Gruppo 13 ~INDICE~ Di Benedetto Enrico, Franzella Elia, Guttilla Mattia, Nicoletti Gabriele, Tumbiolo Emanuele

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1 RELAZIONE LABORATORIO ESPERIENZA III ~MISURA DEL PERIODO DI OSCILLAZIONE E DELLA COSTANTE ELASTICA DELLA MOLLA DI UN OSCILLATORE ARMONICO SEMPLICE~ ANNO ACCADEMICO Gruppo 13 Di Benedetto Enrico, Franzella Elia, Guttilla Mattia, Nicoletti Gabriele, Tumbiolo Emanuele ~INDICE~ 1. Introduzione e finalità 2. Strumentazione 3. Acquisizione dei dati 4. Analisi grafica Appendice Bibliografia

2 1. Introduzione e finalità La seguente esperienza si è svolta nell ambito del corso di Laboratorio di Fisica I del CdL in Scienze Fisiche dell Università degli Studi di Palermo. Essa ha avuto luogo il giorno 17 dicembre 2018 nei laboratori dell Istituto di Fisica in via Archirafi 36. Si tratta della terza ed ultima esperienza programmata per il primo modulo della suddetta materia, allo scopo di acquisire familiarità con l ambiente di laboratorio, con le relative procedure operative di misurazione diretta ed indiretta delle grandezze fisiche, con la stima delle relative indeterminazioni ed in particolare, in quest ultimo caso, con la prassi da seguire nel caso di fenomeni affetti da errori casuali non trascurabili. Compito tecnico dell esperienza è stata la misura del periodo T di oscillazione di un sistema massa-molla e la stima della costante elastica κ della molla metallica elicoidale che lo costituiva, tenendo conto della relazione teorica ω= k m (1.1) dove ω è una grandezza, detta frequenza angolare, legata al periodo T tramite l identità ω= 2 π T Come anticipato, l acquisizione di dati attendibili, e quindi la stima del periodo di un oscillatore armonico, è resa problematica, innanzitutto, da errori casuali non trascurabili, introdotti in primo luogo dai limiti fisici dei tempi di reazione degli operatori. Proprio per questo, nel corso dell esperienza si è seguito un approccio statistico. 2. Strumentazione Gli strumenti a disposizione sono stati: (1.2) Oscillatore armonico : L oscillatore utilizzato era costituito da un semplice sistema massa-molla, posto all estremità di un supporto in metallo. Le sei masse note impiegate, comprese tra 40 e 90 g e con indeterminazione trascurabile, sono state agganciate e lasciate oscillare perpendicolarmente al piano di appoggio. Cronometro digitale : Per la misura dei tempi si è impiegato un cronometro digitale, capace di rilevare fino al centesimo di secondo, che introduce, pertanto, un errore di lettura di un digit, pari cioè ad un unità sull ultima cifra significativa (LSD): δ lett =0,01 s (2.1) Ai fini dell esperienza, l errore di precisione è stato considerato trascurabile, per cui l errore strumentale totale δ strum è equivalente al solo errore di lettura.

3 3. Acquisizione dei dati Nella prima fase dell esperienza, preso come campione la massa di 40 g, si è misurato, per praticità, il tempo corrispondente a 10 oscillazioni complete della molla, ripetendo l operazione in modo da ottenere un totale di 100 misure del tempo equamente distribuite tra gli operatori presenti. Le misure così ottenute, dapprima divise per operatore, poi considerate nella loro totalità, sono state raccolte negli istogrammi in Figura (3.1). FIGURA 3.1: Istogrammi delle misure. In rosso la retta di mezza altezza

4 Come parte dell esperienza, si sono ricavati i valori della media e della deviazione standard dapprima direttamente dai dati e poi dall analisi grafica degli istogrammi. Per determinare il parametro di larghezza degli istogrammi si è considerata la mezza ampiezza a metà altezza: questo valore deve risultare consistente col parametro di larghezza calcolato direttamente dai dati. Come valore medio si è scelto il valore centrale degli intervalli intersecati dalla retta di mezza altezza. Dal punto di vista analitico si è invece fatto ricorso alle formule (3.1) per il calcolo della media x e (3.2) per la deviazione standard σ : x N x= 1 N i=1 x i (3.1) σ x = N i=1 (x i x) 2 N 1 con N numero di misure effettuate. I risultati sono riportati in Tabella 3.1. (3.2) OPERATORE Media (Dati) Deviazione (Dati) Media (Grafico) Deviazione (Grafico) Di Benedetto 6,30 0,11 6,29 0,05 Tumbiolo 6,22 0,09 6,21 0,12 Franzella 6,15 0,04 6,15 0,03 Guttilla 6,20 0,08 6,18 0,09 Tutti 6,22 0,10 6,22 0,15 TABELLA 3.1: Valore medio e deviazione standard per via analitica e grafica Gli indici calcolati per via grafica risultano consistenti con quelli calcolati per via analitica. Ciò manifesta che si commette un piccolo errore calcolando gli indici dagli istogrammi e che quindi è una maniera di rappresentare i dati che può risultare molto utile. Nel proseguio dell esperienza si è scelto di prendere in considerazione gli indici calcolati per via analitica. Si osserva inoltre, confrontando l istogramma complessivo a quelli relativi ai singoli operatori, che la deviazione standard non dipende dal numero di misure effettuate, sebbene il maggiore numero di dati renda l istogramma certamente più vicino alla distribuzione limite gaussiana. Dall analisi complessiva dei valori si è poi ricavato il periodo della singola oscillazione e la sua indeterminazione. Riguardo alla grandezza T 10, valore del periodo di 10 oscillazioni complete, ad essa resta associato un errore pari alla somma diretta dell errore di lettura (2.1)

5 e della deviazione standard della media σ x, indice calcolato tramite la formula: Quindi il valore di T 10 sarà espresso come: σ x = σ x N (3.3) T 10 =(6,22±0,02)s (3.4) Per ricavare il valore del periodo T di una sola oscillazione basterà semplicemente dividere per 10 la grandezza T 10 e l errore ad essa associato, ricavandone T =(0,622±0,002) s (3.5) Raccolte le misure relative alla massa di 40g, si è ripetuta l operazione per le restanti masse, in modo da avere per ciascuna un set di venti dati, a partire dal quale individuare la relazione funzionale tra massa e frequenza angolare, e quindi il valore della costante κ. Anche per questi dati sono stati calcolati il valore del periodo e relativo errore, raccolti, insieme a quelli trovati per la massa di 40g, nella Tabella 3.2. Massa (g) Periodo T (s) Errore assoluto δ T (s) 40 0,622 0, ,691 0, ,753 0, ,812 0, ,864 0, ,918 0,002 TABELLA 3.2: Valori del periodo T ricavati 4. Analisi grafica Per risalire al valore della costante elastica della molla si è scelto di procedere all analisi grafica dei dati raccolti in due modi differenti e di confrontarne i risultati: tramite la rappresentazione in scala log-log della frequenza angolare in funzione della massa e tramite il procedimento della linearizzazione. Procediamo con il primo metodo di analisi. Ricordando la relazione 1.1 tra la frequenza angolare ω e la massa, essa può essere a tutti gli effetti riscritta sotto forma di una legge di potenza del tipo: ω= k (m 12 ) (4.1) con espontente di scala pari a Applicando il logaritmo decimale ad entrambi i membri: log ω= 1 2 logk 1 log m (4.2) 2

6 da cui, ponendo log ω=y, 1 log k=k e log m=x, si ricava: 2 Y = 1 X+ K (4.3) 2 che rappresenta a tutti gli effetti, in scala bilogaritmica, l equazione di una retta con coefficiente angolare Per verificare la validità della Legge 1.1, quindi, bisogna stabilire se i dati sperimentali sono consistenti con l ipotesi di una tale distribuzione. Si è calcolata la frequenza angolare ω corrispondente a ciascuna delle masse, tenendo conto della relazione (1.2). I valori così ottenuti e le relative indeterminazioni, ricavate propagando l errore sulla (1.2), sono riportati in Tabella 4.1. Massa (g) Frequenza angolare ω (s -1 ) Errore assoluto δ ω (s -1 ) 40 10,10 0, ,09 0, ,34 0, ,74 0, ,27 0, ,84 0,01 TABELLA 4.1: Frequenza angolare e relativo errore Si sono dunque riportati i valori della frequenza angolare in funzione della massa in un grafico log-log, mostrato in Figura 4.1., da cui si osserva che i punti così individuati sono in effetti legati da una relazione lineare. Si è quindi stimato il coefficiente angolare a best della retta che meglio interpola i punti attraverso il metodo delle rette convergenti. Tracciate due rette scelte per passare per i rettangoli individuati dalle barre di errore sui singoli punti rispettivamente con la massima e minima pendenza possibile, se ne calcolano i coefficienti angolari a max e a min da cui si ricava, come valore centrale dell intervallo di dispersione tra i due, il coefficiente angolare cercato, a cui si associa un errore pari alla semidispersione di analoghi estremi. Leggendo i punti dal grafico con l apposita funzione del programma di analisi grafica, si sono letti i punti: (40 ;10,02) (100;6,62) per la retta con massima pendenza; (40;10,23) (100;6,43) per la retta con minima pendenza. Da cui si sono calcolati i coefficienti angolari tramite la formula a= log(y 2 /Y 1 ) log(x 2 / X 1 ) (4.4) dato che ci si trova a lavorare in scala log-log. Si sono ottenuti i risultati da cui si è ricavato, come miglior stima di a, il valore a max = 0,45 a min = 0,51 (4.5)

7 a=( 0,48±0,03) (4.6) Quindi il valore di a è consistente con quello ipotizzato dalla Legge 1.1. FIGURA 4.1: Grafico in scala log-log con rette di massima e minima pendenza Verificato questo risulato, si è proceduto al calcolo di κ, utilizzando il metodo delle rette di massima e minima intercetta (Figura 4.2). Vengono tracciate due rette di coefficiente angolare uguale a Si legge a questo punto il valore che le due rette assumono quando l ascissa è 100; questo facilita i calcoli, in quanto dalla relazione 4.2 si ricava che, in tale valore di ascissa, ω= k 10 (4.7) Tramite l apposita funzione del programma di analisi grafica si sono letti i valori ω 1 =6,59 s 1 ω 2 =6,43 s 1 (4.8) da cui si sono ottenuti i valori k 1 =4343 g m s 2 =4,3 N /m k 2 =4134 g m s 2 =4,1 N /m (4.9) da cui si ottiene, come migliore stima del valore di k, il valore k=(4,2±0,1) N / m (4.10)

8 FIGURA 4.2: Rette di massima e minima intercetta nel grafico log-log Procediamo ora col secondo metodo di analisi. Considerando la relazione 1.1, la si può riscrivere in funzione della massa ottendendo l espressione m=k 1 ω 2 (4.11) Ponendo Z= 1 si ottiene l equazione di una retta passante per l origine, descritta dalla 2 ω funzione di Z Per questo motivo, Z viene detta variabile di linearizzazione. m=kz (4.12) Svolgendo la coversione da ω a Z e propagando gli errori, si ottengono i dati raggruppati in Tabella 4.2. Massa (g) Frequenza angolare ω (s -1 ) Errore assoluto δ ω (s -1 ) Variabile di linearizzazione Z (s 2 ) Errore assoluto δ Z (s 2 ) 40 10,10 0,03 0, , ,09 0,03 0, , ,34 0,02 0, , ,74 0,02 0, , ,27 0,02 0, , ,84 0,01 0, ,00009 TABELLA 4.2: Variabile di linearizzazione e relativa indeterminazione

9 Leggendo le ordinate delle due rette dal grafico in Figura 4.3 quando l ascissa assume valore 0,02 si ottengono i valori m max =85,61 g e m min =78,82g. Calcolando la pendenza delle rette tra l origine e i punti considerati, si ottiene, al netto delle approssimazioni k min =3,9 N /m k max =4,3 N /m (4.13) da cui si ricava, come migliore stima del valore della costante elastica k=(4,1±0,2) N / m (4.14) FIGURA 4.3: Rette di massima e minima pendenza nel grafico linearizzato Nella nostra esperienza abbiamo considerato la massa della molla come trascurabile: ciò ci ha consentito di imporre il passaggio per l origine. Di norma, in condizioni di massa della molla non trascurabile, si sarebbe dovuto eseguire pure uno studio tramite le rette di massima e minima intercetta per determinare il valore dell ordinata all origine, che corrisponde a un terzo della massa della molla. I due valori della costante elastica ricavati prima con la rappresentazione in scala log-log (4.10), poi con il metodo della linearizzazione (4.14), risultano consistenti fra loro, in quanto la discrepanza non risulta significativa. Questo ci dice che i metodi di analisi sono praticamente equivalenti.

10 ~APPENDICE~ 1. Tabelle degli istogrammi in Figura 3.1 DI BENEDETTO n i F i f i 6,09 t <6,19 4 0,16 1,6 6,19 t <6,29 9 0,36 3,6 6,29 t <6,39 7 0,28 2,8 6,39 t <6,49 3 0,12 1,2 6,49 t <6,59 2 0,08 0,8 TUMBIOLO n i F i f i 6,09 t <6,15 5 0,20 3,3 6,15 t <6,21 8 0,32 5,3 6,21 t <6,27 3 0,12 2,0 6,27 t <6,33 6 0,24 4,0 6,33 t <6,39 3 0,12 2,0 FRANZELLA n i F i f i 6,09 t <6,12 4 0,16 5,3 6,12 x<6,15 7 0,28 9,3 6,15 t <6,18 9 0,36 12,0 6,18 t <6,21 2 0,08 2,7 6,21 t <6,24 3 0,12 4,0 GUTTILLA n i F i f i 6,09 t <6,15 6 0,24 4,0 6,15 t <6,21 7 0,28 4,7 6,21 t <6, ,40 6,7 6,27 t <6,33 1 0,04 0,7 6,33 t <6,39 1 0,04 0,7

11 TUTTI n i F i f i 6,05 t <6, ,23 2,3 6,15 t <6, ,40 4,0 6,25 t <6, ,24 2,4 6,35 t <6, ,11 1,1 6,45 t <6,55 2 0,02 0,2 ~BIBLIOGRAFIA~ Per l analisi della consistenza delle misure e l analisi grafica cfr. Aurelio Agliolo Gallitto, Introduzione al Laboratorio di Fisica: gli errori nelle misure sperimentali, Università di Palermo 2016 Per le approssimazioni vd. John R. Taylor, Introduzione all'analisi degli errori: lo studio delle incertezze nelle misure fisiche, Zanichelli II Ed. 1999