LE DISEQUAZIONI IRRAZIONALI RISOLTE CON LA GEOMETRIA ANALITICA. con il conseguente iter risolutivo.

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1 LE DISEQUAZIONI IRRAZIONALI RISOLTE CON LA GEOMETRIA ANALITICA Le disequazioni irrazionali possono essere risolte anche con l ausilio della geometria analitica. Non è necessario, in questo caso, saperle riconoscere e quindi sapere applicare il metodo risolutivo algebrico relativo: cioè dall analisi del testo capire se si tratta di una disequazione del tipo f ( x) > g( x) oppure del tipo f ( x) < g( x) con il conseguente iter risolutivo. Con questo metodo è necessario ricordare le coniche con le loro relative equazioni e sapere operare con esse. Vediamone un esempio: 4 x < x + y = 4 x Per poter vedere graficamente di quale conica si tratta eleviamo al quadrato l equazione ed otteniamo y = 4 x o anche x + y = 4 E una circonferenza di centro O(0,0) e raggio ; se osserviamo la funzione iniziale ( y = 4 x ) notiamo che davanti alla radice, non essendoci alcun segno,si intende solo il valore positivo dell estrazione di radice, quindi, si dovrà considerare solo la parte di curva positiva, cioè la semicirconferenza sopra l asse delle x (quella lasciata in nero). Vediamola graficamente:

2 Analogamente facciamo con il secondo membro della disequazione: lo poniamo uguale a y y = x + (ci aspettiamo una retta obliqua) e la disegnamo sullo stesso grafico: Traducendo il testo algebrico in linguaggio geometrico, la disequazione ci chiede: dove la semicirconferenza sta sotto alla retta? Dall analisi grafica si osserva che la semicirconferenza sta sotto alla retta nell intervallo (-,0), questa è la soluzione. Facciamo ancora un altro esempio. x 1 > x 3 y = x 1 Eleviamo al quadrato questa equazione y = x 1 o anche x = y + 1: è una parabola con asse di simmetria parallelo all asse x, con il vertice V(0,1). Anche in questo caso, osservando che davanti alla radice il segno è positivo, andremo a considerare solo il ramo sopra l asse x, come rappresentato in figura (quella lasciata in nero).

3 Analogamente facciamo con il secondo membro della disequazione: lo poniamo uguale a y y = x 3 ( ci aspettiamo una retta obliqua) e la disegnamo sullo stesso grafico: Traducendo il testo algebrico in linguaggio geometrico, la disequazione ci chiede: dove l arco di parabola positivo sta sopra alla retta? Dall analisi grafica si osserva che l arco di parabola sta sopra alla retta nell intervallo (1,5), questa è la soluzione.

4 Ancora un altro esempio x 1 < x y = x 1 Per poter vedere graficamente di quale conica si tratta eleviamo al quadrato l equazione ed otteniamo y = x 1 o anche x y = 1 E un iperbole equilatera; come già fatto, se, osserviamo la funzione iniziale ( y = x 1 ), notiamo che davanti alla radice, non essendoci alcun segno,si intende solo il valore positivo dell estrazione di radice, quindi, si dovranno considerare solo i rami di curva positiva (quella lasciata in nero). Vediamola graficamente Analogamente facciamo con il secondo membro della disequazione: la poniamo uguale a y y = x ( ci aspettiamo due semirette uscenti da x =, ottenute dall applicazione del valore assoluto alla retta y = x ) e la disegnamo sullo stesso grafico: y = x

5 Traducendo il testo algebrico in linguaggio geometrico, la disequazione ci chiede: dove i due rami positivi di iperbole stanno sopra i due rami di retta? Dall analisi grafica si osserva che i due rami positivi dell iperbole stanno sopra ai rami della retta nell intervallo ( x1, + ), questa è la soluzione, dove x = è la soluzione dell equazione x 1 = x. Adesso prova tu con questi esercizi: x ( 0, x ) 1. x > x 3. x x + > 6x < x 0, x x 7 x come giustifichi l uguale nella soluzione? x..isola il radicale ( 3 x 4) 4. x 5 x + 3 > x + 3 x 5..attenzione funzione omografica 5 x < 3, 3 < x <, x > 8