MISURA DEL PERIODO DI OSCILLAZIONE E DELLA COSTANTE ELASTICA DELLA MOLLA DI UN OSCILLATORE ARMONICO SEMPLICE PRIMA PARTE

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1 Esperienza n.3 MISURA DEL PERIODO DI OSCILLAZIONE E DELLA COSTANTE ELASTICA DELLA MOLLA DI UN OSCILLATORE ARMONICO SEMPLICE PRIMA PARTE Gruppo 4: Vittoria Ciraulo, Carlotta Miceli, Federico Billeci, Anna Marretta, Andrea Lombardo. Lo scopo dell esperienza consiste nel misurare il periodo di oscillazione di un sistema massa-molla e la corrispondente indeterminazione. Tale sistema assume il comportamento di un oscillatore armonico semplice. Materiali a disposizione -Molla -Campione di massa (50g) -Cronometro digitale (con risoluzione r = 0,01 s) Procedimento In questa esperienza avremo a che fare con misurazioni che riporteranno errori casuali non trascurabili, di conseguenza li tratteremo attraverso analisi statistica dopo aver reiterato le misurazioni un numero necessario di volte da noi prestabilito. Utilizzando il sistema massa-molla fornito, ogni componente del gruppo ha eseguito la misurazione 20 volte (vedi appendice). Utilizzando i risultati ottenuti dai 5 componenti abbiamo costruito 5 istogrammi diversi ed infine un istogramma con il set totale di dati. Tramite le formule abbiamo calcolato la media e la deviazione standard per ogni set di misura (tab.1). Abbiamo determinato infine il valore T(best) come T(medio) del set totale di misure e calcolato la sua indeterminazione come la somma dell errore strumentale del cronometro digitale e della deviazione standard della media. Istogrammi Nella gif sono stati inseriti gli istogrammi che si sovrappongono uno alla volta (nell ordine della Tab.1), per un osservazione più accurata guardare l appendice, dove sono stati inseriti singolarmente nello stesso ordine.

2 Osservando gli istogrammi dei singoli set e l istogramma costruito con i dati complessivi, vediamo che quest ultimo assume una forma un po più simmetrica e definita rispetto ai precedenti. Questo comportamento è dovuto al fatto che l istogramma complessivo contiene molte più misure dei cinque precedenti, e infatti come sappiamo dallo studio dell analisi statistica, più misurazioni vengono effettuate, più l istogramma si avvicinerà a una curva continua, ovvero tenderà ad assomigliare sempre più alla distribuzione limite (descrivendo una campana di Gauss). Il significato geometrico della media in un istogramma, qualora la distribuzione assuma forma a campana, è il centro della campana. La deviazione standard invece, sempre riferita a una distribuzione a campana, corrisponde geometricamente a mezza larghezza del grafico a metà altezza. Queste caratteristiche geometriche non sono tuttavia immediate da riscontrare in distribuzioni meno uniformi come quelle dei set di misure dei singoli componenti. Ci limitiamo perciò al calcolo numerico e a verificare, dove possibile che i nostri valori numerici corrispondano con una certa approssimazione alle qualità geometriche sopra descritte. Calcoliamo dai dati la media e la deviazione standard di ogni set utilizzando le seguenti formule: Media Deviazione standard x = Σxi / N σx = (1/N-1) Σ (xi - x) 2 Media [s] Deviazione standard [s] Set 1 0,6195 0,0035 Set 2 0,6192 0,0043 Set 3 0,6195 0,0033 Set 4 0,6190 0,0043 Set 5 0,6198 0,0039 Set totale 0,6194 0,0038 tab.1 Per ottenere T utilizziamo le misure del set totale di dati e i valori da esso ottenuti. Calcoliamo la deviazione standard della media (o errore quadratico medio della media) mediante la formula: σ x medio = σ x / N quindi σ x medio = 0,00038 s e assumiamo tale valore come errore casuale. Sommiamo quindi l errore casuale appena calcolato all errore strumentale del cronometro digitale per ottenere l indeterminazione su T: δ x = σ x medio + δ STRUM quindi δ x = 0,0104 s in conclusione T = 0,619 ± 0,010 s

3 APPENDICE istogramma set 1 istogramma set 2

4 istogramma set 3 istogramma set 4

5 istogramma set 5 istogramma set totale

6 DATI SPERIMENTALI Riportiamo i periodi delle oscillazioni del sistema massa-molla misurati durante l attività in laboratorio Set 1 Set 2 Set 3 Set 4 Set 5 0,612 0,613 0,613 0,612 0,613 0,613 0,613 0,616 0,613 0,613 0,615 0,615 0,616 0,613 0,613 0,616 0,616 0,616 0,613 0,615 0,618 0,616 0,618 0,615 0,615 0,618 0,616 0,618 0,616 0,616 0,619 0,616 0,618 0,618 0,616 0,619 0,616 0,618 0,618 0,618 0,619 0,618 0,618 0,619 0,618 0,619 0,618 0,618 0,619 0,619 0,619 0,618 0,619 0,619 0,619 0,621 0,619 0,619 0,619 0,621 0,622 0,619 0,619 0,621 0,622 0,622 0,623 0,622 0,622 0,622 0,622 0,624 0,622 0,622 0,622 0,622 0,624 0,622 0,622 0,622 0,622 0,625 0,622 0,625 0,622 0,622 0,625 0,625 0,625 0,622 0,625 0,625 0,625 0,625 0,625 0,625 0,625 0,625 0,625 0,625 Le misure sono espresse in secondi [s].

7 Esperienza n.3 MISURA DEL PERIODO DI OSCILLAZIONE E DELLA COSTANTE ELASTICA DELLA MOLLA DI UN OSCILLATORE ARMONICO SEMPLICE SECONDA PARTE Gruppo 4: Vittoria Ciraulo, Carlotta Miceli, Federico Billeci, Anna Marretta, Andrea Lombardo. Lo scopo di questa seconda parte dell esperienza è quello di misurare la costante elastica della molla di un oscillatore armonico semplice. Materiali: -Molla -Diversi campioni di massa -Cronometro digitale (con risoluzione r = 0,01 s) Procedimento Conoscendo l equazione differenziale del moto armonico semplice, ovvero [d 2 x(t)]/dt 2 + k/m x(t) = 0, possiamo ricavare la relazione funzionale che lega la pulsazione angolare e la massa, che ci permette di trovare la costante elastica graficamente attraverso due procedimenti distinti che confronteremo. Sapendo che la pulsazione angolare è data da ω = 2π/T abbiamo misurato in laboratorio il periodo di oscillazione del nostro sistema massa-molla utilizzando diversi campioni di massa. Abbiamo ripetuto 20 misurazioni del periodo (vedi appendice) per ogni campione e misurato T come T = Tmedio + δt, dove δt = δt strum + σtmedio (vedi Tab.1) (appunto sulla distribuzione degli errori casuali e sull errore casuale), e ricaviamo quindi la pulsazione (vedi Tab.2). Massa [g] Periodi [s] Dev. Standard [s] Dev. Standard della media [s] Tab.1 Err. Periodi [s] 40 0,554 0,003 0,001 0, ,619 0,004 0,001 0, ,678 0,003 0,001 0, ,730 0,004 0,001 0, ,777 0,003 0,001 0,011 Tab.2 Massa [g] Err. Massa [g] Pulsazione [s -1 ] Err. Pulsazione [s -1 ] 40,0 0,9 11,34 0,07 50,0 1,1 10,15 0,07 60,0 1,3 9,27 0,07 70,0 1,5 8,61 0,07 80,0 1,7 8,09 0,07 Se la relazione ω = (k/m) la esprimiamo come ω = k m -1/2, risulta evidente che è una funzione del tipo y = Ax n. La rappresentazione in scala log log di una funzione di questo tipo restituisce una retta con coefficiente angolare n (nel nostro caso -1/2) e intercetta A (nel nostro caso k). Ricaviamo quindi k con relativo errore tramite il metodo della retta massima e minima intercetta.

8 Inseriamo nel grafico 1 i dati della tabella 2: Grafico 1 Dall analisi grafica ricaviamo kmax e kmin: kmax = 5227,29 [g/s 2 ] kmin = 5066,59 δk = (kmax kmin)/2 = 80,35 [g/s 2 ] kbest = (kmax + kmin)/2 = 5146,94 [g/s 2 ] => k = (515 ± 8) x 10 [g/s 2 ] Un altro metodo per ricavare graficamente k è la linearizzazione. Riferendoci nuovamente alla relazione 2π/T = (k/m) => (2π/T) 2 = k/m => m = k (T/2π) 2, ponendo (T/2π) 2 = z => m = kz. Ricavandoci i valori di z e i rispettivi errori dai valori di T, riportiamo nel grafico i valori della tabella 3. Nella relazione m = kx, k corrisponde al coefficiente angolare. Operativamente abbiamo ricavato k con il metodo delle rette divergenti, questo perché la molla ha una massa a riposo(m = 2,0 g ±0,1) e quindi la retta che esprime al meglio la relazione tra m e z è m = kz m0, dove m0 è la massa effettiva della molla data da m0 = M/3. La presenza della massa della molla però ai fini dei calcoli è ininfluente perché m0 = 0,7 g, che rispetto alle masse utilizzate è una grandezza trascurabile. Tab.3 Z [s 2 ] Err. Z [s 2 ] 1 0,0078 0, ,0097 0, ,0116 0, ,0135 0, ,0153 0,0004

9 Inseriamo nel grafico 2 i valori delle Masse sull asse delle ordinate e i valori di Z sull asse delle ascisse (con relativi errori). Graficamente ricaviamo: k I max = 5877,19 [g/s 2 ] k I min = 4807,02 [g/s 2 ] δk I = (k I max k I min)/2 = 535,08 [g/s 2 ] k l best= (k I max + k I min)/2 = 5342,1 [g/s 2 ] k I = 53 +_ 5 x 10 2 [g/s 2 ] Per confrontare il valore di K ottenuto attraverso i due metodi, calcoliamo gli errori relativi: εk% = 2% ε I k% = 9% Dagli errori relativi risulta che il valore di K ricavato dal grafico in scala log-log è più accurato rispetto a quello ottenuto con la linearizzazione.

10 APPENDICE DATI SPERIMENTALI Inseriamo in tabella le misure fatte in laboratorio rispetto ai differenti campioni di massa. SET 1 SET 2 SET 3 SET 4 SET 5 0,55 0,613 0,675 0,725 0,771 0,55 0,613 0,675 0,725 0,772 0,55 0,615 0,675 0,725 0,775 0,553 0,616 0,675 0,725 0,775 0,553 0,616 0,675 0,725 0,775 0,553 0,616 0,675 0,726 0,775 0,553 0,616 0,675 0,728 0,775 0,553 0,616 0,675 0,728 0,775 0,553 0,618 0,676 0,728 0,775 0,553 0,618 0,678 0,728 0,775 0,553 0,618 0,678 0,729 0,778 0,553 0,619 0,678 0,731 0,778 0,554 0,619 0,678 0,731 0,778 0,556 0,623 0,679 0,731 0,778 0,556 0,624 0,679 0,732 0,779 0,556 0,624 0,681 0,734 0,779 0,557 0,625 0,682 0,735 0,78 0,557 0,625 0,682 0,735 0,781 0,558 0,625 0,682 0,735 0,781 0,559 0,625 0,684 0,735 0,781 Tulle le misure sono espresse in secondi [s].