Laboratorio di Fisica I - A.A. 2017/2018. Relazione dell esperienza N. 3

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1 Laboratorio di Fisica I - A.A. 2017/2018 Relazione dell esperienza N. 3 Titolo Misura del periodo di oscillazione e della costante elastica della molla di un oscillatore armonico semplice Gruppo 9 Faddetta Antonino, Fardella Valerio, Mistretta Arnav, Ruisi Vito, Stagno Gaetano. Scopo Come si può evincere dal titolo, lo scopo di tale esperienza è stato misurare il periodo di oscillazione di un sistema massa-molla e di determinare la costante elastica della molla elicoidale. L esperienza è stata divisa in due parti. Scopo Parte I Nella prima parte dell esperienza ci siamo concentrati alla misurazione del periodo di oscillazione dell oscillatore con la corrispondente indeterminazione. Materiale: pesi cilindrici una molla elicoidale ( avente massa 2,0 g) un cronometro digitale (avente risoluzione r=0.01 s) gancetto ( di massa 20,0 g per fissare i pesi alla molla) Nota bene: Per una corretta analisi dei dati, il peso del gancetto è stato considerato come parte integrante della massa analizzata (ad esempio abbiamo misurato il periodo di oscillazione di 60,0 g, ovvero 40,0 g di peso cilindrico e 20,0 g del gancetto). In seguito, ogni qualvolta è indicata una massa è già stata considerata quella del gancetto.

2 Procedimento In questa prima parte è stato chiesto di misurare il tempo corrispondete a 10 oscillazioni ad ogni componente del gruppo e di ripetere l operazione almeno 20 volte. Una volta effettuate le misurazioni, con i dati raccolti da ogni singolo componente sono stati effettuati degli istogrammi, con i quali abbiamo ricavato il valore medio del periodo di oscillazione e la deviazione standard. Inoltre, li abbiamo calcolati direttamente dai dati e messo a confronto i risultati ottenuti dai due metodi, sia da questi che dagli istogrammi. Infine, con l intero set di dati raccolti da ogni singolo componente abbiamo costruito un istogramma generale che abbiamo confrontato con i singoli istogrammi e in questo modo abbiamo ricavato il periodo di oscillazione del sistema massa-molla e la sua indeterminazione come il prodotto dell errore strumentale del cronometro digitale e l errore statistico, ovvero la deviazione standard della media. Nel dettaglio Qui sotto vi è riportata la tabella 1 con tutte le misure effettuate in laboratorio con il sistema massa-molla una massa da 60,0g ( 40,0g del peso cilindrico + 20,g del gancetto). TABELLA 1 Arnav Vito Valerio Toni 0,703 0,710 0,710 0,713 0,706 0,707 0,706 0,709 0,710 0,716 0,700 0,710 0,710 0,709 0,716 0,697 0,697 0,718 0,713 0,697 0,706 0,704 0,706 0,715 0,706 0,709 0,712 0,706 0,712 0,709 0,703 0,715 0,719 0,710 0,707 0,703 0,713 0,719 0,703 0,703 0,713 0,710 0,709 0,709 0,703 0,715 0,703 0,709 0,715 0,710 0,700 0,697 0,706 0,712 0,704 0,700 0,709 0,703 0,697 0,703

3 0,710 0,709 0,697 0,706 0,700 0,719 0,700 0,700 0,709 0,707 0,706 0,709 0,706 0,707 0,703 0,710 0,694 0,713 0,697 0,712 I dati sono espressi in secondi (s) Nota bene: nella tabella 1 vengono riportati i periodi di una singola oscillazione. I valori raccolti indicavano il periodo di 10 oscillazioni e sono stati successivamente divisi per 10 proprio per prenderne in esame solo una. Tramite questi valori abbiamo eseguito prima gli istogrammi di ciascun membro del gruppo e dopo uno con l intero set di dati. Istogrammi

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6 Istogramma1 Istogramma2 Istogramma3 Istogramma4 IstogrammaTot Δf1 0,05 0,15 0,05 0,15 0,0125 Δf2 0,05 0,10 0,05 0,15 0,1000 Δf3 0,15 0,15 0,05 0,20 0,0750 Δf4 0,20 0,10 0,10 0,05 0,1250 Δf5 0,20 0,20 0,25 0,15 0,0250 Δf6 0,05 0,10 0,10 0,05 0,1250 Δf7 0,05 0,05 0,15 0,05 0,0500 Δf8 0,05 0,05 0,05 0,05 0,1375 Δf9 0,05 0,10 0,10 0,05 0,1250 Δf10 0,05-0,05 0,05 0,0500 Δf11 0,10-0,05 0,05 0,0500 Δf ,0500 Δf ,0250 Δf ,0125 Δf ,0375 Frequenza totale Confrontando i singoli istogrammi con quello generale, quest ultimo assume una forma più simmetrica grazie a ingenti misure rispetto ai precedenti. E di fatto, statisticamente parlando, maggiori sono le misurazioni, più l istogramma tenderà ad assumere la forma di una curva continua definita curva o campana di Gauss. La deviazione standard, talora sia riportata la curva di Gauss come in questo caso, è uguale all incirca a metà della larghezza della curva da mezza altezza. Tuttavia in presenza di poche misurazioni, come nei singoli istogrammi, la distribuzione è meno uniforme, di conseguenza abbiamo calcolato la media e la deviazione standard con le seguenti formule: Media

7 Deviazione standard Dove per N si intende il numero di dati Qui sotto nella tabella 2 vengono riportate le medie dei periodi misurati di una sola oscillazione e la deviazione standard. TABELLA 2 Media (s) Deviazione standard (s) Arnav 0,706 0,0058 Toni 0,701 0,0037 Valerio 0,704 0,0053 Vito 0,710 0,0044 Media totale 0,705 0,0048 Per ricavare il periodo di oscillazione, abbiamo calcolato T best facendo la media di un oscillazione delle nostre misure e l indeterminazione δ T come il prodotto dell errore statistico e l errore strumentale cronometro digitale. L errore strumentale che corrisponde a 0.01 s è stato diviso per 10 poiché l esperienza ci chiede di analizzare il periodo di un oscillazione e la deviazione standard della media, o SDOM, σ x medio è stato calcolato con la seguente formula: Deviazione standard della media

8 Errore strumentale per una oscillazione Dunque l errore δ T corrisponde a Con ciò possiamo stimare che il tempo di un oscillazione per il campione di 60,0g equivale a T=(0,705 ± 0,002) s

9 Parte II Scopo Nella seconda parte abbiamo ricavato il valore della costante elastica della molla elicoidale di un oscillatore armonico semplice tramite un grafico log-log della frequenza angolare in funzione della massa e applicando la procedura di linearizzazione. Materiale: pesi cilindrici vari una molla elicoidale ( avente massa 2,0 g) un cronometro digitale (avente risoluzione r=0.01 s) gancetto ( di massa 20,0 g per fissare i pesi alla molla) Nota bene: Per una corretta analisi dei dati, il peso del gancetto è stato considerato come parte integrante della massa analizzata (ad esempio abbiamo misurato il periodo di oscillazione di 60,0 g, ovvero 40,0 g di peso cilindrico e 20,0 g del gancetto). In seguito, ogni qualvolta è indicata una massa è già stata considerata quella del gancetto. Procedimento A differenza della prima parte, ogni componente del gruppo ha effettuato le operazioni di misura del periodo di oscillazione con 5 massi diverse. Le masse che sono state usate sono: 40,0g, 50,0 g, 70,0 g, 85,0 g e 100,0 g. Una volta effettuate le misurazioni, abbiamo calcolato il valore medio di una oscillazione e la Deviazione Standard della media come avevamo precedentemente fatto per il campione di 60,0 g. Di seguito è riportata la Tabella 3, composta dalle masse con i rispettivi T best, Deviazione Standard, Deviazione Standard della media e δ T.

10 Tabella 3 Masse(g) T best (s) Dev. Standard (s) Dev. Standard della Media (s) δ T (s) 40,0 0,580 0,005 0,001 0,002 50,0 0,645 0,005 0,001 0,002 70,0 0,762 0,005 0,001 0,002 85,0 0,836 0,005 0,001 0, ,0 0,907 0,007 0,001 0,002 Dallo studio di un oscillatore armonico semplice, sappiamo che vale tale relazione: (1) ω è la pulsazione dell oscillatore, che misura la rapidità con cui vengono effettuate le oscillazioni di un corpo di massa m che oscilla sotto l effetto della forza della molla di costante elastica k. Inoltre sappiamo che ω equivale alla frequenza angolare che è data dalla seguente relazione: (2) e, unendo le due espressioni, otteniamo che in cui T è il periodo di oscillazione che abbiamo misurato.

11 Le precedenti relazioni ci mostrano come la massa e il periodo siano profondamente collegati. Nonostante non abbiamo ottenuto una funzione lineare come una retta del tipo y=mx+q, possiamo linearizzarla tramite i due metodi precedentemente citati: il grafico log-log e la procedura di linearizzazione tramite sostituzione di variabile. Grafico log-log La (1) possiamo riscriverla come E renderla lineare sostituendo y= log ω, x= log m e il termine noto q= log k. In questo modo otteniamo una relazione lineare del tipo (3) Nella Tabella 4 sono riportate le masse con le rispettive frequenze angolari ω best con gli errori assoluti associati δ ω Tabella 4 Masse (g) δm (g) ω best ( rad/s) δ ω ( rad/s) 40,0 0,2 10,835 0,002 50,0 0,2 9,733 0,002 70,0 0,2 8,244 0,002 85,0 0,3 7,513 0, ,0 0,3 6,924 0,002 Come possiamo notare dalla relazione (3) nel grafico la nostra intercetta è pari a k. E ricaviamo k con il relativo errore mediante il metodo delle rette di massima e minima pendenza.

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13 Dall analisi grafica ricaviamo i valori k max e k min : k max : 4776,23 g/s 2 k min : 4736,26 g/s 2 δ k = ( k max - k min) / 2 = 19,98 g/s 2 k best = ( k max +k min ) / 2 = 4756,24 g/s 2 k=(476± 2)x10 g/s 2 Nota bene, i valori ottenuti sono di k, non di radice di k Linearizzazione Dalla relazione (3), se sostituiamo otteniamo la seguente relazione lineare: k è il coefficiente angolare di tale espressione e possiamo ricavarlo tramite il metodo delle rette divergenti dal momento che la molla a riposo ha una massa di m=(2,0 ±0,1)g. La retta, che meglio esprime la relazione tra m e z, dunque sarà in cui m 0 è la massa effettiva della molla data da m 0 =M. Tuttavia, poiché m << 3M, per esattezza m 0 =0,7g, la massa della molla m è trascurabile rispetto alla massa M del corpo. Nella Tabella 5 sono riportati i valori delle masse e di Z con i rispettivi errori.

14 Tabella 5 Masse (g) Z best ( s 2 ) δ Z ( s 2 ) 40,0 0,015 0,002 50,0 0,021 0,002 70,0 0,01 0,002 85,0 0,018 0, ,0 0,01 0,002 Graficamente ricaviamo:k max = 5619,26 g/s 2 k min =4147,28 g/s 2 δk = (k max k min )/2 = 735,99 g/s 2 k best = (k max + k min )/2 =4883,27 g/s 2 k= (49 ± 7) * 10 2 g/s 2 Nota bene, i valori ottenuti sono di k, non di radice di k

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16 Commento Confrontiamo i valori di k ottenuti mediante i due metodi attraverso gli errori relativi: per il grafico log-log ε k % = 0,4% per il metodo della linearizzazione ε k %=14,3% In conclusione, possiamo stabilire in base agli errori relativi che il grafico log-log è più accurato rispetto al metodo della linearizzazione.