Capitolo 3. Errori di misura. 3.1 L'incertezza nella misura

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1 Interventi didattici integrativi Appunti di Fisica III 1 Capitolo 3 Errori di misura 3.1 L'incertezza nella misura 3.2 Le misure dirette 3.3 Serie di misure dirette 3.4 Le misure indirette 3.5 Procedimento probabilistico 3.1 L'incertezza nella misura Abbiamo già detto che misurare una grandezza fisica vuol dire confrontare la grandezza da misurare con una unità di misura prescelta e ad essa omogenea. Nell'effettuare la misura è evidente che l'unità di misura presa come campione non sempre è contenuta un numero di volte intero nella grandezza da misurare, pertanto è necessario suddividere l'unità di misura in sottomultipli. Ma anche con l'uso dei sottomultipli, la grandezza da misurare non coincide mai perfettamente con una delle suddivisioni relative al nuovo sottomultiplo. Questo discorso può essere ripetuto all'infinito, e pertanto risulta chiaro che, nonostante si prendano tutte le precauzioni possibili nello scegliere lo strumento di misura più appropriato e nell'effettuare la misura, non potremo mai ottenere una misura perfetta. Da quanto detto, non essendo possibile disporre di strumenti e metodi di misura perfetti, risulta chiaro che nel misurare una grandezza fisica si commette sempre un errore.

2 III 2 Errori di misura Le proprietà caratteristiche di uno strumento di misura sono: la sensibilità (S), che corrisponde alla più piccola misura che lo strumento di misura può apprezzare, pertanto rappresenta la minima grandezza misurabile dallo strumento; la portata (P) o massimo valore misurabile con un'unica operazione di misura; il fondo scala (F S ), numero di divisioni in cui è suddivisa la scala graduata dello strumento di misura; la prontezza rappresenta la rapidità con cui lo strumento riesce a compiere più misure successive della stessa grandezza fisica; la classe di precisione (C P ), espressa in percentuale, indispensabile per valutare il massimo errore assoluto associato ad una operazione di misura. Essa è calcolabile tramite il rapporto tra l errore massimo commesso in una operazione di misura e il valore della portata dello strumento, tutto moltiplicato per cento: C P = a P 100 (3.1) La classe di precisione si utilizza soprattutto negli strumenti tarati, come nel caso dell amperometro e del voltmetro. Ciascuno strumento ha una sua classe di precisione C P il cui valore viene indicato con una percentuale, ad esempio: 0,5% 1,0% 1,5% 2% Nota la classe di precisione C P dello strumento di misura utilizzato, è possibile calcolare il valore dell'errore assoluto massimo che è possibile commettere utilizzando quello strumento, in corrispondenza del suo fondo scala F S : P C ε P a = (3.2) 100 Esempio: Nota la classe di precisione di un voltmetro C P = 1,5% e il suo valore di fondo scala P = 200 (V), è possibile ricavare l errore assoluto dello strumento: ε a = P Cp = 200 1,5 = 3 V

3 Interventi didattici integrativi Appunti di Fisica III 3 Gli errori di misura sono classificabili in due tipi di errori: accidentali; sistematici. Gli errori accidentali sono tutti quelli dovuti ad eventi casuali. Rientrano in questa categoria gli errori dovuti a: errata collimazione della linea di mira di uno strumento ottico con il punto prefissato; errore di parallasse nella lettura di una scala graduata, dovuto all'errata posizione dell'osservatore, allorché l'indice dello strumento utilizzato non si proietta ortogonalmente al piano della sua scala, come nel caso di un voltmetro analogico; errore di traguardo, in tutti quei casi in cui occorre allineare due punti di riferimento, o un punto e una retta, per individuare una linea o un piano di mira di uno strumento ottico; variazioni di temperatura e pressione ambiente di cui l'operatore non tiene conto e che possono invalidare la taratura dello strumento di misura. In definitiva si tratta di errori commessi dall'operatore che effettua la misura e che, per la loro natura del tutto casuale, hanno valori incontrollabili sia per eccesso che per difetto. Questo tipo di errore può essere ridotto, ma non è eliminabile. Infatti possiamo ridurlo prestando maggiore attenzione nelle operazioni di misura, ripetendo più volte la misura e andando a valutare il valore più probabile tra tutte le misure effettuate. Gli errori sistematici sono errori intrinseci allo strumento e al metodo di misura utilizzato. Essi dipendono dalla sensibilità dello strumento ed hanno la caratteristica di essere sempre dello steso segno, cioè sempre per eccesso o sempre per difetto, e pertanto, se conosciuti, possono essere ridotti ma non eliminati del tutto. L operazione di misura di una grandezza fisica può essere effettuata utilizzando due possibili metodi di misura: il metodo diretto; il metodo indiretto. Il metodo diretto consiste nell effettuare un confronto diretto della grandezza fisica da misurare, con un unità di misura ad essa omogenea. Il metodo indiretto si serve di operazioni matematiche per determinare il valore della grandezza fisica, una volta che sono state misurate le grandezze da cui essa dipende.

4 III 4 Errori di misura 3.2 Le misure dirette Effettuare una misura diretta consiste nel mettere a confronto direttamente la grandezza da misurare A con l unità di misura u prescelta, e quindi nel valutare quante volte tale unità di misura entra nella grandezza da misurare. È questo il caso in cui andiamo ad effettuare una misura di lunghezza tramite un righello su cui è riportata più volte l unità di misura: il millimetro. In questo caso la misura cadrà generalmente tra due divisioni successive della scala graduata e il valore più attendibile è quello più vicino, scelto tra i due possibili valori contigui. La riga da disegno è un esempio di strumento tarato in millimetri, utilizzabile per effettuare una misura diretta di lunghezza; il calibro ventesimale è un esempio di strumento tarato in ventesimi di millimetro, utilizzabile per effettuare una misura diretta di spessore di un oggetto. Esempio: la misura di lunghezza L di un segmento, effettuata con una sola lettura tramite una riga da disegno, cade tra i due valori di 254 mm e 255 mm. In questo caso scegliamo, come più attendibile, il valore l più vicino a quello da misurare, ad esempio il valore: l = 254 mm Per definire compiutamente la misura di una grandezza fisica, oltre a definire il valore più probabile della misura, occorre specificare anche l'incertezza che accompagna la misura stessa, vale a dire l'errore commesso. Normalmente si distinguono tre tipi di errore: l errore assoluto ε a ; l errore relativo ε r ; l errore relativo percentuale ε r%. In una misura diretta, effettuata con una sola lettura dello strumento di misura, l errore assoluto εa è sempre uguale alla sensibilità S dello strumento e può essere sia in eccesso che in difetto. Pertanto, nel caso dell esempio precedente in cui lo strumento utilizzato era la riga da disegno la cui sensibilità è S = 1 mm, l errore assoluto è espresso con la seguente notazione: ε a = ± 1mm

5 Interventi didattici integrativi Appunti di Fisica III 5 A questo punto possiamo esprimere la misura L, in modo più completo, affiancando al valore misurato l il suo errore assoluto εa e specificando sempre l unità di misura u che è stata utilizzata: Quindi, nel nostro caso: L= 254±1 mm L= l±ε a u (3.3) L errore assoluto non ci dice molto sulla precisione della misura effettuata. In particolare, confrontando due misure diverse, effettuate con due strumenti differenti, non possiamo valutare a priori quale delle due sia più precisa. Per poter effettuare un confronto del genere è necessario ricorrere al calcolo dell errore relativo percentuale. L'errore relativo è l'errore commesso nell'effettuare la misura, rapportato all'unità di misura utilizzata. Esso è pari al rapporto tra l'errore assoluto ε a e il valore l della misura, ed è adimensionale, quindi è espresso tramite un numero privo di unità di misura: ε r = ε a l (3.4) Esempio: sempre nel caso dell'esempio precedente, conoscendo il valore misurato l = 254 mm e il valore dell'errore assoluto ε a = ± 1 mm, possiamo ricavare l'errore relativo: ε E a 1 mm r = = l 254 mm = 0,004 L'errore relativo percentuale è l'errore commesso rapportato a 100 volte l unità di misura utilizzata. Esso si calcola moltiplicando per 100 il valore dell'errore relativo: E r % = E r 100 (3.5) Esempio: noto l'errore relativo ε r = 0,004 segue che l'errore relativo percentuale è pari a: ε r % = ε 100 = 0, = 0,4 % r In conclusione il risultato della misura deve essere espresso specificando il valore misurato, l errore assoluto, l'unità di misura e l errore relativo percentuale: L= l ± ε a u ; ε r% (3.6) Quindi, nel caso del nostro esempio, il risultato della misura è: L= 254±1 mm ; ε r % =0,4 %

6 III 6 Errori di misura Una misura diretta può essere effettuata anche tramite l utilizzo di uno strumento tarato, intendendo con questo termine uno strumento che, sulla base di leggi fisiche note, è in grado di permetterci di leggere direttamente il valore della misura su una scala tarata. È quello che facciamo quando andiamo ad effettuare una misura di temperatura utilizzando un termometro. Esso infatti ci permette di effettuare la lettura diretta della misura della grandezza in esame su una scala graduata, tarata dal costruttore dello strumento. In questo caso la sensibilità S dello strumento è data dal rapporto tra l'ampiezza di un generico intervallo di misura Δx sulla scala graduata e il numero di divisioni n in cui tale intervallo è suddiviso: x S = (3.7) n 3.3 Serie di misure dirette Abbiamo già detto che gli errori, sia accidentali che sistematici, non possono essere eliminati completamente, e che pertanto non ha alcun senso ricercare il valore esatto di una misura, ma solo il valore più attendibile. Al fine di ridurre gli errori sistematici è conveniente utilizzare strumenti di misura migliori, più sensibili e precisi. Ma così facendo, man mano che aumenta la sensibilità dello strumento, gli errori accidentali diventano predominanti rispetto a quelli sistematici, tanto che, ripetendo più volte la stessa misura, otteniamo sempre valori leggermente diversi. Questo è il caso in cui, ad esempio, andiamo a misurare manualmente il periodo di oscillazione di un pendolo utilizzando un cronometro centesimale. Ciascuna misura sarà leggermente diversa dalle altre, per cui occorre individuare un metodo che ci permetta di valutare il valore più attendibile della misura e il suo errore assoluto. In tutti i casi in cui gli errori accidentali sono predominanti, per ridurre al minimo l errore accidentale è conveniente ripetere più volte la stessa misura. In questo modo possiamo determinare facilmente il valore più attendibile della misura. Il valore più attendibile di una serie di misure è quello che ha una maggiore probabilità di avvicinarsi al valore vero della grandezza da misurare, e si ottiene facendo la media aritmetica delle singole misure: x1 + x xn x = (3.8) n in cui x n è il valore n-esimo delle misure effettuate e n è il numero totale di misure.

7 Interventi didattici integrativi Appunti di Fisica III 7 La (3.8) può essere scritta in modo più sintetico utilizzando il simbolo di sommatoria, la lettera greca sigma: x n xi (3.9) i = 1 = n in cui x i è il valore di una generica misura effettuata e il simbolo di sommatoria si legge: somma per i che va da 1 ad n di tutte le misure x i effettuate. Esempio: misurando per cinque volte la durata dell'oscillazione di un pendolo tramite un cronometro centesimale (S = 0,01 s) si sono ottenuti i seguenti valori: x 1 = 0,91 (s) ; x 2 = 0,90 (s) ; x 3 = 0,93 (s) ; x 4 = 0.89 (s); x 5 = 0,92 (s). Il valore più attendibile della grandezza misurata è pari al valore medio tra tutti i valori ottenuti: x1 + x xn 0, , , , , 92 x = = = n 5 = 0,91 (s) Quando la misura viene ripetuta più volte, non possiamo prendere come errore assoluto la sensibilità dello strumento di misura, come nel caso di una singola misura diretta. Occorre invece procedere al calcolo della semidispersione massima. La semidispersione massima Δ x, di una misura ripetuta, indica l'intervallo entro cui oscilla la misura. Essa è definita come la semidifferenza tra il valore massimo e quello minimo misurato: x = x - max 2 x min (3.10) Esempio: nell'esempio precedente, la misura massima è x 3 = 0,93 (s) e quella minima x 4 = 0.89 (s), pertanto la semidispersione massima è: x - x x = max min 0,93 0,89 = = 0,02 (s) 2 2

8 III 8 Errori di misura Il valore dell errore assoluto ε a da prendere in considerazione è sempre il valore più grande tra la sensibilità S dello strumento e la semidispersione massima calcolata : x S ε a =max {Δ x (3.11) Nel nostro caso, essendo S = 0,01 (s) e Δ x = 0,02 (s), avremo che: ε a =0,02 s Il risultato della misura va sempre scritto specificando il valore medio, l'errore assoluto, l'unità di misura u utilizzata e, infine, l errore relativo percentuale: x = x ± a u ; r % (3.12) Pertanto, nel caso dell'esempio precedente, il risultato della misura è il seguente: t = 0,91 ± 0,02 s ; r % =2 % Nel caso in cui lo strumento di misura sia poco sensibile, l errore accidentale diventa trascurabile rispetto all errore sistematico e la misura deve essere effettuata una sola volta. Infatti ripetendo più volte la stessa misura otterremmo sempre lo stesso risultato. Non sempre è possibile effettuare la misura diretta di una grandezza fisica, ad esempio perché non si dispone di uno strumento di misura adeguato per effettuare la misura diretta. In questi casi si ricorre al metodo indiretto. Il metodo indiretto (o misura indiretta) utilizza un operazione matematica per ottenere la misura della grandezza fisica incognita. Nel prossimo paragrafo vedremo come procedere.

9 Interventi didattici integrativi Appunti di Fisica III Le misure indirette Fin qui abbiamo studiato i metodi di valutazione dell'errore nelle misure dirette, cioè in quei casi in cui la grandezza in esame può essere misurata direttamente. Il metodo indiretto, o la misura indiretta di una grandezza fisica, si applica quando la misura effettiva della grandezza in esame viene determinata tramite la misura di altre grandezze ad essa collegate. Questo metodo si utilizza quando non si dispone di uno strumento di misura adeguato per effettuare una misura diretta. Pertanto, si è costretti ad utilizzare un operazione matematica per ottenere la misura della grandezza fisica incognita. Esempio: volendo misurare l area della superficie di un rettangolo dobbiamo prima misurare separatamente la base b e l altezza h con il metodo diretto, quindi occorre calcolare l area con il metodo indiretto, utilizzano la formula matematica per il calcolo delle aree: A = b h. Si distinguono due casi: misura di una grandezza fisica derivata da operazioni di somma e di differenza di più misure; misura di una grandezza fisica derivata dal prodotto e dal rapporto di più misure. Nel caso di misure di grandezze fisiche derivate da somma o differenza, l'errore assoluto sulla grandezza derivata è pari alla somma degli errori assoluti commessi nella misura delle singole grandezze. ε a Tot =ε a A ε a B... ε a N (3.13) Esempio: se un rettangolo ha base b = (2,56 ± 0,01) (m) e altezza h = (1, 25 ± 0,01) (m), il suo semiperimetro vale: P = ( 2,56 + 1,25 ) ± ( 0,01+0,01 ) = (3,81 ± 0,02) (m) 2 Nel caso della misura di una grandezza fisica derivata dal prodotto, dal rapporto o da elevamento a potenza di più misure, l'errore relativo della grandezza derivata è pari alla somma degli errori relativi commessi sulle singole grandezze misurate: ε r Tot =ε r A ε r B... ε r N (3.14) In questo caso, una volta calcolato l'errore relativo totale, per calcolare l'errore assoluto basta moltiplicare l'errore relativo così calcolato per il valore medio V m della misura indiretta: ε a Tot =ε r Tot V m (3.15)

10 III 10 Errori di misura Esempio: vogliamo calcolare l'area A del precedente rettangolo, di base b = (2,56 ± 0,01) (m) e altezza h = (1, 25 ± 0,01) (m). La sua area vale: A = b h = 2,56 1,25 = 3,20 (m 2 ) con un errore relativo: E r = E rb + E rh = 0, 01 2, , 01 1, 25 = 0, ,008 = 0,012 e un E r% = 1,2 % Quindi ricaviamo l'errore assoluto: E a = E r A = 0,012 3,20 = 0,04 (m2 ) Pertanto la misura dell'area del rettangolo è la seguente: A = (3,20 ± 0,04) ( m 2 ) con un E r % = 1,2 %. 3.5 Procedimento probabilistico Per una valutazione più accurata della bontà della misura effettuata, conviene ricorrere ad un metodo di valutazione degli errori che si basa sull'analisi probabilistica dei valori misurati. Riprendiamo l'esempio della misura del tempo impiegato da un pendolo per effettuare un'oscillazione completa. Disponendo solo di un cronometro manuale e volendo eseguire una misura sufficientemente accurata, abbiamo già accennato al fatto che non ci possiamo accontentare di una sola misura, bensì sarà opportuno ripetere la misura più volte. Però ogni volta che andiamo ad effettuare una nuova misura, per effetto degli inevitabili errori accidentali e sistematici, otteniamo dei valori che possono essere leggermente diversi da quelli precedenti. Allora, in casi come questo, per valutare se le misure effettuate sono più o meno attendibili e per il calcolo della stima migliore della misura, si ricorre ad alcune nozioni fondamentali del calcolo delle probabilità. Innanzitutto riportiamo in una tabella tutti i valori misurati, ponendo nella prima colonna i tempi espressi in secondi e nella seconda colonna la frequenza, cioè quante volte la stessa misura si è ripetuta.

11 Interventi didattici integrativi Appunti di Fisica III 11 Misura t (s) Frequenza f Quindi riportiamo i valori delle misure sull'asse delle ascisse di un istogramma, o grafico a barre, mentre sull'asse delle ordinate riportiamo i valori della frequenza con cui ciascuna misura si è ripetuta; vedi figura 3.1. Così facendo otteniamo un grafico in cui l'altezza delle barre, o colonne, è proporzionale alla frequenza con cui è stato misurato ciascun valore. Figura 3.1 Istogramma delle frequenze. Osservando il diagramma possiamo notare come i picchi delle barre si dispongano a formare una particolare curva a campana. In questo caso possiamo dire che i dati misurati si dispongono su una curva normale di distribuzione o curva di Gauss. Per analizzare i dati raccolti è conveniente calcolare i valori delle misure di tendenza centrale e la misura della dispersione. Le misure di tendenza centrale sono: la moda; la mediana; la media. La moda corrisponde alla misura il cui valore è apparso più di frequente (nell esempio di Fig. 3.1 è 0,91 s).

12 III 12 Errori di misura La mediana si trova ordinando le misure in senso crescente, o decrescente, e andando a leggere la misura che si trova al centro della serie così ordinata (nell esempio di Fig. 3.1 è ancora 0,91 s). La media rappresenta il valore più attendibile della misura ed è pari alla media aritmetica delle misure ottenute: x= x 1 x 2 x n n (3.16) Per la valutazione dell'errore commesso nelle operazioni di misura, il metodo probabilistico utilizza un nuovo sistema per il calcolo della dispersione delle misure, e quindi dell'errore assoluto. Anziché utilizzare la semidispersione massima tra le misure ottenute, si utilizza lo scarto quadratico medio, detto anche deviazione standard, errore quadratico medio o più semplicemente dispersione. Lo scarto quadratico medio σ (leggi sigma) si ricava tramite la seguente formula: = x 1 x 2 x 2 x 2 x n x 2 (3.17) n 1 oppure, più sinteticamente, tenendo anche conto delle frequenze f i con cui si ripetono le varie misure: = n f i x i x 2 (3.18) i=1 n 1 Pertanto il valore della misura si scrive nel modo seguente: x= x ± u (3.19) intendendo affermare con tale notazione che il valore della misura cercato si trova nell'intorno di x con un'incertezza pari a σ. Possiamo anche scrivere: x σ valore cercato x σ In senso probabilistico possiamo dire che la probabilità che uno dei valori misurati x i cada entro l'intervallo x±σ in modo tale che risulti x σ x i x σ è del 68%.

13 Interventi didattici integrativi Appunti di Fisica III 13 Raddoppiando o triplicando l'ampiezza dell'intervallo considerato aumenta anche la probabilità che il valore misurato cada all'interno dell'intervallo. Infatti la probabilità che una qualsiasi misura cada nell'intervallo nell'intervallo x ± 2 σ è pari al 95%, mentre la probabilità che cada x ± 3 σ è pari al 99.7%. Dal confronto di più curve di distribuzione relative alla stessa grandezza fisica da misurare è facile desumere quale serie di misure è più attendibile rispetto alle altre. Infatti una curva che presenta dei valori meno dispersi rispetto ad un'altra, quindi più addensati intorno al valore medio, denota una maggiore attendibilità dei dati, in quanto il valore medio calcolato è meno lontano dai valori effettivamente misurati. In conclusione un basso valore della deviazione standard denota che la serie di misure effettuate è buona e che il valore medio calcolato si avvicina di più al valore reale della misura. Esempio: vogliamo calcolare la deviazione standard relativa alla serie di misure effettuate per il calcolo del periodo di oscillazione del pendolo. Conviene allora raggruppare i calcoli in due tabelle: N x i x x i x 2 f i x i x 2 1 0,03 0,0009 0, ,02 0,0004 0, ,01 0,0001 0, ,01 0,0001 0, ,02 0,0004 0, ,03 0,0009 0,0009 Quindi effettuiamo la somma, la divisione per n-1 e la radice quadrata: f f i x i x 2 f i x i x 2 i x i x 2 n 1 n 1 0,005 0,0002 0,01 Il valore ottenuto è la deviazione standard delle misure effettuate. Pertanto il valore più attendibile della misura è: T = 0,91±0,01 s