Elaborazione dei dati sperimentali. Problemi di Fisica

Transcript

1 Problemi di Fisica Elaborazione dei dati sperimentali

2 Nella seguente tabella riportiamo alcune regole per esprimere ualunue numero mediante una potenza di 0: = = 45, , = 0,3 0 0,65 = 0, La base 0 viene elevata ad una potenza positiva pari al numero dei salti che compie la virgola verso sinistra 0, = 0-7,43 = 43, ,3 = 574,3 0-0,00034 = La base 0 viene elevata ad una potenza negativa pari al numero dei salti che compie la virgola verso destra Le misure di due grandezze fisiche x e y fra loro dipendenti sono espresse dai seguenti valori numerici: x y 4,5 8,5 8 4,5 3 Qual è la relazione matematica tra x e y? y = x y = 0,5x y = 0,5x y = x La relazione matematica che lega la variabile dipendente y alla variabile indipendente x sarà uella per cui sostituendo al posto della x i valori indicati in tabella si ottengono i rispettivi valori delle y: x y 4,5 8,5 8 4,5 3 y = x y = 0,5x 0,5 4,5 8,5 8 4,5 3 y = 0,5x 0,5,5,5 3 3,5 4 y = x Dalla tabella si ricava immediatamente che la relazione matematica cercata è: y = 0,5x dove la variabile y è direttamente proporzionale al uadrato della variabile x.

3 Le misure di due grandezze fisiche x e y fra loro dipendenti sono espresse dai seguenti valori numerici: x y,4 5,6,6, ,4 68,6 89,6 Qual è la relazione matematica tra x e y? y =,4x y =,4x y = x +,6 y = 4x + 0,6 La relazione matematica che lega la variabile dipendente y alla variabile indipendente x sarà uella per cui sostituendo al posto della x i valori indicati in tabella si ottengono i rispettivi valori delle y: x y,4 5,6,6, ,4 68,6 89,6 y =,4x,4,8 4, 5,6 7 8,4 9,8, y =,4x,4 5,6,6, ,4 68,6 89,6 y = x +,6 3,6 5,6 7,6 9,6,6 3,6 5,6 7,6 y = 4x + 0,6 4,6 8,6,6 6,6 0,6 4,6 8,6 3,6 Dalla tabella si ricava immediatamente che la relazione matematica cercata è: y =,4 x dove la variabile y è direttamente proporzionale al uadrato della variabile x. Le misure di due grandezze fisiche x e y fra loro dipendenti sono espresse dai seguenti valori numerici: x y,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Qual è la relazione matematica tra x e y? y =,4x y =,x y = x + 0, y = x /, La relazione matematica che lega la variabile dipendente y alla variabile indipendente x sarà uella per cui sostituendo al posto della x i valori indicati in tabella si ottengono i rispettivi valori delle y:

4 x y,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y =,4x,4 4,8 7, 9,6,0 4,4 6,8, y =,x,,4 3,6 4,8 6,0 7, 8,4 9,6 y = x + 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y = x /, 0,83,7,5 3,3 4, 5 5,8 6,7 Dalla tabella si ricava immediatamente che la relazione matematica cercata è: y = x + 0, dove la variabile y è direttamente proporzionale in maniera lineare alla variabile x. Le misure di due grandezze fisiche x e y fra loro dipendenti sono espresse dai seguenti valori numerici: x y ,5 8 5 Qual è la relazione matematica tra x e y? y = 90 / x y = 0x y = 0x + 5 y = 90 / x La relazione matematica che lega la variabile dipendente y alla variabile indipendente x sarà uella per cui sostituendo al posto della x i valori indicati in tabella si ottengono i rispettivi valori delle y: x y ,5 8 5 y = 90 / x 90,5 0 5,6 3,6,5 y = 0x y = 0x y = 90 / x ,5 8 5 Dalla tabella si ricava immediatamente che la relazione matematica cercata è: y = 90 / x dove la variabile y è inversamente proporzionale in maniera lineare alla variabile x.

5 REGOLE SULLE CIFRE SIGNIFICATIVE Definizione: le cifre significative sono uelle cifre note con certezza più la prima cifra incerta. Esempio: se effettuiamo una misura di tempo ed otteniamo il valore di 4,6 s, significa che abbiamo adoperato uno strumento che apprezza fino ai decimi di secondo, per cui l incertezza sulla misura è dell ordine dei decimi. Pertanto la misura ha tre cifre significative, di cui le prime due sono uelle certe e la terza è uella incerta.. Il numero di cifre significative si determina contando la cifra incerta e tutte uelle alla sua sinistra fino all ultima cifra diversa da zero.. Gli zeri iniziali a sinistra non devono essere contati come cifre significative: 0,03 ha una sola cifra significativa; 0,0043 ha due cifre significative 3. Gli zeri finali a destra vanno contati come cifre significative: 0,0030 ha due cifre significative; 0,00430 ha tre cifre significative 4. Quando calcoliamo il valore di una grandezza a partire da altre grandezze note con una data incertezza, il grado di precisione del risultato non può essere superiore al minimo grado di precisione delle grandezze note: 5. X = x + x =,866 +,8 = 4,686 m = 4,69 m 6. L ultima cifra significativa si aumenta di uno se la cifra successiva è un numero 5; altrimenti rimane invariata. 7. L errore va indicato con una o al massimo due cifre significative. 8. Una misura non può avere cifre di posto superiore all ultima cifra dell errore: x = (8,4 ± 0,0) mm Giusto x = (8,43 ± 0,0) mm Sbagliato Quale delle seguenti misure è la più precisa: x = (345 ± ) m x = (3,4 ± 0,) x 3 = (3, ± 0,8) Per stabilire la misura più precisa bisogna calcolare l errore relativo percentuale per ciascuna di esse: Δ % = x x E R 00

6 0, 0, 8 E R % = 00 = 0, 9% E R % = 00 =, 9% E R 3 % = 00 =, 49% 345 3, 4 3, Pertanto la misura più precisa è la prima in uanto ad essa corrisponde l errore relativo percentuale più basso. Ricavare la sensibilità dei seguenti righelli: Righello A: Da 0 a 0 cm ci sono 5 divisioni. divisione = cm ( 5 = 0 cm) La sensibilità è la più piccola variazione della grandezza fisica che lo strumento è in grado di misurare, ossia corrisponde ad divisione: SENSIBILITA = divisione = cm Righello B: Da 0 a 0 cm ci sono 4 divisioni. divisione = 5 cm (5 4 = 0 cm) La sensibilità è la più piccola variazione della grandezza fisica che lo strumento è in grado di misurare, ossia corrisponde ad divisione: SENSIBILITA = divisione = 5 cm Righello C: Da 0 a 5 cm ci sono 0 divisioni. divisione = 0,5 cm (0,5 0 = 5 cm) La sensibilità è la più piccola variazione della grandezza fisica che lo strumento è in grado di misurare, ossia corrisponde a divisione: SENSIBILITA = divisione = 0,5 cm Scrivere il risultato della misura diretta indicata dallo strumento in figura: Lo strumento è un amperometro e misura l intensità di corrente. Le caratteristiche strumentali sono:

7 PORTATA: 8 A SENSIBILITA : 0,4 A L intensità di corrente misurata dallo strumento è pari a: I = 4,8 A in uanto divisione = 0,4 A Scegliendo la sensibilità come l errore assoluto commesso nell esecuzione nella misura, il risultato della misura diretta è: I = (4,8 ± 0,4) A Data la serie di misure in millimetri: 4,5 4,0 4,0 4,0 4,30 4,0 4,5 4,05 4,5 calcolare il valore medio calcolare l errore massimo scrivere la misura con le giuste cifre significative Per definizione il valore medio è dato da: xi 4,5 + 4,0 + 4,0 + 4,0 + 4,30 + 4,0 + 4,5 + 4,05 + 4,5 x = = = 4,8 mm N 9 Per definizione l errore massimo o semidispersione è dato da: ε x x 4,30 4,05 max min a = = = 0,5cm Regola - L errore assoluto va scritto con una o al massimo due cifre significative e la misura non può avere cifre decimali superiori a uelle dell errore assoluto. Se scegliamo di scrivere l errore assoluto con una cifra significativa, la misura verrà indicata come: x = x ± εa = (4, ± 0,) mm

8 In figura sono riportate due bilance per la misurazione della massa, la prima analogica e la seconda digitale. Dopo averle esaminate: individua uale delle due bilance è più sensibile scrivi la misura rilevata da ciascuna bilancia individua la misura più precisa Prima risposta Bilancia analogica SENSIBILITA = divisione = 0 g Bilancia digitale SENSIBILITA = errore assoluto = 5 g Conclusione: la bilancia digitale è più sensibile Seconda risposta Bilancia analogica m = (740 ± 0) g Bilancia digitale m = (35 ± 5) g Terza risposta: Per stabilire la misura più precisa bisogna calcolare l errore relativo percentuale per ciascuna di esse: 0 5 E R % = 00 =,7% E R % = 00 =, % Pertanto la misura più precisa è uella della bilancia digitale in uanto ad essa corrisponde l errore relativo percentuale più basso. Le dimensioni a, b, c di un parallelepipedo vengono misurate con un errore relativo percentuale del 9% e la sua massa m con un errore del 5%. I valori misurati sono: a = 0,4 m b = 0, m c = 0,8 m m = 4 kg Calcolare la densità del parallelepipedo e la sua incertezza. Definizione di densità m σ = V

9 Il volume del parallelepipedo è dato da: V = a b c = 0,4 0, 0,8 = 0,04 m 3 e l errore relativo percentuale su di esso è: E RV% = E Ra% + E Rb% + E Rc% = 9 % + 9% + 9% = 7% La densità sarà: 4 σ = = 000kg / m 0, 04 3 e l errore relativo percentuale su di essa: E Rσ % = E Rm% + E RV% = 5 % + 7% = 4% L incertezza sulla densità verrà calcolata come formula inversa dell errore relativo percentuale: E Δσ E Rσ % σ % = 00 Δσ = = 40m σ R σ = 3 In definitiva la densità verrà scritta come: σ = ( 000 ± 40) m 3 La pressione esercitata su un tavolo rettangolare, le cui dimensioni sono a = (3,4 ± 0,5) m e b = (5,36 ± 0,) m, da una forza F = (4,3 ± 0,3)N, è data da: Qual è la misura di p? p = F/S Innanzitutto determiniamo il valore della pressione p: p = 4,3/8,3 =,33 N/m dove: S = a b = 3,4 5,36 = 8,3 m L errore relativo su S è dato da: ΔS Δa Δb = + = S a b 0,5 3,4 + 0, = 0, 5,36 L errore relativo su p è:

10 Δp ΔF ΔS = + = p F S 0,3 4,3 + 0, = 0, Pertanto l errore assoluto su p sarà: Δ p = p 0, =,33 0, = 0,6N / m In definitiva la misura p assume la seguente scrittura: p = (,33 ± 0,6) N/m Una sfera rotola lungo un piano inclinato, la cui lunghezza è di,780 m. Il tempo impiegato viene misurato con un cronometro, e la misura viene ripetuta volte, ottenendo i seguenti valori: Tempo (s) 0,7 0,67 0,7 0,7 0,68 0,73 0,67 0,75 0,70 0,67 0,74 Calcolare la velocità media. dove: Definizione di velocità media S = (, 780 ± 0, 0005)m S V = t Sul tempo, invece, abbiamo effettuato più misure, per cui dobbiamo determinare il valor medio e la sua incertezza. Per comodità di calcolo costruiamo la seguente tabella: x i x i x ( x i x) 0,7 0,0 0,000 0,67-0,03 0,0009 0,7 0,0 0,0004 0,7 0,0 0,000 0,68-0,0 0,0004 0,73 0,03 0,0009 0,67-0,03 0,0009 0,75 0,05 0,005 0, ,67-0,03 0,0009 0,74 0,04 0,006 x i x = = 0,70s x i x = n ( ) 0, 0087

11 Quindi: ( x i x) 0, 0087 σ = = = 0, 08s n Pertanto la misura tempo verrà scritta come: t = ( 0, 70 ± 0, 08)s Adesso possiamo calcolare la velocità: e la sua incertezza:, 78 V = =, 54m / s 0, 70 In definitiva scriveremo: S ΔS Δt 0, , 08 Δ V = + =, 54 + = 0, 0m / s t S t, 78 0, 70 V = (, 54 ± 0, 0)m / s Supponiamo di aver misurato la massa di un blocco di legno con una bilancia di precisione (sensibilità S = 0,0 g) e di aver ottenuto le seguenti misure in grammi: MISURE 0,55 0,67 0,46 0,48 0,74 0,7 0,53 0,95 0,76 0,84 0,98 0,95 0,49 0,8 0,6 0,75 0,59 0,63 0,77 0,66 0,74 0,56 0,73 0,78 0,86 0,5 0,69 0,60 0,70 0,88 0,6 0,73 0,64 0,68 0,7 0,66 0,7 0,65 0,57 0,60 a) Ricavare la distribuzione delle misure b) Calcolare il valor medio e la deviazione standard a) Suddividiamo i dati in classi di freuenza, cioè definire degli intervalli di ampiezza determinata e contare uante misure cadono al loro interno, per meglio valutare la loro distribuzione.

12 CLASSE AMPIEZZA 0,40 0,49 0,50 0,59 0,60 0,69 0,70 0,79 0,80 0,89 0,90 0,99 FREQUENZA Riportiamo le varie classi di misure e loro freuenze su un istogramma. L istogramma, come si può notare, tende ad assumere la caratteristica forma a campana, cioè rappresenta un approssimazione della curva di Gauss. Tale approssimazione è tanto migliore uanto maggiore è il numero delle misure effettuate. Si dimostra che tutte le distribuzioni casuali di valori, come sono le misura sperimentali, all aumentare del numero di valori tendono ad assumere la forma della curva di Gauss. Sempre dall analisi dell istogramma, si nota che la maggior parte delle misure si addensa intorno al valor medio. b) Costruiamo la tabella relativa all elaborazione dei dati sperimentali: X i f i f i X i ( X i x) ( X x i ) f i (Xi x) 0,45 3 3,35-0,45 0,0588 0,764 0, ,30-0,45 0,003 0,84 0,65 7,80 0,045 0,008 0,068 0,75 9,00 0,0575 0,0033 0, , ,40 0,575 0,048 0,099 0,95 3 3,85 0,575 0,0663 0,989 5 N = f i = 40 i= 5 i= f i X i = 47,70 5 i= f i (Xi x) = 0,65775 (Il programma di calcolo riporta tutte le cifre decimali)

13 dove: X = valore centrale della classe di freuenza f = freuenza x = valor medio La media delle misure ed il relativo errore (deviazione standard) si calcolano come: x = 6 i= f i N X i = = 0,70g 40 σ = 6 i= f i (X N i x) = 0,65775 = 0,0g 40 Pertanto, il risultato della misura è: x = x ± σ = (0,70 ± 0,0)g Misurando il volume V e la corrispondente massa M di alcuni pezzi di ferro si sono ottenuti i seguenti risultati: DATI SPERIMENTALI V (cm 3 ) M (g) 7,8 5,4 3,7 3, 39,0 48,0 5,5 63, Determinare attraverso la retta dei minimi uadrati la dipendenza funzionale di M da V: M = f(v) Una uantità che tiene conto del grado di correlazione tra M e V è il cosiddetto coefficiente di Pearson, che calcoliamo attraverso l utilizzo del foglio elettronico: r = n x i yi x i yi [ n x i ( x i ) ] [ n yi ( yi ) ] = 0,999 Poiché il valore di r è molto prossimo ad uno, significa che tra M e V vi è una correlazione di tipo lineare. Utilizzando sempre il foglio elettronico EXCEL, o altri, ricaviamo la retta che meglio approssima i dati sperimentali (retta dei minimi uadrati):

14 37,3 k = = 7,7 4,4 In definitiva ciò che abbiamo trovato, tè la definizione di densità: ρ = M V M = ρ V che nel caso del ferro assume proprio il valore di 7,8 g/cm 3.