Δ > 0, f(x)<0 quindi valori interni 0<x<4. Δ <0 f(x)>0 quindi sempre verificata

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1 Classe TERZA A inf. MATEMATICA attività di rinforzo anno 011/1 Nella verifica di settembre dovrai dimostrare di riconoscere l'equazione della retta, della circonferenza, della parabola con asse parallelo all asse y, dell ellisse riferita ai suoi assi e dell iperbole riferita ai suoi assi e saperle rappresentare correttamente nel piano cartesiano tali curve; saper risolvere equazioni e disequazioni algebriche di primo e secondo grado, di grado superiore al secondo, intere e fratte, irrazionali e in modulo, in sistema; conoscere le proprietà di esponenziali e logaritmi e saper risolvere semplici equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche; saper risolvere semplici equazioni e disequazioni goniometriche GLI ESERCIZI DELLA VERIFICA CHE SI FARA NEI PRIMI GIORNI DI SETTEMBRE SARANNO SIMILI A QUELLI DEI COMPITI DELLE VACANZE Questa estate dovrai svolgere su di un quaderno tutti gli esercizi di queste pagine, anche quelli già risolti come esempio e, consegnarmelo il giorno della verifica di matematica RICORDA: Nelle disequazioni di primo grado ax>b o ax<b quando si divide per a, ed a è negativo, si capovolge il segno della disuguaglianza: esempio -x>4 ris x<-4/ mentre, se a è positivo, il segno non si capovolge 5x>6 ris x>6/5 Nelle disequazioni di secondo grado (tenendo conto che ci si può sempre ricondurre al caso a>0) si avrà : 1 Segni concordi Segni discordi valori esterni Valori interni Esempio 1 x - 4 >0 Passo all equazione x= +, Δ >0 f(x)>0 quindi valori esterni x<- U x> Esempio 4x-x >0 moltiplico per -1 x +4x<0 passo all equazione x=0 ed x=4 il Δ > 0, f(x)<0 quindi valori interni 0<x<4 Esempio x + x + 1 > 0 Δ = 4-4 = 0 x 1 = x = -1 Δ = 0 e f(x) > 0, dunque la disequazione è verificata per ogni diverso da -1. x -1 Esempio 4 x +4 >0 Δ <0 f(x)>0 quindi sempre verificata

2 Esempio Pongo numeratore e denominatore > 0 : N > 0 x - 8 x - 9 > 0, x < -1 U x > 9 D > 0 x + x -15 > 0, x < -5 U x > Costruisco il grafico Esempio Pongo numeratore e denominatore > 0 : N > 0 x - 16 x + 55 > 0, x < 5, x > 11 D > 0 x - 1 > 0, x > 1 - x > 0, x < il fattore (positivo) si può tralasciare Costruisco il grafico Poiché il verso della diseq. è positivo, la soluzione è data dagli intervalli positivi : x < -5, -1 < x <, x > 9 Esercizio (-1 -x )(x - 4x) < 0 Pongo ogni fattore > 0 : -1 - x > 0 moltiplico per -1 e cambio il verso : 1 + x < 0 il primo membro, essendo una somma di due quadrati, è sempre positivo ; quindi MAI VERIFICATA x(x - 4) > 0 è una diseq. di secondo grado verificata per i valori esterni per x < 0 e x > 4 costruisco il grafico : Poiché il verso della d. è negativo, la soluzione è x < 1, < x < 5, x > 11 Esercizio x 0 x 9 0 Risolvo le due disequazioni -x>0 x< x -9<0 valori interni -<x< costruisco il grafico ( metto solo la linea continua dove sono verificate le due disequazioni) - Essendo un sistema considero gli intervalli in cui sono verificate entrambe le disequazioni: La soluzione è data dagli intervalli negativi : x < 0 e x > 4 -<x< A)Risolvi le seguenti disequazioni 1-5x>0 ris x<1/5-5x 8 > x-6 ris x>1-7x- + 5(-x+1)<x-7 ris x>/ x > (x+4) ris: x<- U x>4 - t + 5 < 6t ris 1<t<5 - x -x < 0 ris : 0<x< (x-5)(x+5)>0 ris x<-5 U x>5 - (x-7)(x+4) < 0 ris : -4< x <7 - x -x- > 0 ris x<-1 U x> x + 16 < 10x ris <x<8 - x(x-1)(x+)(x-)>0 ris x<- U 0<x<1 U x> (x x )( x -4x +4 ) >0 ris x<-1 U x> - ( x-1)(x-)(x -x+)<0 ris x x 1 x 5 ris x U x - 0 x x x ris x 5 x 6 x 5 ris x 1 U x 4-4 x 1 x 5 ris 5 x 15

3 x 5x 6 0 x x 1 0 ris -1<x</ 1 1 x 1 x x x x 4xx 1 x x 0 x x 5 0 x 5x 6 0 ris -1/4<x</ B) Disequazioni irrazionali risolte algebricamente x x 1 x x ris 0<x<1 ris 0<x<1 9x 0 x x x 6 ris x>1/ ½ <x< Se si tratta di radici cubiche ( ma analogamente se la radice ha indice dispari) basta isolare la radice ed elevare entrambi i membri al cubo : x elevo al cubo -x>8 ris. x<-5 x x x x-x >-x ris. x>0 elevo al cubo Se si tratta di radice quadrata ( in modo analogo se l esponente è pari) : 1 x 1 x elevo al cubo 1 - x >1- x -x + x -x + x <0 ris. 0<x<1

4 4 Risolvi le seguenti disequazioni irrazionali : x x x ris x<0. 4x ris x<-5/4. x x 0 ris x<-1 U 0<x<1. ris x x 7. ris - < x /. C) Rappresenta graficamente le seguenti rette, circonferenze, parabole, ellissi e iperboli ( rivedi gli appunti presi a lezione o il libro di testo di geometria analitica) ELLISSE RIFERITA AGLI ASSI Equazione retta // asse x y = k es. y= x /a +y /b =1 Equazione retta // asse y x = k es. x= Si cercano le intersezioni con l asse x e con Equazione retta per O(0,0) y = m x es. y= - 5x Equazione retta generica y= mx + q es y= - 5x + l asse y ( si trovano i 4 vertici e si rappresenta l ellisse) CIRCONFERENZA DI CENTRO C (a,b) e raggio r equazione cartesiana:» centro:» raggio: PARABOLA CON ASSE PARALLELO ASSE Y equazione cartesiana: vertice: IPERBOLE RIFERITA AI SUOI ASSI x /a -y /b =1 O -x /a +y /b =1 si cercano le intersezioni con l asse x e con l asse y individuando il rettangolo all esterno del quale va disegnata l iperbole, gli asintoti dell iperbole sono le diagonali del rettangolo (VEDERE SCHEDA DISTRIBUITA DURANTE L ANNO SCOLASTICO E PRESENTE SUL SITO WEB) y=-x+ y= 1 x 4 x-y = 0 6x-5y+10 =0 y= x -x y= -x +x-1 y= x -4 x +y = 4 x +y -x+4y = 0 x +y -x =0 x - 4y =1 x + y /9 =1 x -y =1 Scrivere l equazione della retta parallela ad x+y-4=0 e passante per P(-1 ;4).Rappresentazione grafica

5 Scrivere l equazione della retta perpendicolare ad x-y+=0 e passante per P(- ;-). Rappresentazione grafica Scrivere l equazione della retta che passa per i punti A(- ;4) ed B( ;-). Rappresentazione grafica. 5 TRIGONOMETRIA ( rivedi gli appunti presi a lezione o il libro di testo di trigonometria) Ripassa la definizione di seno, coseno e tangente di un angolo; i valori del seno, coseno e tangente degli angoli di 0, 45, 60 ; i grafici di sinusoide, cosinusoide e tangentoide D) Risolvi le seguenti equazioni in 0<x< π, in 0<x<60 e in R senx=1 Ris x = / ; x=90 ;x=/ +k senx= Ris: x=/4 ; /4 ; x= 45 ; 15 ; x= /4+k ; /4 +k cosx=-1 Ris x= ; x=180 ; x= +k cosx=1 Ris x= /; 5/ ; x= 60 ; 00 ; x=/+k; 5/+k tgx=0 Ris x=0; ; ; x= 0;180;60 ; x=k tgx - =0 x= /6;7/6 ; x=0;10 ; x=/6+k ; 7/6 +k; tg x-=0 ris x= /;/;4/;5/ x= 60, 10,40,00 x= +/ +k cos x cosx-1=0 ris x=0; ; /; 4/ ; x= 0;60;10;40 x=+k x=+/+k 4sen x + senx=0 ris x=0,, ; 7/6 ; 11/6 ; x=0;180;60;10;0 x=k ;+ 7/6+K Risolvere in 0<x< senx<-1 ; cosx +1 >0 ; senx<0 ; tgx<1 ; sen x senx >0 ; cos x 1 >0 ; senx<cosx; cosx-1>0 ESPONENZIALI E LOGARITMI E) Equazioni esponenziali e logaritmiche ri(vedi gli appunti presi a lezione o il libro di testo mod s) ESERCIZI GUIDA RISOLTI 5 5 Ricorda: 4 = 81 ; 1/ 9 / / Il logaritmo in base a ( numero reale positivo) di b è l esponente che si deve dare ad a per ottenere b << il log a b è x se e solo se a x =b >> ; log 9 ; log 1 8 ; log ; log Calcola a mente il valore dei seguenti logaritmi log (1/5) 15= Ris - log 64= Ris 6 log (1/) (1/81)= Ris 4 log 4 64= Ris Log (1/100)= Ris - log = Ris 4 PROPRIETà DEI LOGARITMI logaritmi godono delle seguenti proprietà: 1) log a 1=0 ) log a a=1 ) log a xy= log a x + log a y 4) log a x/y= log a x - log a y 5) log a x y = ylog a x 1 Calcola la condizione di esistenza dell esercizio x->0 quindi C. E. x> calcola il valore di x applicando la definizione di logaritmo x 0 C. E. quindi C.E. x>7/ x 7 0 si considerano solo gli argomenti (tolgo i log) x = x-7 quindi x = 7 accettabile (perché 7> 7/)

6 x-= 4 quindi x=8 il risultato trovato e accettabile? Esso e accettabile solo se appartiene al C.E. dell esercizio. Nel nostro caso il risultato e accettabile poiché 8>. x = 1/7 trasformo l'equazione in modo che compaiono potenze con la stessa base: x = - uguaglio gli esponenti: x = - Ris: x = - / 5 x = 1/65 trasformo l'equazione in modo che compaiono potenze con la stessa base: (5 ) x = x = 5-4 x = -4 Ris : x = - x+1 = 5 non potendo trasformare l equazione in potenze con la stessa base applico il logaritmo in base 10 ad entrambi i membri Log x+1 = Log 5 Uso la proprieta' dei logaritmi (x+1)log = Log 5 svolgo i calcoli, ricavo x ed ottengo xlog +Log = Log5 x= (Log 5 Log ) / (Log) E)Risolvi le equazioni esponenziali e logaritmiche Log x Logx 0 ho C.E. x>0 Pongo Log x = t e l equazione diventa t -t + = 0 la risolvo ed ho t=1 ed t= sostituisco t con Log x ( che è il log 10 x) Log x = 1 ed Log x = Ricordando la definizione di logaritmo: x = 10 ed x = 100 accettabili x - 5 x = Pongo x = t Risolvo l'equazione t -5t -=0 ottengo t=6 ed t=1 quindi ricordando che t= x x = -1 ed x = 6 impossibile ed x= (Log 6) / (Log ) x - 4* x + =0 con la sostituzione x = t diventa t - 4t +=0 la risolvo t=1 ed t= quindi x =1 mi da x = 0 x = mi da x = 1 SOLUZIONI x=0 ; x=1 1x x+1 =81 ris / ; 5 1-x 1 = 4 ris x=11/ ; 1 15 ris x - 8 (7 x ) + 7 = 0 ris 1 e 0 ; x - ( x ) -=0 ris 1 ; Log(x-)= ris 10; 6 Log(x+8) = Log (x -x) ris 4 U - ; Log x 11Logx +10 =0 ris 1 U ; log x log x 0 ris 9 U 1/ ; log (5-x) = 0 ris x=4 ; log 5 (6-x) = 1 ris x=1/ + COMPITI DELLE VACANZE SU FOGLIO A PARTE