Università degli Studi di Trieste Facoltà di Ingegneria Corso di strade, ferrovie, aeroporti A.A

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1 Alessia Bonazza Paolo Martinis Trieste, 7 aprile 004 Università degli Studi di Trieste Facoltà di Ingegneria Corso di strade, ferrovie, aeroporti A.A Esercitazione 4 Per due circonferenze lungo le quali vogliamo far passare due curve a raggio costante abbiamo le coordinate georeferenziate dei centri M =( , ) M =( , ) ed i raggi R =360m R =5m Inserire un flesso planimetrico tra le due curve a raggio costante. Introduzione Il flesso planimetrico è costituito da una successione di due clotoidi contrapposte e con la medesima origine e serve per collegare due archi di cerchio con curvature di segno opposto. La situazione è rappresentata in figura: L obiettivo è quello di individuare la linea formata dai due archi di clotoide, tangenti nel punto O, detto punto di flesso, in cui R=. I centri (M,M ) ed i raggi (R,R ) dei due cerchi sono fissati, e di conseguenza è fissata la distanza D tra i due cerchi. Per il triangolo M M C valgono le relazioni: R + R + D = x + x + y + y ( ) ( ) ( ) M M M M tgε = x y M M + x + y M M Dovremo quindi risolvere queste equazioni per trovare la posizione del punto di flesso e l orientazione degli assi x e y, e quindi poter disegnare le due clotoidi.

2 Posizione della terna Oxy Procedimento Possiamo scrivere l equazione ( R ) ( ) ( ) + R + D = xm + x M + y M + y M come i i i i i+ τ k k + i+ τ k = ( ) ( ) + ( 4 3)(! ) R i= i i B B i= k ( 4i )( i)! B B dove = R + R + D è la distanza tra i due centri delle circonferenze; R k = è il rapporto tra i due raggi delle circonferenze; R A B = è il rapporto tra i due parametri delle clotoidi. A Per risolvere l equazione è necessario fissare queste ultime tre quantità: è facilmente misurabile per via grafica (da Autocad) o calcolabile, k è un rapporto tra dati del problema, mentre B va fissato tenendo conto del fatto che solitamente <B<.. Fissare queste tre quantità, però, non basta: l equazione non sarà comunque risolvibile per via analitica. Osserviamo però che il secondo membro dell equazione è funzione di τ, che a sua volta è funzione del parametro A, ricavabile dalla A τ = R Potremo così procedere per via numerica, ossia per tentativi: fissiamo un certo A (o, meglio, un certo rapporto A /R ) dal quale troveremo un certo τ ; inseriamo poi quest ultimo valore nell equazione e verifichiamo se essa è soddisfatta. Qualora non lo fosse, fissiamo un altro rapporto e procediamo ad una nuova verifica; itereremo il procedimento fino a quando l equazione non è soddisfatta. Per avere un idea del parametro da scegliere nel caso B=, possiamo utilizzare i diagrammi di Osterloch, ossia degli abachi che in funzione dei rapporti D/R e k ci forniscono un valore approssimato di A/R. Verifica dell equazione Verifichiamo quindi l equazione a partire dai valori assegnati e fissando A /R =0.73 (ricavato dal diagramma di Osterloch). Per il calcolo approntiamo un foglio di lavoro Excel e sviluppiamo le sommatorie fino ad n=0. R 360 R 5 k.486 /k delta delta/r.75 D/R 0.05 A/R 0.73 A 6.8 A 6.8 B tau 0.665

3 i (-)i+ (tau)i- (i-)! 4i-3 /B*(k/B)4i-3 ris.6645e e E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-.65E E-4 somma i (-)i+ (tau)i (i)! 4i- /B*(k/B)4i- ris E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-0.093E E E E E E-.439E E-6 somma parte.7459 (delta/r).946 soluzione I due ultimi valori, relativi a ciascuno dei due membri dell equazione, differiscono; procediamo quindi in modo iterativo scegliendo altri rapporti A /R. Tali operazioni possono essere riassunte nella tabella e nel grafico seguenti: 3.6 ( /R ) i A/R tau sol /R τ i Troviamo così il valore di per τ e quindi il valore di 43.8 per A. Considerato però che i due raggi sono molto diversi, ripetiamo tutti i calcoli fissando un rapporto B tra i parametri di scala delle clotoidi pari a.. La verifica sarà soddisfatta per A =59.73: 3

4 R 360 R 5 k.486 /k delta (delta/r).946 delta/r.75 sol.946 D/R 0.05 A/R A A 33. B. tau i (-)i+ (tau)i- (i-)! 4i-3 /B*(k/B)4i-3 ris E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-0.65E E-36 somma i (-)i+ (tau)i (i)! 4i- /B*(k/B)4i- ris E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-7.093E E E E E E-.439E E-38 somma parte.7039 Possiamo ora calcolare i parametri della clotoide : A 59.7 A = = = 33. B. A 33. τ = = = R 5 Calcolo dell angolo ε Abbiamo ora a disposizione tutti i dati per trovare le coordinate dei centri delle circonferenze nel sistema di riferimento Oxy, o meglio le loro distanze, e dell angolo ε. Le equazioni che useremo sono: + = i 4i 3 i+ τ k xm x ( ) + M R ( )( ) i= 4i 3 i! B B 4

5 k + + = + ym y M R i= k xm + x M ε = arctan ym + y M Con il solito foglio Excel abbiamo: i ( ) + i 4i τ k + ( )( ) 4i i! B B R 360 R 5 k.486 /k delta xm+xm delta/r.75 ym+ym D/R 0.05 epsilon 0.45 A/R A A 33. B. tau i (-)i+ (tau)i- (i-)! 4i-3 /B*(k/B)4i-3 ris E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-0.65E E-36 (xm+xm)/r i (-)i+ (tau)i (i)! 4i- /B*(k/B)4i- ris E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-7.093E E E E E E-.439E E-38 somma (ym+ym)/r.7039 Verifica e tracciamento delle clotoidi Ora che abbiamo trovato le due clotoidi da inserire nel flesso, dobbiamo verificare che siano compatibili con le prescrizioni del DM e tracciarle per punti. Procediamo quindi allo stesso modo dell Esercitazione. Supponiamo innanzitutto di inserire il flesso in una strada di tipo C. Verifichiamo dapprima che il rapporto tra i raggi delle due curve sia in zona buona o accettabile: 5

6 Ci troviamo in zona buona e quindi possiamo proseguire. Ricaviamo ora le velocità di progetto delle due curve. Per entrambe vale R<437m e quindi assumiamo la pendenza trasversale q pari a Per la curva abbiamo immediatamente dal grafico (linee gialle) la velocità di progetto di 80km/h, mentre per la curva sarà necessario il calcolo. Prendiamo in prima approssimazione V p =93km/h; cerchiamo poi, in base alla tabella di pagina 7 del DM, il coefficiente di aderenza impegnato trasversalmente per la V p che abbiamo adottato: poiché non abbiamo V p =93km/h in tabella, basterà fare una semplice proporzione (consentita dalla normativa): 0, 0,3 x 0,3 = , 0,3 x = 0,3+ ( 93 80) = 0, Avremo pertanto f t =0,7. 6

7 Useremo quindi la relazione a pagina 7 del DM per trovare la V p : V p = q + f t R 7 Inserendo i valori trovati in tale equazione abbiamo: ( q + f ) R ( ) km t 7 = 0,07 + 0, = 8550 = 9, h Vp = Vp = 46 Adottiamo quindi V p =9km/h. Verifica del parametro A delle clotoidi Utilizziamo un foglio di calcolo MS Excel per le verifiche, con l assunzione dei valori reali del contraccolpo dalla normativa svizzera, che incrementano comunque il fattore di sicurezza: Elemento Parametri R Lmin qdx qsx Vp vp B n Descrizione m m km/h m/s m Curva % 7.0% Punto di flesso inf Curva % -7.0% Limitazione del contraccolpo Clotoide Formula esatta Formula n Tratto g c Amin,dx Amin,sx approssimata m/s m/s 3 m Sovrapendenza longitudinale Clotoide i max A min % % 88.5 Criterio ottico Clotoide A min A max Possiamo così dire che i parametri di entrambe le clotoidi sono compatibili con le prescrizioni del DM Calcolo dei parametri delle clotoidi Il calcolo dei parametri generali di entrambe le clotoidi fornisce i risultati: Cloto Metodo A R L τ xf yf Ρ xm ym TL TK σ lc m m rad m m m m m m m rad m Approssimato Esatto (n=0) Scarto Approssimato Esatto (n=0) Scarto Non si riportano i calcoli in quanto è stato utilizzato lo stesso procedimento e lo stesso foglio di calcolo usato nell Esercitazione. 7

8 Tracciamento per punti delle clotoidi Il tracciamento si effettua dividendo la lunghezza L in n parti uguali, calcolando l angolo relativo a ciascuna parte e calcolando poi, con il metodo esatto, le coordinate x ed y del punto. Prendiamo per entrambe le clotoidi n=5. Per la clotoide abbiamo: Punto A R L τ x y m m m rad m m Per la clotoide abbiamo: Punto A R L τ x y m m m rad m m Non riportiamo gli sviluppi in serie di x ed y relativi ad ogni punto, considerato che è stato utilizzato lo stesso foglio di calcolo dell Esercitazione. In allegato si riporta la tavola in scala relativa all intera costruzione del flesso. In essa vi sono anche le tabelle relative alle coordinate georeferenziate E-N per tutti i punti delle due clotoidi, ottenute direttamente da Autocad mediante il cambio di coordinate UCS da locali a globali, dopo che il tracciamento è stato condotto in coordinate locali. 8

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