LABORATORIO DI FISICA Ⅰ ESPERIENZA N 3 13 DICEMBRE 2018

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1 LABORATORIO DI FISICA Ⅰ ESPERIENZA N 3 13 DICEMBRE 018 Gruppo N 5: Salvatore Mantia, Rosario Lo Varco, Antonio Lo Varco, Silvia Tomasi, Alfredo Scelsa, Gianluca Pusateri, Alessandro Sanseverino. MISURA DEL PERIODO DI OSCILLAZIONE E DELLA COSTANTE ELASTICA DELLA MOLLA DI UN OSCILLATORE ARMONICO SEMPLICE

2 Indice 1.Introduzione all esperienza. Strumenti utilizzati.1 Cronometro digitale. Molla elicoidale.3 Pesetti 3. Analisi procedurale 3.1 Parte I 3. Parte II

3 1.INTRODUZIONE ALL ESPERIENZA L obiettivo di questa esperienza di laboratorio di fisica 1 è stato quello di misurare il periodo di oscillazione di un oscillatore armonico semplice e di determinare la costante elastica della molla elicoidale. Per la schematizzazione dei dati abbiamo usato il foglio di calcolo Microsoft Office Excel oltre alla classica strumentazione cartacea; per l analisi della costruzione grafica è stato usato il programma di rendimento grafico SciDAVis, consigliatoci dal nostro professore di Laboratorio di Fisica I Agliolo Gallitto Aurelio.. STRUMENTI UTILIZZATI.1 CRONOMETRO DIGITALE - Il cronometro è uno strumento digitale con un errore strumentale δ x = 0.01 [s].. MOLLA ELICOIDALE - La molla è un corpo capace di allungarsi se gli viene applicata una determinata forza e in seguito tornare alla propria forma naturale..3 PESETTI - Sono stati utilizzati pesi di massa differente (da 5 a 0g). 3. ANALISI PROCEDURALE Parte I Procediamo agganciando una combinazione di pesi dalla massa complessiva di 50g alla molla fissata su un supporto verticale. Ognuno dei 7 componenti del gruppo misura, servendosi del cronometro digitale, il tempo corrispondente a dieci oscillazioni e ripete l operazione per n = 0 volte, ottenendo così un totale di N = 140 misurazioni.

4 Riportiamo i dati ottenuti da ciascun operatore in un istogramma e ne calcoliamo graficamente il valore medio e la deviazione standard confrontandoli poi con i rispettivi valori calcolati analiticamente. Gli istogrammi sono stati costruiti attraverso il programma SciDAVis con la stessa scala e la stessa dimensione per rendere possibile il confronto diretto. Per scegliere la stessa scala abbiamo considerato i valori massimo e minimo tra tutti i set di dati e diviso la differenza tra questi due valori per il numero di intervalli, posto arbitrariamente a 5 per ottenere una lunghezza degli intervalli di dispersione multiplo di 5: Val. Max Val. Min Intervallo di dispersione = = = 0.05 secondi Numero di intervalli 5 Per il calcolo grafico del valore medio prendiamo il valore che sull istogramma lascia a destra e sinistra il 50% delle misure. Per il calcolo grafico della deviazione standard tracciamo una retta orizzontale a metà del valore più frequente, l intervallo intercettato corrisponde a due volte l errore di precisione. Per i calcoli analitici utilizzeremo le seguenti formule applicate sui dati inseriti nel foglio di calcolo Excel: per il valore medio: x = 1 n n i=1 0 x i = 1 0 dove a n abbiamo sostituito il numero di ripetizioni; per il calcolo analitico della deviazione standard utilizziamo invece la formula: i=1 σ x = n i=1 (x i x ) (n 1) x i

5 Set 1) Graficamente Valore medio: 6,65 s Deviazione standard: 6,70 6,55 = 0,075 s 0.08 s Analiticamente Valore medio: 6.64 s Deviazione standard: 0.05 s

6 Set ) Graficamente Valore medio: 6,65 s Deviazione standard: 6,70 6,65 = 0,05 s 0.03 s Analiticamente Valore medio: 6.64 s Deviazione standard: 0.05 s

7 Set 3) Graficamente Valore medio: 6,65 s Deviazione standard: 6,70 6,60 = 0,05 s Analiticamente Valore medio: 6.64 s Deviazione standard: 0.04 s

8 Set 4) Graficamente Valore medio: 6,60 s Deviazione standard: 6,60 6,50 = 0,05 s Analiticamente Valore medio: 6.57 s Deviazione standard: 0.05 s

9 Set 5) Graficamente Valore medio: 6,65 s Deviazione standard: 6,65 6,60 = 0,05 s 0.03 s Analiticamente Valore medio: 6.63 s Deviazione standard: 0.04 s

10 Set 6) Graficamente Valore medio: 6,60 s Deviazione standard: 6,60 6,55 = 0,05 s 0.03s Analiticamente Valore medio: 6.58 s Deviazione standard: 0.04 s

11 Set 7) Graficamente Valore medio: 6,65 s Deviazione standard: 6,70 6,55 = 0,075 s 0.08 s Analiticamente Valore medio: 6.6 s Deviazione standard: 0.05 s Confrontando i risultati ottenuti analiticamente con quelli estrapolati graficamente, verifichiamo che sono consistenti. Possiamo osservare che scegliendo un numero maggiore di intervalli di dispersione i risultati ottenuti graficamente sarebbero stati più vicini a quelli determinati analiticamente.

12 Osservando l istogramma dei dati complessivi, osserviamo che il valore medio ottenuto graficamente di 6,65 s combacia con il valore medio delle misurazioni di 5 operatori su 7. La deviazione standard calcolata graficamente ha un valore di 6,70 6,55 = 0,075 s 0.08 s come su 7 valori di deviazione standard calcolata sugli istogrammi degli operatori. In ogni caso gli intervalli di dispersione in cui ricadono più misure negli istogrammi relativi a ciascun operatore sono 3, [6.55; 6.60[, [6.60; 6.65[, [6.65; 6.70[ e sono gli stessi tre intervalli che nell istogramma dei dati complessivi contengono più del 50% delle misure totali. Analiticamente per tutti i valori complessivi il valore medio risulta 6.6 s, mentre la deviazione standard è 0.05 s in linea con i risultati determinati sui diversi set. Riportiamo i risultati dell analisi dei singoli istogrammi fatta in precedenza: Valore medio T 10 Deviazione standard σ T10 1 Set-Alessandro 6,635 0,050 Set-Alfredo 6,64 0,049 3 Set-Antonio 6,64 0,040 4 Set-Gianluca 6,574 0,045 5 Set-Rosario 6,66 0,036 6 Set-Salvatore 6,580 0,04 7 Set-Silvia 6,616 0,051

13 Inseriamo di seguito la tabella con i set di misurazioni effettuate da ciascun operatore: 1 - Alessandro - Alfredo 3 - Antonio 4 - Gianluca 5 - Rosario 6 - Salvatore 7 - Silvia 1 6,59 6,63 6,66 6,6 6,56 6,66 6,59 6,66 6,66 6,66 6,6 6,6 6,53 6,50 3 6,66 6,63 6,69 6,53 6,63 6,56 6,57 4 6,60 6,57 6,60 6,57 6,60 6,57 6,53 5 6,69 6,57 6,60 6,53 6,69 6,59 6,56 6 6,6 6,57 6,65 6,50 6,60 6,60 6,66 7 6,59 6,6 6,60 6,59 6,69 6,56 6,59 8 6,59 6,69 6,66 6,56 6,63 6,66 6,6 9 6,65 6,66 6,60 6,6 6,63 6,63 6, ,63 6,66 6,60 6,69 6,63 6,60 6, ,57 6,7 6,54 6,59 6,59 6,59 6,6 1 6,66 6,66 6,66 6,54 6,63 6,50 6,6 13 6,59 6,57 6,65 6,50 6,69 6,56 6, ,54 6,66 6,63 6,60 6,65 6,56 6, ,68 6,66 6,70 6,56 6,6 6,53 6, ,65 6,75 6,66 6,56 6,60 6,59 6,6 17 6,66 6,66 6,66 6,56 6,66 6,53 6, ,63 6,65 6,66 6,59 6,59 6,59 6, ,75 6,65 6,69 6,59 6,6 6,6 6,66 0 6,69 6,60 6,66 6,56 6,59 6,56 6,66 Consideriamo il periodo di oscillazione T del sistema massa-molla il valore medio T10 di tutte le misurazioni effettuate diviso 10: questo valore andrà approssimato secondo il suo l errore assoluto δt. Iniziamo determinando l errore assoluto delle 10 oscillazioni δt10 secondo la formula: δ T10 = deviazione standard della media + errore strumentale = σ T 10 N L errore introdotto dalla deviazione standard della media non può essere inferiore all errore strumentale, dato che nel calcolo complessivo dei 140 valori la deviazione standard della media è pari a 0,004 s, essa risulta minore dell errore strumentale, per tanto la considereremo uguale all errore strumentale: δ T10 = = 0.0 s Avremo per le dieci oscillazioni un periodo T 10 = (6,6 ± 0.0) s L errore assoluto δ T = δ T10 = δ T T10 1 = 0.00 s T Di conseguenza il valore del periodo di una singola oscillazione è: T = T ± δ T = (0.66 ± 0.00) s

14 Parte II Procediamo agganciando 5 masse differenti e ripetiamo le operazioni di 0 misure del periodo di 10 oscillazioni per ognuna delle 5 masse. E calcoliamo il valore medio e la deviazione standard della media di ogni serie di misurazioni utilizzando le stesse formule della parte I. Valore medio: Deviazione standard della media: x = 1 n n i=1 0 x i = 1 0 i=1 x i δ x = n i=1 (x i x ) n(n 1) Riportiamo misurazioni e risultati nella seguente tabella; Set 0 g (Antonio) Set 40 g (Rosario) Set 60 g (Antonio) Set 80 g (Rosario) Set 100 g (Rosario) 3,78 5,94 7,18 8,46 9, 3,78 5,94 7,8 8,44 9,38 3,69 5,94 7,15 8,8 9,8 3,60 6,03 7, 8,41 9, 3,71 6,03 7,16 8,8 9,5 3,60 6,06 7,15 8,40 9,31 3,80 5,97 7,15 8,35 9,5 3,75 5,94 7,16 8,41 9,5 3,7 6,00 7,14 8,41 9,8 3,6 5,94 7,0 8,38 9, 3,75 5,94 7,15 8,31 9,8 3,78 6,00 7,0 8,35 9,5 3,80 6,00 7, 8,41 9,5 3,65 5,97 7,5 8,8 9,34 3,80 5,94 7,15 8,35 9,8 3,6 6,60 7,0 8,34 9,5 3,6 5,97 7,19 8,8 9,8 3,71 5,97 7,0 8,34 9,38 3,60 5,88 7,16 8,38 9,31 T 10 3,63 6,10 7,18 8,34 9,8 T 10 Medio 3,70 6,01 7,18 8,36 9,8 Dev. ST. σ T10 0,08 0,15 0,04 0,06 0,05 Dev. ST. Media 0,0 0,03 0,01 0,01 0,01

15 Err. Ass. δ T10 0,03 0,04 0,0 0,0 0,0 Infine riportiamo i valori riferiti alle singole oscillazioni in cui abbiamo aggiunto anche i risultati delle misurazioni della parte I: n T best [s] Errore assoluto δt [s] m [g] 1 0,370 0, ,601 0, ,66 0, ,7185 0, ,836 0, ,98 0, Calcoliamo I valori della frequenza angolare come segue; ω = π T best Dove Tbest è il valore medio del periodo riferito ad una singola oscillazione. I risultati sono: m [g] ω [1/s] δ ω [1/s] ,98 0, ,46 0, ,49 0, ,75 0, ,5 0, ,77 0,015 L errore assoluto di omega è stato calcolato seguendo le regole di propagazione degli errori come di seguito; δ ω = ε ω ω = ε 1 ω = ε T ω = δ T ω T best T best Utilizzando il programma SciDAVis tracciamo il grafico in scala log-log della frequenza angolare in funzione della massa, e con il metodo della massima e minima pendenza verifichiamo che la loro relazione funzionale sia r = 1 = 0.5 come nella formula ω = k m Troviamo i valori delle pendenze delle rette di massima e di minima pendenza, da cui ricavare il valore best di r best e l errore δ r ad esso associato con il seguente procedimento:

16 r best = r max + r min { δ r = r max r min x Scegliamo quindi due punti appartenenti a ciascuna retta di coordinate (x 1; y 1 ) e (x ; y ) e si calcola il rapporto r = ln y y y = 1 x ln x x 1 Tracciando le due rette, abbiamo escluso il primo punto perché si trova di molto fuori dalla retta che congiunge gli altri punti. Il punto e le misure relative al primo set di misurazioni(0g) verranno escluse per tutta la seguente trattazione in quanto appare evidente che siano stati introdotti errori in fase di misurazione del periodo in laboratorio.

17 Pertanto, con l ausilio del programma SciDAVis determiniamo i punti P 1 (19; 14.6) e P (105; 6.7) per il calcolo del coefficiente angolare della retta di massima pendenza. Per la retta di minima pendenza determiniamo invece i punti Q 1 (19; 15.4) ed il punto Q (105; 6.6). I valori che si ottengono dall analisi grafica sono; r max = log 6.7 log 14.6 log 105 log 19 = [ 1 g s ] r { min = Sostituendo i valori trovati possiamo calcolare: { log 6.6 log 15.4 log 105 log 19 = [ 1 g s ] r best = δ k = = [ 1 g s ] = 0.0 [ 1 g s ] Essendo r = ( 0.48 ± 0.0) [ 1 ] abbiamo verificato che il valore della relazione funzionale g s tra frequenza angolare e massa che abbiamo calcolato e quello che ci aspettavamo sono consistenti.

18 Per determinare il valore di K tracciamo le rette di massima e minima intercetta assumendo che la pendenza sia -0.5 operazione giustificata dal risultato precedente. Sapendo che il valore della frequenza angolare ω letto per m=100 equivale a ω = k 10, otteniamo k = 100ω Per la retta di massima intercetta k max = 100ω = 4761 [ g s ] Per la retta di minima intercetta k min = 100ω = 45 [ g s ] Per determinare la migliore stima del valore di k usiamo la semisomma dei due valori, e gli associamo un incertezza definita dalla semidispersione: k = k max + k min δ k = k max k min Per cui: k = (4500 ± 300) [ g s ] = = = 4493 [ g s ] = [ g s ]

19 Adesso, applicando la procedura di linearizzazione e utilizzando SciDAVis tracciamo il grafico lineare da cui ricaviamo alternativamente il valore della costante elastica k e la sua indeterminazione per poi confrontare i risultati con il metodo appena utilizzato. Procedura di linearizzazione: ω = k m ω = k m 4π T = k m k = m z Dove abbiamo posto z = T 4π. Calcoliamo anche l errore assoluto δz come segue: δ z = ε z z = ε T z = δ T T z Ottenendo i seguenti dati in tabella: n m[g] Coefficiente z[s ] Errore assoluto δz[s ] 1 0 0, , , , , , , , , , ,0180 0,00010

20 Il coefficiente di proporzionalità rappresenta la costante k. Graficamente il valore di k corrisponde alla pendenza della retta di best fit, che determiniamo con il metodo delle rette di massima e minima pendenza utilizzato in precedenza sul grafico in scala log-log ma seguendo il procedimento lineare: k best = k max + k min { δ k = k max k min Prendiamo due punti appartenenti a ciascuna retta di coordinate (x 1 ;y 1 ) e (x ; y ) e si calcola il rapporto k = y x = y y 1 x x 1 Determiniamo con l ausilio di SciDAVis i punti P 1 (0; -5) e P (0.05; 117) per la retta di massima pendenza ed i punti Q 1 (0;0) e Q (0.05; 113) per la retta di minima pendenza.

21 I valori che otteniamo sono; k max = 117 ( 5) = 4880 [ g s ] { k min = = 450 [ g s ] Calcolando semisomma e semidispersione otteniamo: k best = = 4700 [ g { s ] δ k = = [ g s ] Il risultato è: k = (4700 ± 00) [ g s ] Confrontando il risultato appena ottenuto con quello ottenuto attraverso la scala log-log: k = (4500 ± 300) [ g s ] verifichiamo che i due valori sono consistenti tra loro. Gli errori assoluti dei due valori sono anch essi dello stesso ordine di grandezza, benché la loro differenza in percentuale è maggiore.