Il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza qualsiasi e la lunghezza del suo diametro è costante. in conclusione:

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2 La circonferenza è una linea curva e misurarla, per esempio, con il righello è un procedimento impossibile. ome fare allora? Vediamo di trovare un procedimento adeguato. 1. Procuriamoci un oggetto il cui contorno sia una circonferenza, per esempio una lattina.. Segniamo sulla lattina un punto P ben preciso e, a partire da P, avvolgiamola con del nastro fino a ritornare ancora a P. 3. Facciamo un segno sul nastro in corrispondenza di P e distendiamolo. 4. Otteniamo il segmento PA, che si chiama circonferenza rettificata. 5. Basterà quindi con un righello misurare PA per avere la lunghezza della circonferenza. Il mio righello P P A

3 Procuriamoci qualche oggetto i cui contorni siano delle circonferenze diverse e procediamo a misurare la circonferenza e il diametro. alcoliamo in rapporto fra la circonferenza e il diametro : /d, noteremo che questo rapporto rimane costante, è sempre 3, 1 d1 d 3 d diametro circonferenza rettificata in conclusione: Il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza qualsiasi e la lunghezza del suo diametro è costante.

4 Indicando questa costante con π, potremo scrivere: d ovvero d 3,14 La lunghezza della circonferenza si ottiene moltiplicando la lunghezza del diametro per = 3,14 in formule avremo: d ( formula diretta ) d ( formula inversa) Ricordando che d r r e r

5 Disegnamo una circonferenza e in essa 3 angoli al centro rispettivamente di 45, 90 e 180 e, in corrispondenza, consideriamo i 3 archi di circonferenza AB, A, AD. i accorgiamo che l ampiezza degli angoli al centro e la lunghezza degli archi corrispondenti sono grandezze direttamente proporzionali. Infatti se raddoppia l angolo da 45 a 90, raddoppia anche l arco da AB = 1/8 della circonferenza ad A = ¼. Ricordando che all angolo al centro di ampiezza 360 corrisponde tutta la circonferenza, possiamo scrivere: Lunghezza arco Ampiezza angolo al centro 360 l 0 da cui: :l 360 : Ricaviamo: l 360 l 360 l 360

6 Disegnamo un cerchio e inscriviamo in esso dei poligoni regolari con un numero di lati via via crescente: un triangolo equilatero, un quadrato, un pentagono,., un decagono, un dodecagono. Osserviamo che all aumentare del numero dei lati dei poligoni: I perimetri tendono a coincidere con la circonferenza; I rispettivi apotemi tendono a coincidere con il raggio; Le aree si approssimano sempre più all area del cerchio. Per un poligono regolare abbiamo: L area del cerchio si ottiene moltiplicando il quadrato della misura del suo raggio per p a A per il cerchio avremo: r r r A ma r; quindi A in definitica : A r ( formula diretta ) A r ( formula inversa) r

7 Disegnamo un cerchio e in esso due settori circolari corrispondenti a due angoli al centro, uno il doppio dell altro. i accorgiamo che, raddoppiando l ampiezza dell angolo al centro, raddoppia l area del settore circolare corrispondente, cioè le due grandezze sono direttamente proporzionali. Osservando che all angolo al centro ampio 360 corrisponde l area di tutto il cerchio, possiamo scrivere: O Area settore Ampiezza angolo al centro da cui: Ac 360 Ac : As 360 : As α da Ac questa proporzione As 360 As ricaviamo Ac 360 le formule : As 360 Ac

8 onfrontiamo le due proporzioni: : l s 360 : A c : A 360 : dal confronto deduciamo che: : l A : A c s Sostituendo a e ad Ac i loro valori π r e π r², avremo: r : l r l r r l r : As da cui As L area di un settore circolare si può calcolare moltiplicando la misura della lunghezza dell arco che lo limita per la misura della lunghezza del raggio della circonferenza e divivendo tale prodotto per : A s l r

9 onsideriamo due casi: A 1. Il segmento circolare considerato è quello minore della semicirconferenza. o B L area del segmento circolare sarà data dalla differenza fra l area del settore circolare che insiste sullo stesso arco di circonferenza e l area del triangolo ABO.. Il segmento circolare considerato è maggiore della semicirconferenza. A O B L area del segmento circolare sarà data dalla somma dell area del settore circolare corrispondente e dell area del triangolo ABO. A O B

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