esercitazione di riepilogo Variabili casuali

Università degli studi della Tuscia. Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 2014/2015. Esercitazione di riepilogo Variabili casuali Università degli studi della Tuscia Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 014/015 Esercitazione di riepilogo Variabili casuali ESERCIZIO 1 Il peso delle compresse di un determinato medicinale si

Dettagli

Statistica4-29/09/2015

Statistica4-29/09/2015 Statistica4-29/09/2015 Raccogliere i dati con il maggior numero di cifre significative ed arrotondare eventualmente solo al momento dei calcoli (min. 3); nella grande maggioranza delle ricerche biologiche

Dettagli

Istituzioni di Statistica 1 Esercizi su tabelle di contingenza

Istituzioni di Statistica 1 Esercizi su tabelle di contingenza Istituzioni di Statistica 1 Esercizi su tabelle di contingenza Esercizio 1 Per stimare la percentuale di fumatori nella popolazione italiana adulta viene intervistato un campione di 60 donne e uno di 40

Dettagli

Casa dello Studente. Casa dello Studente

Casa dello Studente. Casa dello Studente Esercitazione - 14 aprile 2016 ESERCIZIO 1 Di seguito si riporta il giudizio (punteggio da 0 a 5) espresso da un gruppo di studenti rispetto alle diverse residenze studentesche di un Ateneo: a) Si calcolino

Dettagli

LEZIONI IN LABORATORIO Corso di MARKETING L. Baldi Università degli Studi di Milano. Strumenti statistici in Excell

LEZIONI IN LABORATORIO Corso di MARKETING L. Baldi Università degli Studi di Milano. Strumenti statistici in Excell LEZIONI IN LABORATORIO Corso di MARKETING L. Baldi Università degli Studi di Milano Strumenti statistici in Excell Pacchetto Analisi di dati Strumenti di analisi: Analisi varianza: ad un fattore Analisi

Dettagli

1/4 Capitolo 4 Statistica - Metodologie per le scienze economiche e sociali 2/ed Copyright 2008 The McGraw-Hill Companies srl

1/4 Capitolo 4 Statistica - Metodologie per le scienze economiche e sociali 2/ed Copyright 2008 The McGraw-Hill Companies srl 1/4 Capitolo 4 La variabilità di una distribuzione Intervalli di variabilità Box-plot Indici basati sullo scostamento dalla media Confronti di variabilità Standardizzazione Statistica - Metodologie per

Dettagli

1 - GRANDEZZA UNITÀ DI MISURA SISTEMA DI UNITÀ DI MISURA 2 - MISURA 3 - MISURAZIONE SISTEMA MISURATO 3.

1 - GRANDEZZA UNITÀ DI MISURA SISTEMA DI UNITÀ DI MISURA 2 - MISURA 3 - MISURAZIONE SISTEMA MISURATO 3. UdA n 1 METROLOGIA La Metrologia è la scienza che studia i principi, i metodi ed i mezzi per effettuare la misurazione delle diverse grandezze fisiche (lunghezze, superfici, volumi, angoli, energia, potenza,

Dettagli

Prof. Anna Paola Ercolani (Università di Roma) Lez Indicatori di dispersione

Prof. Anna Paola Ercolani (Università di Roma) Lez Indicatori di dispersione Consentono di descrivere la variabilità all interno della distribuzione di requenza tramite un unico valore che ne sintetizza le caratteristiche CAMPO DI VARIAZIONE DIFFERENZA INTERQUARTILE SCOSTAMENTO

Dettagli

Schema lezione 5 Intervalli di confidenza

Schema lezione 5 Intervalli di confidenza Schema lezione 5 Intervalli di confidenza Non centrerò quella barca, ne sono convinto al 95% COMPRENDERE: Significato di intervallo di confidenza Uso degli stimatori come quantità di pivot per stime intervallari

Dettagli

FENOMENI CASUALI. fenomeni casuali

FENOMENI CASUALI. fenomeni casuali PROBABILITÀ 94 FENOMENI CASUALI La probabilità si occupa di fenomeni casuali fenomeni di cui, a priori, non si sa quale esito si verificherà. Esempio Lancio di una moneta Testa o Croce? 95 DEFINIZIONI

Dettagli

Con l Europa, investiamo nel vostro futuro LICEO CLASSICO R. BONGHI (SEZIONE SCIENTIFICA ANNESSA)

Con l Europa, investiamo nel vostro futuro LICEO CLASSICO R. BONGHI (SEZIONE SCIENTIFICA ANNESSA) Unione Europea Fondo Sociale Europeo P.O.N. Competenze per lo sviluppo Ministero della Pubblica Istruzione Dipartimento per la Programmazione Direzione Generale per gli Affari Internazionali Ufficio V

Dettagli

METODO DEI MINIMI QUADRATI

METODO DEI MINIMI QUADRATI METODO DEI MINIMI QUADRATI Torniamo al problema della crescita della radice di mais in funzione del contenuto di saccarosio nel terreno di coltura. Ripetendo varie volte l esperimento con diverse quantità

Dettagli

Statistica. Lezione 4

Statistica. Lezione 4 Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 4 a.a 2011-2012 Dott.ssa Daniela

Dettagli

percorso 4 Estensione on line lezione 2 I fattori della produzione e le forme di mercato La produttività La produzione

percorso 4 Estensione on line lezione 2 I fattori della produzione e le forme di mercato La produttività La produzione Estensione on line percorso 4 I fattori della produzione e le forme di mercato lezione 2 a produzione a produttività Una volta reperiti i fattori produttivi necessari l imprenditore dovrà decidere come

Dettagli

4^C - Esercitazione recupero n 4

4^C - Esercitazione recupero n 4 4^C - Esercitazione recupero n 4 1 Un filo metallico di lunghezza l viene utilizzato per deitare il perimetro di un'aiuola rettangolare a Qual è l'aiuola di area massima che è possibile deitare? b Lo stesso

Dettagli

SCHEDA DI APPROFONDIMENTO

SCHEDA DI APPROFONDIMENTO SCHEDA DI APPROFONDIMENTO L'elaborazione dei dati continui Per quanto riguarda l'analisi di un'indagine statistica costituita da dati continui, l'elaborazione dei dati, proprio percheâ i valori appartengono

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Indici di posizione e di variabilità Prof. Livia De Giovanni lstatistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Data la seguente distribuzione unitaria del carattere X: X : 4 2 4 2 6 4

Dettagli

Statistica. Campione

Statistica. Campione 1 STATISTICA DESCRITTIVA Temi considerati 1) 2) Distribuzioni statistiche 3) Rappresentazioni grafiche 4) Misure di tendenza centrale 5) Medie ferme o basali 6) Medie lasche o di posizione 7) Dispersione

Dettagli

Il processo inferenziale consente di generalizzare, con un certo grado di sicurezza, i risultati ottenuti osservando uno o più campioni

Il processo inferenziale consente di generalizzare, con un certo grado di sicurezza, i risultati ottenuti osservando uno o più campioni La statistica inferenziale Il processo inferenziale consente di generalizzare, con un certo grado di sicurezza, i risultati ottenuti osservando uno o più campioni E necessario però anche aggiungere con

Dettagli

Esercizi di statistica descrittiva. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30

Esercizi di statistica descrittiva. Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena / 30 Esercizi di statistica descrittiva Giulia Simi (Università di Siena) Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica Siena 2015-2016 1 / 30 Esercizio 1 Nel rilevare l altezza di un gruppo di reclute,

Dettagli

INDICATORI DI TENDENZA CENTRALE

INDICATORI DI TENDENZA CENTRALE INDICATORI DI TENDENZA CENTRALE INDICATORI DI TENDENZA CENTRALE Consentono di sintetizzare un insieme di misure tramite un unico valore rappresentativo indice che riassume o descrive i dati e dipende dalla

Dettagli

Capitolo 4. Elaborazione dei dati. 4.1 Frequenza assoluta e relativa

Capitolo 4. Elaborazione dei dati. 4.1 Frequenza assoluta e relativa Capitolo 4 Elaborazione dei dati In questo capitolo si discuterà dell organizzazione da dare ai dati sperimentali, e su come si possano da essi ricavare quantità significative. A tale scopo è opportuno

Dettagli

STATISTICHE DESCRITTIVE Parte II

STATISTICHE DESCRITTIVE Parte II STATISTICHE DESCRITTIVE Parte II INDICI DI DISPERSIONE Introduzione agli Indici di Dispersione Gamma Differenza Interquartilica Varianza Deviazione Standard Coefficiente di Variazione introduzione Una

Dettagli

CAPITOLO QUINTO DISTRIBUZIONE NORMALE

CAPITOLO QUINTO DISTRIBUZIONE NORMALE CAPITOLO QUINTO DISTRIBUZIONE NORMALE 1. Probabilità nel continuo Fino ad ora abbiamo considerato casi in cui l insieme degli eventi elementari è finito. Vediamo, mediante due semplici esempi, come si

Dettagli

Statistica ARGOMENTI. Calcolo combinatorio

Statistica ARGOMENTI. Calcolo combinatorio Statistica ARGOMENTI Calcolo combinatorio Probabilità Disposizioni semplici Disposizioni con ripetizione Permutazioni semplici Permutazioni con ripetizioni Combinazioni semplici Assiomi di probabilità

Dettagli

Lettura La seconda legge di Newton. Parte prima

Lettura La seconda legge di Newton. Parte prima La seconda legge di Newton. Parte prima Le cose che devi già conoscere per svolgere l attività La natura vettoriale delle forze e delle accelerazioni. Essere in grado di sommare più vettori. Le definizioni

Dettagli

GLI EVENTI. Probabilità di un evento P(A)

GLI EVENTI. Probabilità di un evento P(A) GLI EVENTI Nel calcolo delle probabilità con la parola evento si intende ogni fatto che in seguito ad una prova può accadere oppure no. Qualche esempio: - l'apparizione di testa quando si lancia una moneta

Dettagli

Dispensa sulla funzione gaussiana

Dispensa sulla funzione gaussiana Sapienza Università di Roma Dipartimento di Scienze di Base e Applicate per l Ingegneria Sezione di Matematica Dispensa sulla funzione gaussiana Paola Loreti e Cristina Pocci A. A. 011-01 1 Introduzione:

Dettagli

Statistica Inferenziale

Statistica Inferenziale Statistica Inferenziale a) L Intervallo di Confidenza b) La distribuzione t di Student c) La differenza delle medie d) L intervallo di confidenza della differenza Prof Paolo Chiodini Dalla Popolazione

Dettagli

I 5 principi dell estimo

I 5 principi dell estimo La stima del valore di mercato Prof. Arch. ALESSIO D AURIA, PhD DIPARTIMENTO DI CONSERVAZIONE DEI BENI ARCHITETTONICI E AMBIENTALI aldauria@unina.it I 5 principi dell estimo 1. Il valore dipende dallo

Dettagli

STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 2

STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 2 Frequenze STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 2 Dott. Giuseppe Pandolfo 7 Ottobre 2013 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEI DATI Le rappresentazioni grafiche dei dati consentono di cogliere la struttura e gli aspetti caratterizzanti

Dettagli

ANALISI DI FREQUENZA

ANALISI DI FREQUENZA Giada Grosoli matr. 1391 Lezione del 19/1/ ora 8:3-1:3 ANALISI DI FREQUENZA Nello studio dell acustica è molto importante l analisi di frequenza del suono. E fondamentale infatti valutare, oltre al livello

Dettagli

Misure e incertezze di misura

Misure e incertezze di misura Misure e incertezze di misura Perché si misura 1/3 Determinare il valore (costo) di oggetti Determinare la qualità di beni Esempi: dimensione di terreni, stoffe,... quantità di grano, sementi, acqua,...

Dettagli

PENDOLO SEMPLICE: Misura dell accelerazione di gravità e studio statistico dei risultati

PENDOLO SEMPLICE: Misura dell accelerazione di gravità e studio statistico dei risultati PENDOLO SEMPLICE: Misura dell accelerazione di gravità e studio statistico dei risultati SCOPO: Misura del periodo di un pendolo di lunghezza nota con cronometri diversi Calcolo dell accelerazione di gravità

Dettagli

Esercizio 1 Questa tabella esprime i tempi di durata di 200 apparecchiature elettriche:

Esercizio 1 Questa tabella esprime i tempi di durata di 200 apparecchiature elettriche: Istituzioni di Statistica 1 Esercizi su indici di posizione e di variabilità Esercizio 1 Questa tabella esprime i tempi di durata di 200 apparecchiature elettriche: Durata (ore) Frequenza 0 100? 100 200

Dettagli

PSICOMETRIA Voto X frequenza

PSICOMETRIA Voto X frequenza 1) Data la seguente distribuzione dei voti di laurea: PSICOMETRIA 2011-4 Voto X 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 frequenza 15 17 20 19 23 25 18 14 12 9 5 media = 104,32 e s 2 = 6.56 calcolare

Dettagli

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14 Esercitazione n. 1 A. I dati riportati nella seguente tabella si riferiscono

Dettagli

Statistica. Matematica con Elementi di Statistica a.a. 2015/16

Statistica. Matematica con Elementi di Statistica a.a. 2015/16 Statistica La statistica è la scienza che organizza e analizza dati numerici per fini descrittivi o per permettere di prendere delle decisioni e fare previsioni. Statistica descrittiva: dalla mole di dati

Dettagli

LA TEORIA DEGLI ERRORI

LA TEORIA DEGLI ERRORI LA TEORIA DEGLI ERRORI Definiamo grandezza fisica l entità alla quale sia possibile associare un numero mediante un processo che chiameremo operazione di misura. L operazione di misura consiste nel confrontare

Dettagli

Questi appunti costituiscono soltanto una traccia sintetica del Corso di Laboratorio di Fisica, a prescindere dalle opportune spiegazioni e dai

Questi appunti costituiscono soltanto una traccia sintetica del Corso di Laboratorio di Fisica, a prescindere dalle opportune spiegazioni e dai Questi appunti costituiscono soltanto una traccia sintetica del Corso di Laboratorio di Fisica, a prescindere dalle opportune spiegazioni e dai necessari chiarimenti forniti a lezione. 1 MISURA DI UNA

Dettagli

Statistica descrittiva

Statistica descrittiva Statistica descrittiva Caso di 1 variabile: i dati si presentano in una tabella: Nome soggetto Alabama Dato 11.6.. Per riassumere i dati si costruisce una distribuzione delle frequenze. 1 Si determina

Dettagli

Ogni misura è composta di almeno tre dati: un numero, un'unità di misura, un'incertezza.

Ogni misura è composta di almeno tre dati: un numero, un'unità di misura, un'incertezza. Ogni misura è composta di almeno tre dati: un numero, un'unità di misura, un'incertezza. Misure ripetute forniscono dati numerici distribuiti attorno ad un valore centrale indicabile con un indice (indice

Dettagli