Laboratorio di Fisica I Anno Accademico Relazione esperienza n 2

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1 Laboratorio di Fisica I Anno Accademico Relazione esperienza n Mario Lauriano, Francesco Giosuè, Flavio Magliozzo, Chiara Coppola, Valeria Principato 1 dicembre 018 Titolo: Taratura di una bilancia dinamometrica. Sommario L esperienza svolta, nell ambito del corso di Laboratorio di Fisica I, è stata volta a: i) costruire la curva di risposta M(G) di una bilancia dinamometrica e a determinare graficamente i parametri caratteristici dello strumento (soglia, portata, sensibilità e soglia di sensibilità); ii) costruire la curva di taratura G(M) e determinate graficamente l'errore di precisione dello strumento; iii) tarare lo strumento ed effettuare la misura di una massa incognita stimando il valore best e l'errore. 1 Introduzione ed obiettivi Data una bilancia dinamometrica ed assunto che lo strumento segua la legge di Hooke F = kx, dove k è la costante elastica della molla ed x = l l0 è la deformazione della molla (l0 è la lunghezza a riposo della molla nella posizione verticale): a) Misurare la deformazione della molla in funzione della massa e costruite la curva di risposta M(G), da cui determinare graficamente i parametri caratteristici dello strumento; b) Considerando la parte lineare della curva di risposta, costruire la curva di taratura G(M) e determinare graficamente l'errore di precisione dello strumento; c) Determinare la risoluzione della scala così costruita ed indicare l'errore di lettura; d) Con lo strumento tarato, effettuare la misura di una massa incognita stimando il valore best e l'errore. 1

2 Sommario 1 Introduzione ed obiettivi Premesse Descrizione dell esperienza Processo di misura Tabella dei dati sperimentali Determinazione curva di risposta Soglia di sensibilità Taratura e misura di una massa incognita con la bilancia dinamometrica Conclusioni Nota esplicativa... 1 Ambiente di misura Preliminarmente, si osservano le seguenti condizioni ambientali nel corso dello svolgimento dell esperienza: Temperatura: (94,15 ± 0.1) K Umidità relativa: 55 % ± 1% Illuminamento: (00.0 ± 0.5) lux La temperatura è stata presa a riferimento in relazione alle possibili influenze che essa potrebbe avere sulla costante k della legge di Hooke. L illuminamento è stato misurato in relazione ai possibili errori derivanti da uno scarso illuminamento durante il rilievo diretto delle quantità (es. misura delle elongazioni a partire dallo zero fissato). L umidità è stata presa a riferimento per le sue possibili influenze sulla bilancia elettronica. Non sono state prese in considerazioni la velocità dell aria nell ambiente di misura in quanto da ritenere ininfluente rispetto alle misure da effettuare.

3 3 Premesse Innanzitutto, si sottolinea un importante considerazione che spesso, però, viene dimenticata. Gli strumenti di misura come le bilance sono in grado di apprezzare le forze peso in riferimento al luogo in cui esse si trovano sul pianeta Terra: quindi, il valore numerico letto sullo strumento esprime il valore di una forza e non di una massa. Per questo motivo, potrà essere espressa in N o in kgpeso. Pertanto, se il valore numerico letto sulla bilancia è X kgpeso, si avrà che X = m g. E anche noto che 1 kgpeso = g 1 N. Il valore numerico che esprime la massa m, sarà: = = = = = In definitiva, il valore numerico letto sulla bilancia, sebbene esprima la forza peso, coincide solo numericamente con il valore della massa espresso in kgmassa. Nonostante le considerazioni fatte, in genere quest aspetto si dà per assodato, ma è anche bene rammentare che, facendo capo al principio di equivalenza tra massa gravitazionale e massa inerziale, queste ultime due sono uguali in tutti i sistemi di riferimento. Allo stesso modo, quando ci si accingerà ad effettuare la taratura del nuovo strumento e vorremo conoscere l entità di una massa ignota, tramite la lettura dell elongazione della molla della bilancia dinamometrica (valore direttamente proporzionale alla forza F = - kx), il valore numerico della forza misurata coinciderà con il valore numerico della massa incognita voluta, espressa in kgmassa. 4 Descrizione dell esperienza 4.1 Processo di misura L esperienza in questione ha tra i suoi principali obiettivi quello di far sì che una data molla divenga, per effetto di alcune misurazioni, calcoli e grafici, uno strumento di misura per masse incognite. Quest ultimo valore sarà proporzionale all elongazione della medesima molla. L obiettivo è quello di definire una legge che leghi le masse e le elongazioni e che ci permetta di tarare lo strumento: la molla dinamometrica. Per far ciò è necessario partire da precisi dati, dai quali poter desumere le caratteristiche dello strumento; per esempio, si dovrebbero richiedere a laboratori di alta precisione alcune masse campione da cui, una volta poste sullo strumento, sarà possibile desumere le migliori approssimazioni delle elongazioni. Ma, dal momento che è 3

4 impossibile determinare il valore esatto di una grandezza, anche le masse forniteci andranno verificate nuovamente. In particolare, nell ambito del nostro esperimento, le 19 masse campione a nostra disposizione sono state ricontrollate per mezzo di una Bilancia elettronica, il cui errore di lettura è di un unità sull ultima cifra significativa (LSD), corrispondente ad un errore δx = 0.1 g e il cui errore di precisione della bilancia è 0.% del valore misurato. Pertanto, l errore strumentale è: = Quindi, per ciascuna misura delle 19 masse si determineranno gli intervalli: = ± Una volta misurate le masse con la bilancia elettronica, è stato regolato manualmente lo zero della bilancia dinamometrica grazie all apposizione di una strisciolina millimetrica, la cui risoluzione è pari ad r = 1 mm ed il δlettura = 0.5 mm, su di un lato della molla dinamometrica. Lo zero è stato fissato con il gancio e la sua base già agganciati allo strumento, in modo da riportare soltanto i valori delle masse da stimare. Ci si è anche avvalsi del controllo della messa a piombo dell apparato strumentale, al fine di ridurre la possibilità di commettere errori sistematici. Si riporta di seguito la schema iniziale della molla dinamometrica (Fig.1), alla quale è stata accostata e resa solidale la striscia di carta millimetrata, avendo anche avuto cura che l ago coincidesse con una tacca in Fig.1 4

5 grassetto della carta millimetrata e pertanto in modo che a partire da tale tacca fosse possibile misurare le elongazioni x = l lo desunte in funzione delle masse applicate. A questo punto, sono state applicate ad una ad una, per mezzo di un gancio, le 19 masse m a nostra disposizione sulla molla: si sono così potute misurare le rispettive elongazioni x a partire dallo zero fissato in corrispondenza della lunghezza iniziale. Si riporta, altresì, lo schema della strumentazione con l applicazione della generica massa mi, al fine di rendere più chiarala descrizione dell apparato strumentale (Fig.). Fig. Si osservi che la strumentazione in dotazione, come qualunque altro strumento di misura, consta di tre essenziali componenti, il Rivelatore, il Trasduttore ed il Visualizzatore. Quest ultimo coincide con l ago mobile che indica sulla carta millimetrata il valore misurato, a partire da uno zero fissato. Gli altri due componenti sono riscontrabili nella stessa molla che rivela la presenza della massa e trasduce tale valore in spostamento x (funzione della sua caratteristica elastica). Le masse sono state applicate dalla più piccola alla più grande. 5

6 4. Tabella dei dati sperimentali m δm ɛm x δx ɛx Massa gr gr % mm mm % 1 1,00 0,10 10,0% 0,0 0,5 3,00 0,11 3,53% 1,0 0,5 50,00% Soglia 3 5,10 0,11,16% 1,0 0,5 50,00% 4 10,10 0,1 1,19%,0 0,5 5,00% 5 15,0 0,13 0,86% 3,0 0,5 16,67% 6 0,00 0,14 0,70% 4,0 0,5 1,50% 7 5,0 0,15 0,60% 5,0 0,5 10,00% 8 40,30 0,18 0,45% 8,0 0,5 6,5% 9 50,5 0, 0,40% 10,0 0,5 5,00% 10 60,7 0, 0,36% 1,0 0,5 4,17% 11 80,7 0,3 0,3% 16,0 0,5 3,13% 1 100,4 0,3 0,30% 0,0 0,5,50% 13 10,4 0,3 0,8% 4,0 0,5,08% ,6 0,4 0,8% 6,0 0,5 1,9% ,9 0,4 0,7% 30,0 0,5 1,67% ,6 0,5 0,6% 36,0 0,5 1,39% 17 01,3 0,5 0,5% 40,0 0,5 1,5% 18 1,3 0,5 0,5% 44,0 0,5 1,14% Portata 19 51,5 0,6 0,4% 50,0 0,5 1,00% 5 Determinazione curva di risposta Si osservi che il processo di apporre masse via via crescenti deve arrestarsi oltre un certo limite, in quanto oltre un dato valore la molla perde le proprie caratteristiche elastiche ed entra in una fase di snervamento la cui legge di variazione non è più lineare. A tal proposito, di potrebbe determinare la linearità caratteristica della molla verificando come al cessare della sollecitazione (massa più grande agganciata) la molla si riposiziona alla posizione iniziale (lo zero fissato). 6

7 Verificare ciò è ragionevole per essere certi di operare nel regime di linearità dello strumento, in cui vale la legge di Hooke. Quindi, se dopo aver rimosso dallo strumento la massa più grande, constatiamo che la stessa è ritornata allo zero inizialmente fissato, potremo decidere di assumere come Portata tale valore. Infatti, sarebbe dato affermare che sino a quel valore di massa la legge continua ad essere lineare, poiché non si è superato il punto di snervamento del materiale costituente la molla. Riguardo la Soglia, invece, è stato necessario verificare, in riferimento ai primi valori delle masse e delle elongazioni, che essi stessero per lo più lungo una retta. Si è proceduto allo scarto dei primi due valori, poiché essi non rispettavano la linearità del sistema. A seguito di tali operazioni, abbiamo riportato i dati ottenuti in un piano cartesiano ortogonale, in cui in ascissa riportiamo le masse G in grammi [g] e nelle ordinate le elongazioni M(G) in millimetri [mm], per ottenere i punti, e le relative indeterminazioni lungo G ed M(G), che determinano le elongazioni in funzione delle masse. Pertanto, introdotti i valori di m, δm, X, δx di cui alla tabella su esposta, adesso per mezzo software SciDavis abbiamo determinato i punti del piano X [mm] G [g]. Sono stati, quindi, determinati i valori di Soglia e di Portata. Soglia = 5.10 g Portata = 51.5 g Il grafico ha confermato anche come i primi due valori determinati non seguissero una legge lineare. Dal momento che alla soglia e alla portata corrispondono rispettivamente le elongazioni Xs = 1.0 mm ed Xp = 50 mm, è stato possibile determinare la risoluzione della bilancia dinamometrica: = = = Poi, si è proceduto a tracciare graficamente le rette di min e max pendenza. in modo che esse attraversassero tutti gli intorni di dispersione dei valori misurati. Le pendenze delle due rette sono rispettivamente la sensibilità min e max dello strumento. (Fig.3) = =.. = = =.. =

8 Fig. 3 Determinati i valori di sensibilità minima e massima, si procede alla stima dell S best e il suo errore assoluto [δs]: = = = = ± = (0.199 ± 0.004) 6 Soglia di sensibilità Come è noto, la soglia di sensibilità è la variazione minima che lo strumento è in grado di apprezzare, ossia la più piccola variazione di m che produce una variazione apprezzabile dell elongazione x della molla. Dato che ciascuna divisione della carta millimetrata è pari ad 1 mm, la più piccola elongazione apprezzabile è proprio pari ad 1 mm (risoluzione carta millimetrata). Quindi, per determinare la soglia di sensibilità della bilancia dinamometrica, bisogna, a cominciare da una data massa m corrispondente ad una certa x, incrementare la m con masse in confronto molto piccole: per esempio, ponendo una massa da 50 aggiungere via via masse da 1 g, sino a che la x non si incrementa di un valore pari alla propria risoluzione (1 mm). Alla luce di quanto affermato, la soglia si sensibilità sarà pari al numero di grammi che avranno determinato l incremento dell elongazione misurata di 1 mm. Nell ambito del nostro esperimento la soglia di sensibilità è risultata essere pari a g. Quindi, per ogni misura compiuta con la bilancia dinamometrica del nostro sistema 8

9 di misura, affinché l elongazione della molla diventi apprezzabile (almeno pari ad 1 mm), la massa posta deve essere incrementata di almeno g. Con le operazioni di misura finora svolte siamo stati in grado di determinare: la curva di risposta, ossia le rette di min e max pendenza della funzione M(G), cioè X = X(m); la soglia; la portata; la sensibilità; la soglia di sensibilità. 7 Taratura e misura di una massa incognita con la bilancia dinamometrica Adesso, con lo strumento tarato, per ricavare la legge che associa ad una generica elongazione la relativa massa si scambiamo graficamente i valori che nel precedente grafico (Fig.3) erano stati posti in ascissa, con quelli in ordinata, per valutare le masse in funzione delle elongazioni della molla. Lo scopo di tale operazione di misura è la determinazione di una massa incognita una volta determinata l elongazione della molla che essa comporta. Questa nuova analisi grafica non ci permette di utilizzare nuovamente il metodo delle rette di min e max pendenza, in quanto queste si incontrerebbero in un punto: ciò che condurrebbe ad un non senso fisico, ossia di mancanza di indeterminazione. Quindi, si adotta il metodo delle rette di min e max intercetta, ottenute tracciando due rette parallele entro cui sono contenuti tutti gli intorni di dispersione (Fig. 4). Ciò è stato Fig. 4 9

10 possibile in quanto gli errori su G (Ordinate) non si incrementano nel passaggio dalla Soglia alla Portata (vedere Nota in coda al documento). Dalle due rette di minima e massima intercetta determineremo il coefficiente K, ossia il coefficiente di taratura della bilancia dinamometrica: il numero di g per unità di elongazione =. Tale parametro risulterà di fondamentale importanza per la determinazione del valore di una massa incognita nel momento in cui lo strumento sarà utilizzato come strumento di misura per masse incognite. = Δ = = 5.0 Δ 10 Inoltre, fissato un valore m in ascissa, si determinano dal grafico i relativi valori di Gmax e Gmin, per determinare l errore assoluto di precisione dello strumento: = = = 5.5 Il δg sarà ovviamente costante per l intero campo di misura, dalla soglia alla portata. Ottenuto il δg è possibile determinare gli errori relativi di precisione rispetto al valore medio ed al valore di fondo scala. = 100 =.. = 3.3% (Errore relativo di precisione rispetto al V.M.) =. 100 = 100 =.1%. (Errore relativo di precisione rispetto al V.F.S.) A questo punto, possiamo approssimare il valore della taratura K in relazione all errore epsilon G relativo al F.S. Ossia: =.. = = = ± = 5.0 ± 0.10 = = 5.03 =.5 10

11 Infine, l errore strumentale dello strumento sarà dato dalla somma dell errore di precisione più l errore di lettura: = + = = 8 In definitiva, immessa una generica massa incognita nello strumento, siamo adesso in grado di asserire, con indeterminazione pari all errore strumentale, che la massa vale: = ± Quindi, appesa una massa incognita che ha prodotto una elongazione X = 16.0 ± 0.5 mm otteniamo che: = = = 80.3 = ± = (80 ± 8) 8 Conclusioni Nell esperienza di laboratorio svolta, le masse misurate con la bilancia sono state prese a riferimento quali masse per così dire vere, o per meglio dire, le migliori vere possibili in relazione allo strumento usato per misurarle. Il risultato finale al quale si è giunti è stato l ottenimento di un nuovo strumento di misura (la molla dinamometrica), che permetta di ottenere i valori di masse incognite agganciate alla molla dello stesso, dipendentemente dalle elongazioni di quest ultima. 11

12 9 Nota esplicativa Preliminarmente alla tracciatura delle rette di min e max intercetta, è necessario verificare se gli errori su M [mm] siano gli stessi, o quasi, per tutto il campo di misura. Se, per esempio, essi fossero via via più grandi nel passaggio dalla soglia alla portata, cioè se aumentassero al crescere del valore misurato, sarebbe corretto applicare il metodo delle rette convergenti. Ciò condurrebbe a due valori della taratura, uno minimo e l altro massimo [Kmin, Kmax], dai quali sarebbe possibile determinare Kbest ed il relativo errore assoluto, cioè: = = Fig. 5 Pertanto per una determinate elongazione M0 (mm), si otterrebbe un Gmax ed un Gmin dati dai seguenti calcoli: = ( ) +. = ( ) +. = =.. + = ( ) + = = ( ) + = + = + 1

13 In generale, il rapporto tra il differenziale delle intercette e (Kbest Mo) è irrilevante, per cui è trascurabile. Se così non fosse, ossia se Kmax >> Kmin, significherebbe che la molla ha problemi di risposta in termini di elasticità. Invece, nel caso in cui tali errori fossero costanti per l intero campo di misura, si avrà K = cost, cioè un'unica pendenza della curva di taratura. = ( ) +. = +. = =.. 13