BIN = 15 um l [um] Minimum um. Data_31misure_ l [um] Maximum Points 102, , um 1.3 um

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3 Data_31misure_ BIN = 15 um Minimum 80 Maximum Sum ,7 Points Mean Median , , um RMS Std Deviation Variance Std Error 102,7225 7, , , um 1.3 um Skewness -0, Kurtosis 2,

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5 Data_20misure_ BIN = 1.2 um Minimum Maximum Sum Points Mean 96 99, , , BIN = 1.0 um Data_20misure_ Minimum Maximum Sum Points 96 99, ,3 20 Median RMS 97, , Mean Median RMS Std Deviation 97, , , , Std Deviation Variance Std Error Skewness Kurtosis 0, , , , , Variance Std Error Skewness Kurtosis 0, , , ,

6 BIN = 5 um BIN = 10 um BIN = 12 um BIN = 14 um BIN = 14,5 um BIN = 15 um BIN = 15,2 um BIN = 15,5 um

7 BIN = 15 um Minimum 80 Maximum 120 Sum 4938 Points Mean Median , ( ± 0,89) mm RMS Std Deviation 103, , Variance Std Error Skewness Kurtosis 38, , , , (0,89 ± 0.09) mm σ 2(N 1)

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9 Data_20misure_ripetute_ BIN = 1.4 um Minimum Maximum Sum Points Mean Median RMS Std Deviation Variance Std Error Skewness Kurtosis ,2 2056, , ,1 102, , , , , ,

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11 L istogramma è una rappresentazione grafica di una distribuzione di frequenza di una certa grandezza, ossia di quante volte in un insieme di dati si ripete lo stesso valore. Esistono diversi tipi di istogrammi: quelli più comuni in Fisica sono gli istogrammi a barre e gli istogrammi a intervalli. In un sistema di assi cartesiani si riporta sull asse delle ascisse il valore ( discreto o continuo ) della grandezza in esame ( bin ) e in ordinata la frequenza con cui si presenta questo valore. Numero degli eventi L istogramma dei voti riportati ad un esame può essere descritto tranquillamente da un istogramma a barre, così come il nome degli studenti presenti in un aula è un altro esempio di istogramma a barre. Votazione in trentesimi 11

12 Per un campione di N misure ripetute, non è idoneo un istogramma a barre a causa dell errore di misura. Quando diciamo che una distanza fra due punti, misurata con un doppio decimetro con scala millimetrata, è, per esempio, 6.0 mm intendiamo dire che la distanza è compresa fra 5.5 e 6.5 mm e pertanto conviene fare un istogramma a intervalli. Sull asse delle ordinate si riporta generalmente la frequenza (n) o la frazione (n/n) mentre l ascissa si suddivide in intervalli (BIN) ovvero in una serie di segmenti, ciascuna di lunghezza pari ad almeno il doppio dell errore di sensibilità e si disegna una curva a gradini. Caso monodimensionale Caso bidimensionale 12

13 ESTIMATORI da un campione di misure Il valore di s 2 è un indice della dispersione dei valori intorno alla media. In particolare il valore di s = (s 2 ) 1/2 (radice dello scarto quadratico medio ) può essere collegato alla precisione di uno strumento. Fra due strumenti quello più preciso è quello che ha un valore di s più piccolo. Alla grandezza s viene dato pertanto anche il nome di errore di precisione. Aumentare il numero di misure nel campione (purché restino costanti la grandezza fisica che si vuole misurare, le condizioni ambientali di misura e sia sempre lo stesso lo sperimentatore e... ) fa sì che la media del campione approssimi sempre meglio la media della popolazione : infatti, al limite di infinite misure, campione e popolazione coincideranno. 13

14 Supponiamo ora di avere un primo campione di n misure, di cui determiniamo una media aritmetica e uno scarto quadratico medio. Se prendiamo un altro campione di n misure, avremo in generale una nuova media aritmetica e un nuovo s. Possiamo fare la distribuzione delle medie, che avrà una tipica distribuzione a campana, ovvero normale o di Gauss, centrata sulla media delle medie ed una varianza data da σ² / n, dove n è la numerosità del campione. La grandezza σ/ n viene chiamata deviazione standard della media ( standard error ) e costituisce l incertezza con cui conosciamo la migliore stima del valore vero. Ecco perché, nei casi in cui si manifestano fluttuazioni statistiche che rendano possibile la stima di una media x e di s, il risultato finale della misura viene dato come: x ± s/ n All aumentare di n, σ²/n tende a zero perché la media delle medie tende a coincidere con la media della popolazione. Per questo motivo la deviazione standard della media può diventare più piccola dell errore di sensibilità. Invece, all aumentare di n la stima di σ, ossia s, non tende a zero ma si riduce l incertezza con cui determiniamo s. Si può dimostrare che [s(s / n)] = (s / n) / (2(n-1)) e questo giustifica la regola di scrivere l errore statistico non con una cifra significativa, bensì con due cifre significative. 14

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