LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO"

Transcript

1 66 6. LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO La circonferenza di centro C (, Pertanto la sua equazione si ottiene coi passaggi seguenti: PC = r (1 x x + y y =r ( x x + y y = r x xx+ x + y yy+ y = r x + y x x y y + x + y r = α β γ (3 x + y +α x+β y+γ = Dati dunque il centro C (, x y e raggio r è il luogo dei punti P( x, y tali che PC = r. x y e la misura r del raggio, l equazione si scriverà sotto la forma (1 o, meglio, già sotto la forma (, poi si faranno i calcoli per portarsi alla forma definitiva (3. ESEMPI 1 Scrivere l equazione della circonferenza di centro (,6 e raggio 5 (che è poi proprio quella della figura sopra! ( x ( y ( x ( y + 6 = = 5 x 8x+ 16+ y 1y+ 36= 5 x + y 8x 1y+ 7 = Per esercizio, prendi ora qualche punto che dalla figura risulti appartenere alla circonferenza, ad esempio il punto (1, o il punto ( 1, 6 e controlla, sostituendo, che le sue coordinate verificano l equazione trovata. Scrivere l equazione della circonferenza di centro A(1, 3 e passante per B( 6,1 Per prima cosa calcolo il raggio ( r = AB = = 7 + = = 65 = 5. Poi : x 1 + y+ 3 = 5 ; x x+ 1+ y + 6y+ 9 = 65; x + y x+ 6y 615 = 3 Scrivere l equazione della circonferenza di diametro AB, con A(, 3; B(, Innanzitutto determino il centro, punto medio del diametro: C, =, Poi calcolo il raggio, ad esempio come metà del diametro: r = =. Infine: ( x + y+ ; x x y y ; x y x y = = + + = 6 Osserviamo che a partire dalla (3 si può risalire alle coordinate del centro e alla misura del raggio tramite le formule seguenti: α β α= x x = β= y y = γ = x + y r r = x + y γ = da cui r = x + y γ

2 67 ESEMPIO Determinare centro e raggio della circonferenza di equazione x + y + x 3y = 18 Innanzitutto dobbiamo portare l equazione nella forma standard x + y +... =, che è poi quella in relazione alla quale valgono le formule ricavate in precedenza. In questo caso si tratterà di portare tutto a 1 membro e dividere per : 3 x + y + x y 9=. 3 Ora: x = = 1 y = = r = ( 1 + ( = + + = = Supponiamo invece che sia data un equazione della forma x + y +α x+β y+γ = con αβγ,, scelti in modo arbitrario. Sarebbe ora un errore dare per scontato che l equazione data rappresenti per forza una circonferenza. Consideriamo infatti l equazione x + y +α x+β y+γ = e cerchiamo di ricondurla, se possibile, col metodo del completamento del quadrato, alla forma (. Avremo: α α β β α β α β x +α x+ + y +β y+ +γ = ; x+ y + + = + γ α β α β x y + = + γ α β Tutto ora dipende dal segno della quantità a secondo membro + γ. Infatti, se tale quantità è <, si vede che l equazione non può essere soddisfatta da alcuna coppia ( x, y (una somma di due quadrati non potrà mai dare come risultato un numero negativo e saremo costretti a concludere che l equazione data rappresenta il luogo vuoto. α β Se poi è + γ=, l equaz. data sarà verificata se e solo se si annullano contemporaneamente α β entrambi i quadrati a primo membro, e quindi le loro basi; ma ciò avviene solo con x =, y =. α β Perciò, in questo caso, l equazione è soddisfatta dalle coordinate di un punto soltanto: il punto,. Il luogo che l equazione rappresenta è in questo caso puntiforme (potremmo, con un po di fantasia, pensare ad una circonferenza di raggio nullo, ridotta al solo centro. Se, infine, è α β + γ >, l equazione può essere scritta come α x β y + = r, avendo posto α β r = + γ α β e rappresenta effettivamente una circonferenza, di centro, e raggio Riassumendo, e impostando il discorso da un punto di vista pratico, diremo dunque che: α β r = + γ. Data un equazione della forma x + y +α x+β y+γ=, noi ci aspettiamo in generale che rappresenti una circonferenza, x, y del centro e la misura r del raggio con le formule e andiamo subito a calcolarne le coordinate ( α β α β x = ; y = ; r = + γ Se, tuttavia, applicando la terza formula ci ritroviamo con un radicando negativo, dovremo fare marcia indietro e concludere che l equazione assegnata non rappresentava una circonferenza bensì il luogo vuoto. Nel caso poi il radicando ci risulti nullo, concluderemo che l equazione assegnata rappresenta una circonferenza degenere, di raggio nullo, ridotta perciò al suo solo centro.

3 68 ESEMPI SVOLTI - PROBLEMI SULLA CIRCONFERENZA Sarà molto utile tenere sempre presenti le osservazioni che seguono. Una circonferenza x + y +α x+β y+γ = passa per l origine se e soltanto se la sua equazione ha γ=, ossia: manca del termine noto, è della forma x + y +α x+β y = ha il centro sull asse x se e soltanto se la sua equazione manca del termine con y, vale a dire ha β= ha il centro sull asse y se e soltanto se la sua equazione manca del termine con x, vale a dire ha. α= Se in un qualsiasi problema occorre determinare n parametri, si imposterà a tale scopo un sistema con n condizioni contenenti quei parametri. 1 Scrivere l equazione della circonferenza passante per i tre punti A( 3,3; B(,; C(1,5. Il problema può essere risolto CON METODO ALGEBRICO O CON METODO GEOMETRICO. Il metodo algebrico ( METODO DELL APPARTENENZA consiste nello scrivere l equazione della generica circonferenza x + y +α x+β y+γ=, per poi determinare la terna di coefficienti α, β, γ scrivendo le condizioni di appartenenza dei tre punti A, B, C e facendone il sistema. Γ : x + y +α x+β y+γ = A( 3,3 Γ: ( α ( 3 +β 3 +γ = B(, Γ: ( + +α ( +β +γ = C(1,5 Γ : α 1+β 5 +γ = α+ 3β+γ = 3α+ 3β+γ = 18 α = + 16 α+ β+γ = α+ β+γ =... β = da cui Γ : x + y x = 1+ 5+α+ 5β+γ= α+ 5β+γ= 6 γ= Il metodo geometrico ( METODO DEGLI ASSI consiste nel tener presente che in una circonferenza l asse di una corda passa sempre per il centro; perciò il centro di una circonferenza può essere individuato come punto di intersezione degli assi di due corde qualsiasi. Facile poi calcolare il raggio; dopodiché, noti centro e raggio, si potrà scrivere l equazione sotto la forma x x + y y = r Asse di AB: x+ 3 + y 3 = x+ + y... x+ y 1= Asse di BC: ( x+ + ( y = ( x 1 + ( y x+ y 3= x+ y 1= x = 1 Intersezione D dei due assi:... D(1, 3x+ y 3= y = Equazione circonferenza: Raggio: DA = = 5 1 5; 1 5; x + y = x x+ + y = x + y x = Scrivere l equazione della circonferenza di centro A(, e passante per B( 3,5 r = AB = 3 ( + 5 = 1+ 9 = 1 ( Circonferenza di centro A, e raggio 1: ( x+ + ( y = ( 1 x x y y = 1 x + y + 8x y+ 1=

4 69 ALTERNATIVA, decisamente meno conveniente L equazione di una circonferenza è sempre della forma x + y +α x+β y+γ =. Ora, dette (, x y le coordinate del centro, sappiamo che valgono le formule α β = α= = β=. x, y =, avremo dunque x da cui x; y da cui y Nel nostro caso, essendo ( ( x + y + 8x y+γ = quindi resterà da determinare solo γ. A tale scopo, possiamo porre la condizione di appartenenza del punto B( 3,5 e otterremo: ( ( 3 5 +γ = ; γ = ; γ = 1 In definitiva l equazione sarà: x + y + 8x y+ 1= 3 Scrivi l equazione della circonferenza che passa per i due punti O(, e A(7, 1 e ha il centro sulla retta di equazione x + y + 1= 1 MODO E noto che in una circonferenza il centro sta sull asse di ogni corda. Allora per trovare il centro basterà scrivere l equazione dell asse del segmento OA e successivamente trovare l intersezione fra tale asse e la retta x + y + 1=. Asse di OA : P( xy, PO = PA PO = PA x + y = x 7 + x+ 1 x + y = x 1x+ 9 + y + y + 1 1x y 5 = 7x y 5= Intersezione fra l asse trovato e la retta x + y + 1=, per determinare il centro: { { 7x y 5= x = 3... C(3, x+ y+ 1= y = Raggio: Equazione circonferenza: r = CO = 3 + = = 5 = x + x+ = x + y x+ y = MODO Presa la generica equazione di una circonferenza x + y +α x+β y+γ= abbiamo 3 parametri α, β, γ da determinare e dobbiamo quindi fare un sistema con 3 condizioni. Appartenenza di O(, : γ= Appartenenza di A(7, 1 : α β+γ =, 7α β+γ = 5 α β Appartenenza del centro, che ha coordinate,, alla retta x y + + 1= : α β + 1=, α β+ =, α+β= γ= α= 6 7 α β+γ= 5... β= 8 da cui l'equazione : x + y 6x+ 8y = α+β= γ=

5 7 Scrivi l equazione della circonferenza che ha per centro il punto C(, ed è tangente alla retta y = 3x+ 1 MODO Il raggio della circonferenza sarà la distanza fra il centro C(, e la retta y = 3x+ ; 3x y+ = r = = Equazione: 1 ( x + ( y = 1 1 x 8x+ 16+ y y+ = 1 1x 8x y y+ = 1 1x + 1y 8x y+ 56 = x + y x y+ = MODO (puramente algebrico, molto meno conveniente! Presa la generica equazione di una circonferenza x + y +α x+β y+γ = la conoscenza delle coordinate del centro C(, ci assicura (vedi esercizio, ALTERNATIVA che è α= x = 8, β= y =. Dunque l equazione sarà x + y 8x y+γ =. Per determinare poi γ possiamo porre la condizione di tangenza con la retta y = 3x+. In pratica, il sistema finalizzato a determinare le intersezioni retta-circonferenza, ossia il sistema y = 3x+, x y + 8x y+γ = dovrà avere 1 sola soluzione. Scriviamo dunque l equazione risolvente del sistema x + (3x+ 8x (3x+ +γ = x + 9x+ 1x + 8x 1x 8+γ= 1x 8x +γ = e domandiamoci: per quale valore di γ questa equazione, che è di grado, ha eccezionalmente 1 sola soluzione anziché? Un equazione di grado ha 1 sola soluzione ( = soluzioni coincidenti fra loro se e soltanto se Δ=. Quindi dovrà essere Δ=, oanche Δ 56 8 = ; ( 1( +γ = ; γ = ; γ = = 1 5 L equazione cercata è 8 x + y 8x y+ = 5 5x + 5y x y+ 8 =

6 71 5 Scrivere l equazione della circonferenza che ha centro in A(, e stacca sulla retta r: y = x+ 3 una corda BC la cui lunghezza è 6. Fatto un disegno approssimativo, possiamo tracciare la perpendicolare AH dal centro A alla corda BC. Com è noto, tale perpendicolare taglierà a metà la corda stessa, quindi si avrà BH = HC = 3. Se allora calcoliamo la lunghezza del segmento AH, che è poi la distanza del centro A(, dalla retta r: y = x+ 3; x y+ 3=, potremo poi, con Pitagora, determinare il raggio AC e infine, essendo noti il centro e il raggio, scrivere l equazione richiesta AH = d(a, r = = = AC AH HC 3 18 ( = + = + = + = Equazione circonferenza di centro ( A, e raggio 1 / : + = ; + + = 1 1 x y x x y x + y 8x 53 = In ALTERNATIVA, si sarebbe potuto (metodo algebrico, in questo caso molto meno conveniente: I scrivere l equazione della circonferenza avente per centro il punto A(,, lasciando indicata con r la misura del raggio: x + y = r II determinare le coordinate dei punti di intersezione di questa circonferenza con la retta r: y = x+ 3: ( x + ( y = r y = x + 3 y= x+ 3 ( 1± 1 13 r ; 1± r 5 x + x+ 3 = r ; x + x+ 13 r = ; x1, = = 1 r 5 1+ r 5 x= x= B: C: 1 r 5 5 r 5 1 r y x r = + = + = y= x+ 3= + 3= III Calcolare la distanza BC (che dipende dal parametro r e poi domandarsi per quale valore di r tale distanza risulta uguale proprio a 6 + x = x B: = C: + y = y = 1 r 5 1 r 5 5 r 5 5 r 5 1+ r 5 1 r r 5 5 r 5 BC = + = r 5 + r 5 = + = r 5 r 5 r r 5 = 6 ; r 5= 7; r = 1; r = ; r = =, ecc. =

7 7 6 Condurre dal punto P(1,6 le tangenti alla circonferenza di equazione x + y x+ y =. S intende che sono richieste le equazioni di queste due rette tangenti. Il problema può essere risolto con METODO ALGEBRICO o con METODO GEOMETRICO. Il metodo algebrico ( METODO DEL DELTA consiste nel porre l equazione data a sistema con l equazione della generica retta per P x + y x+ y = y 6 = m( x 1 per poi determinare i valori di m per i quali questo sistema di grado, anziché portare a due valori per la coppia (x, y quindi a due punti di intersezione retta-circonferenza porta ad una sola coppia (x, y, quindi ad un solo punto di intersezione. L equazione risolvente sarà un equazione di secondo grado contenente il parametro m nei coefficienti. Ma un equazione di secondo grado ammette una sola soluzione se e solo se Δ =! Coraggio: x + y x+ y = y = mx m + 6 y = mx m+ 6 x ( mx m x+ ( mx m+ 6 = Considero ora la sola equazione risolvente. x + ( mx m+ 6 x+ ( mx m+ 6 = Svolgo i calcoli, ordino i termini ( prima quelli con x, poi quelli con x, infine i termini noti, ossia quelli non contenenti né x né x x + mx + m+ 36 ** m x + 1 mx 1 m x + mx m+ 1 ** = ** x + mx mx+ 1mx x+ m 1m+ 8 = 1+ m x m 7m+ x+ m 1m+ 8 = (

8 73 A questo punto NON MI INTERESSA risolvere l equazione: mi interessa invece cercare quali sono i valori di m per cui l equazione ha 1 sola soluzione anziché. E tali valori di m saranno quelli per i quali il Δ dell equazione (o, indifferentemente, il Δ della formula ridotta, ossia il Δ/ è uguale a. Δ = ( m 7m+ ( 1+ m ( m 1m+ 8 = m + 9m+ 1m3 + m 8m m + 1m 8 m 1m3 ** ** m 1m = ± ± 65 7 ± 5 = m 1, = = = = 3 = 3 Le due rette tangenti hanno dunque equazioni: + 8m = y 6 = m( x 1 3 con m = o, rispettivamente, m = 3 e sono perciò: t1 : y 6 = ( x 1; y = x+ + 6; y = x+ 1 t : y 6 = ( x 1; y = x + 6; y = x Il metodo geometrico ( METODO DELLA DISTANZA consiste nello scrivere l equazione della generica retta per P: y 6 = m( x 1 e nell imporre la condizione che tale retta abbia distanza, dal centro della circonferenza (le cui coordinate sono immediatamente ricavabili dall equazione, uguale al raggio della circonferenza stessa (anch esso ricavabile dall equazione. x + y x+ y = α β C, =, 1 r = + 1+ = 5 ( Distanza della retta y 6 = m( x 1 ossia y = mx m+ 6 o anche mx y m + 6= dal centro (, 1 : m ( 1 m+ 6 m+ 1 m+ 6 m+ 7 d = = = m + 1 m + 1 m + 1 d = 5 m + 7 = 5 m + 1 m+ 7 = 5 m + 1 m+ 1m+ 9 = 5m + 5 m + 1m+ = 1m 7m 1 = 7± / valori uguali a quelli m1, = = determinati /3 col metodo precedente!

9 7 7 Condurre dal punto P(,1 le tangenti alla circonferenza di centro A( 3,1 e raggio 5. L interesse di questo problema sta nel fatto che il punto è esterno, quindi le tangenti sono due, ma scrivendo l equazione della generica retta per P y 1 = m( x e poi applicando il metodo del delta o il metodo della distanza, di tangente se ne trova una sola. E per forza! La seconda tangente è, in questo caso, una retta parallela all asse y, quindi non rappresentabile sotto la forma y y = mx ( x. La tangente mancante, dunque, non verrà determinata col calcolo, ma semplicemente dall osservazione del disegno. Metodo del Δ : ( x+ 3 + ( y 1 = 5 y 1 = m( x x + 6x+ 9+ y y+ 1= 5 y 1 = mx m x + y + 6x y 15= y = mx m + 1 x + ( mx m x ( mx m = x + mx + m + 1 mx+ mx m+ 6x mx + m 15 = x + mx mx+ 18mx+ 6x+ m 36m+ 65= ( 1+ m x ( m 9m 3 x+ ( m 36m+ 65 = Δ = ( m 9m 3 ( 1+ m ( m 36m+ 65 = m + 81m m3 1m + 5m m + 36m 65 m 36m3 65m 9m 56 = 56 8 m = = Una tangente ha dunque equazione y 1 = ( x y = x+ ; L'altra tangente equazione che si trae direttamente dalla figura : x = + = In ALTERNATIVA, metodo della distanza: imponiamo che sia uguale a 5 la distanza della retta y 1 m( x y 1 = m( x y 1 = mx m mx y m + 1= m ( 3 1 m+ 1 = 5 m + 1 3m 1 m+ 1 5m+ 9 5m = dal punto A( 3,1 = 5; = 5; 5m+ 9 = 5 m + 1; m + 1 m + 1 9m+ 81 = 5m ; 9m = 56; m = =... stesse conclusioni di prima. 9 5

10 8 Scrivere l equazione della retta tangente nell origine alla circonferenza La differenza fra questo problema e i due precedenti sta nel fatto che QUESTA VOLTA IL PUNTO APPARTIENE ALLA CIRCONFERENZA. Oltre al metodo del delta e al metodo della distanza, abbiamo allora a disposizione anche un terzo e comodissimo metodo, che potremmo chiamare METODO DELLA PERPENDICOLARITA : la tangente cercata è semplicemente la retta, passante per l origine, e ivi perpendicolare al raggio che ha un estremo nell origine. 75 Determiniamo dunque il coefficiente angolare della retta CO: Δy yc yo 1 1 mco = = = = Δx xc xo 3 3 dopodiché sarà m t = 3 da cui: t: y = 3x x + y 6x y = 9 Scrivi le equazioni delle circonferenze, col centro sull asse y, tangenti alle due rette 1 7 r1: y = x ; r : y = x+. METODO GEOMETRICO Facendo la figura si vede che il problema ha soluzioni. In ciascuno dei due casi, il centro può essere determinato come intersezione fra l asse y e una delle bisettrici (tratteggiate degli angoli formati dalle rette r1, r. Il raggio sarà poi la distanza fra il centro così trovato e r 1 o, indifferentemente, r. Noti il centro e il raggio si scriverà l equazione richiesta. Fai tu tutti i calcoli. Il METODO ALGEBRICO è più pesante. Vediamolo. Si scrive l equazione della generica circonferenza che ha per centro un punto C,k ( sull asse y e raggio indicato con r: x + y k = r. Tale equazione contiene due parametri k, r. Si tratta ora di determinare tali due parametri in modo che la circonferenza sia tangente a entrambe le rette r1, r. Condizione di tangenza con x + ( y k = r ( r1 : x + y k = r r y = x : 1 7 y = x + x + ( x k = r 1 7 x + x k + 5x + ( + k x+ ( 16+ 8k + k r = = r 5x Δ ( 7 k x+ ( 9 8k + k r = = ( + k 5( k + k r = Δ = ( 7 k 5( 9 8k + k r = k 8k 16+ 5r = 16k + 11k r = ( k 3k 6 r (1 a eq. k 8k 16+ 5r = + + = 16k 11k 196 r 16k 11k 196 r + + = + + = ( ( (1 ( 1k 1k 13 ; k 1k 11 ; k 1 k 11 ; k 1 k = + = = = = k = 1 k = r = ; r = 5; r = r = ; r = 5; r = 5 = 3 5

11 Scrivi le equazioni delle circonferenze tangenti alle tre rette y =, y = x, y = x+. Il metodo geometrico è di gran lunga il più efficace. Si tratta di trovare i centri intersecando le bisettrici di opportuni angoli, poi Procediamo. Equazioni di b1 e b 6, bisettrici degli angoli formati dalle rette y = ey = x (x y = : y x y x y = ; y = ; y 5= x y; y 5=± ( x y x 5 1 ( I y 5= x y; y 5+ y= ; x y( 5+ 1 = ; x y= = x= x ( b ( II y 5 = x + y; y 5 y= x; y( 5 1 = x; y = x = x= x ( b Equazioni di b e b5, bisettrici degli angoli formati da y = e y = x+ ( x+ y 5= : y x+ y 5 x+ y 5 = ; y = ; y 5 = x+ y 5; y 5 = ± ( x+ y I y 5 = x+ y 5; y 5 y = x 5; y 5 = x 5; ( ( x 5( 5+ ( 5 x 5( 5 ( b5 5 ( ( x + 5( 5 ( x ( x 5 5+ y = = = II y 5 = x y+ 5; y 5 + y = x+ 5; y 5 + = x+ 5; x y = = = ( b

12 Equazioni di b3 e b, bisettrici degli angoli formati da y= x (x y= e y= x+ ( x+ y 5= : x y x+ y 5 x y x+ y 5 = ; = ; x y =± ( x+ y I x y = x+ y 5; 3y = x 5; 3y = x+ 5; y = x+ ( b 3 3 II x y = x y+ 5; y = 3x+ 5 ( b 5 1 y = x b 1 b (F : y = + ( 5 x 5( 5 ( 5 x 5( x = + x 5 x = x 5+ x+ 1 5 ; 3x 5 5x = 1 5 ; ( x = 1( 5 ; 1( 5 1( ( x = = = = x = y = = = = F, Raggio della circonferenza di centro F, : r = d( F, y = = yf = = Equazione della circonferenza di centro F, : e raggio = : x y + = ( 5 5 ( x x+ + y y ( 5 5 ( = x y x y oanche ( x + y 5 5 x y+ 5 5 = = Abbiamo proposto questo esercizio come esempio di problema con calcoli più complicati del solito; prosegui ora tu, se lo desideri, con le equazioni delle altre tre circonferenze.

Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza

Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 1 ottobre 011 Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Esercizio 1. La circonferenza ha centro in C 4 ), 7, 7 ) e raggio + 7 57

Dettagli

La circonferenza nel piano cartesiano

La circonferenza nel piano cartesiano 6 La circonferenza nel piano cartesiano onsideriamo la circonferenza in figura in cui il centro è ; e il raggio 5 r : se indichiamo con P ; un punto della circonferenza avremo, per definizione, che la

Dettagli

Liceo Scientifico Michelangelo - Forte dei Marmi. Esercizi sulla circonferenza svolti - Classe Terza

Liceo Scientifico Michelangelo - Forte dei Marmi. Esercizi sulla circonferenza svolti - Classe Terza Liceo Scientifico Michelangelo - Forte dei Marmi Esercizi sulla circonferenza svolti - Classe Terza Esercizio 0. Stabilire se le equazioni x + y x + 3y + e x + y x + 6y 3 rappresentano una circonferenza

Dettagli

C I R C O N F E R E N Z A...

C I R C O N F E R E N Z A... C I R C O N F E R E N Z A... ESERCITAZIONI SVOLTE 3 Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r... 3 Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A... 3 Equazione della

Dettagli

Appunti sulla circonferenza

Appunti sulla circonferenza 1 Liceo Falchi Montopoli in Val d Arno - Classe 3 a I - Francesco Daddi - 16 aprile 010 Appunti sulla circonferenza In queste pagine sono trattati gli argomenti riguardanti la circonferenza nel piano cartesiano

Dettagli

Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica

Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica 1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche

Dettagli

Esercizi svolti sulla parabola

Esercizi svolti sulla parabola Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 19 dicembre 011 Esercizi svolti sulla parabola Esercizio 1. Determinare l equazione della parabola avente fuoco in F(1, 1) e per direttrice

Dettagli

2. Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A ( 2; 4), B ( 1; 3) ed avente centro sulla retta di equazione 2x 3y + 2 = 0.

2. Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A ( 2; 4), B ( 1; 3) ed avente centro sulla retta di equazione 2x 3y + 2 = 0. CLASSE 3^ C LICEO SCIENTIFICO Novembre 01 La circonferenza 1. Ricava l equazione di ciascuna delle circonferenze rappresentate, spiegando in maniera esauriente il procedimento che seguirai, prima di svolgere

Dettagli

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole.

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Teoria in sintesi Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono

Dettagli

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad

Dettagli

La circonferenza nel piano cartesiano

La circonferenza nel piano cartesiano La circonferenza nel piano cartesiano 1. Definizione ed equazione. Si chiama circonferenza C, di centro C( α, β ) e raggio r, l insieme di tutti e soli i punti del piano che hanno distanza r da C. L equazione

Dettagli

Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato

Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato * * * n. 0 pag. 06 a) Scrivi l equazione della circonferenza γ 1 di centro P ; ) e passante per il punto A0; 1). b) Scrivi l equazione della circonferenza

Dettagli

MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO

MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO MATEMATICA LA CIRCONFERENZA GSCATULLO La Circonferenza La circonferenza e la sua equazione Introduzione e definizione La circonferenza è una conica, ovvero quella figura ottenuta tagliando un cono con

Dettagli

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()

Dettagli

LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE

LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO DEFINIZIONE Assegnato nel piano un punto C, detto centro, si chiama circonferenza la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti

Dettagli

Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto

Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto La parabola Esercizi Esercizio 368.395 Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto 0 ;5 e raggio, e la parabola ha il suo vertice in 0 ;0.

Dettagli

LA CIRCONFERENZA. Ricaviamola. Tutti i punti P che stanno sulla circonferenza hanno la proprietà comune che

LA CIRCONFERENZA. Ricaviamola. Tutti i punti P che stanno sulla circonferenza hanno la proprietà comune che LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro. Si ottiene tagliando un cono con un piano perpendicolare al suo asse. La distanza fra ognuno

Dettagli

Circonferenze del piano

Circonferenze del piano Circonferenze del piano 1 novembre 1 Circonferenze del piano 1.1 Definizione Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di un qualunque punto della

Dettagli

Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse:

Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse: La retta Retta e le sue equazioni Equazioni di rette come luogo geometrico y = h h R equazione di una retta parallela all asse delle ascisse x = 0 equazione dell asse delle ordinate y = h h R equazione

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA 2

GEOMETRIA ANALITICA 2 GEOMETRIA ANALITICA CONICHE Dopo le rette, che come abbiamo visto sono rappresentate da equazioni di primo grado nelle variabili x e y (e ogni equazione di primo grado rappresenta una retta), le curve

Dettagli

2 di quello dela circonferenza data. Scrivere le

2 di quello dela circonferenza data. Scrivere le PROBLEMA. Raccolta di problemi sulla circonferenza Scritta l equazione della circonferenza con centro in ( ) C e passante per l origine O, si conducano per O la retta a di equazione + y indicando con A

Dettagli

EQUAZIONE DELLA RETTA

EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale

Dettagli

Determina il terzo vertice A di un triangolo di cui. l ortocentro

Determina il terzo vertice A di un triangolo di cui. l ortocentro La Retta Esercizi Esercizio 6. Determina il terzo vertice A di un triangolo di cui sono noti due vertici ; 1, 1; e l ortocentro ;. Soluzione 1 Analizziamo il problema ragionando, per semplicità, su un

Dettagli

2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi)

2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi) 2. APPUNTI SUI FASCI DI CIRCONFERENZE (raccolti dal prof. G. Traversi) La circonferenza è la curva di 2^ grado che viene individuata univocamente da tre punti non allineati e possiede la seguente proprietà:

Dettagli

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano:

1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: QUESITI 1 PIANO CARTESIANO 1. (Da Medicina e Odontoiatria 2012) Determinare l'area del triangolo che ha come vertici i punti (0,0), (0,1), (13,12) del piano cartesiano: a) 6 b) 13/2 c) 12 d) 13 e) 78 2.

Dettagli

La retta nel piano cartesiano

La retta nel piano cartesiano La retta nel piano cartesiano Se proviamo a disporre, sul piano cartesiano, una retta vediamo che le sue possibili posizioni sono sei: a) Coincidente con l asse delle y; b) Coincidente con l asse delle

Dettagli

Esercizi e problemi sulla parabola

Esercizi e problemi sulla parabola Esercizi e problemi sulla parabola Esercizio 1. Si consideri l'insieme di parabole: con k R, k 1. Γ k : y = (k + 1)x x + k 4 (a) Determinare, per quali k, la parabola passa per l'origine. (b) Determinare,

Dettagli

Prodotto scalare e ortogonalità

Prodotto scalare e ortogonalità Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano

Dettagli

Ellisse. Come fa un giardiniere a creare un aiuola di forma ellittica?

Ellisse. Come fa un giardiniere a creare un aiuola di forma ellittica? Ellisse Come fa un giardiniere a creare un aiuola di forma ellittica? Pianta due chiodi, detti fuochi, nel terreno ad una certa distanza. Lega le estremità della corda, la cui lunghezza supera la distanza

Dettagli

Unità Didattica N 9 : La parabola

Unità Didattica N 9 : La parabola 0 Matematica Liceo \ Unità Didattica N 9 La parabola Unità Didattica N 9 : La parabola ) La parabola ad asse verticale ) La parabola ad asse orizzontale 5) Intersezione di una parabola con una retta 6)

Dettagli

Equazione cartesiana della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate Siano F(x F; y

Equazione cartesiana della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate Siano F(x F; y LEZIONI PARABOLA Definizione Si definisce parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso,, detto fuoco, e da una retta fissa, d, detta direttrice. La definizione data mette

Dettagli

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee

1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee 1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di

Dettagli

GEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB);

GEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB); VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 GEOMETRIA PIANA Segmenti e distanza tra punti. Rette in forma cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette, parallelismo e perpendicolarità. Angoli e distanze.

Dettagli

il discriminante uguale a zero; sviluppando i calcoli si ottiene che deve essere

il discriminante uguale a zero; sviluppando i calcoli si ottiene che deve essere Macerata maggio 0 classe M COMPITO DI MATEMATICA RECUPERO ASSENTI QUESITO Considera il fascio di curve di equazione: x y (.) = k + k 6 a) Trova per quali valori di k si hanno delle ellissi. Deve essere

Dettagli

Parte 11. Geometria dello spazio II

Parte 11. Geometria dello spazio II Parte 11. Geometria dello spazio II A. Savo Appunti del Corso di Geometria 2010-11 Indice delle sezioni 1 Il prodotto scalare, 1 2 Distanze, angoli, aree, 4 3 Il prodotto vettoriale, 6 4 Condizioni di

Dettagli

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9 Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio

Dettagli

Stabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1.

Stabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1. Definizione di circonferenza e cerchio. Equazione della circonferenza centrata in O e di raggio R. Esercizi. La circonferenza e il cerchio Definizioni: dato un punto C nel piano cartesiano e dato un numero

Dettagli

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani L equazione di una parabola generica è data da: Consideriamo l equazione che definisce i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

1 Nozioni utili sul piano cartesiano

1 Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Il piano cartesiano è un sistema di riferimento costituito da due rette perpendicolari (una orizzontale detta asse delle ascisse x

Dettagli

1 Geometria analitica nel piano

1 Geometria analitica nel piano Lezioni di Geometria a.a. 2007-2008 cdl SIE prof. C. Franchetti 1 Geometria analitica nel piano 1.1 Distanza di due punti Siano P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) due punti del piano, se d(p 1, P 2 )

Dettagli

1. LA GEOMETRIA ANALITICA

1. LA GEOMETRIA ANALITICA LA GEOMETRIA ANALITICA IL PIANO CARTESIANO Coordinate cartesiane Due rette orientate nel piano perpendicolari tra loro, aventi come punto d intersezione il punto O, costituiscono un sistema di riferimento

Dettagli

Punti nel piano cartesiano

Punti nel piano cartesiano Punti nel piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo x e. Solitamente, disegniamo la retta x (ascisse) orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta e

Dettagli

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato; RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z

Dettagli

Piano cartesiano e Retta

Piano cartesiano e Retta Piano cartesiano e Retta 1 Piano cartesiano e Retta 1. Richiami sul piano cartesiano 2. Richiami sulla distanza tra due punti 3. Richiami punto medio di un segmento 4. La Retta (funzione lineare) 5. L

Dettagli

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente

Dettagli

Macerata 24 marzo 2015 classe 3M COMPITO DI RECUPERO ASSENTI. k <, mentre se. x = e. x = che sono le soluzioni dell equazione, 3 9

Macerata 24 marzo 2015 classe 3M COMPITO DI RECUPERO ASSENTI. k <, mentre se. x = e. x = che sono le soluzioni dell equazione, 3 9 Macerata 4 marzo 015 classe M COMPITO DI RECUPERO ASSENTI Problema 1 y = k x + 5k x 4 + k E dato il fascio di parabole di equazione ( ) ( ). SI ha quindi la concavità rivolta k = si ha la parabola degenere

Dettagli

1. Scrivi l equazione dell ellisse avente per fuochi i punti ( 2 7;3) e (2 7;3) e passante per il punto (2 6;4).

1. Scrivi l equazione dell ellisse avente per fuochi i punti ( 2 7;3) e (2 7;3) e passante per il punto (2 6;4). . Scrivi l equazione dell ellisse avente per fuochi i punti ( 7;3) e ( 7;3) e passante per il punto ( 6;). Determino il centro di simmetria dell ellisse, O, punto medio dei due fuochi, ovvero (0;3), perciò

Dettagli

Geometria Analitica Domande e Risposte

Geometria Analitica Domande e Risposte Geometria Analitica Domande e Risposte A. Il Piano Cartesiano. Qual è la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano? Per calcolare la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano

Dettagli

La circonferenza e la sua equazione

La circonferenza e la sua equazione La circonferenza e la sua equazione 1. I termini Ricordiamo che la circonferenza è una linea chiusa del piano costituita da tutti e soli i punti che hanno una data distanza da un punto fissato. In altri

Dettagli

ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA

ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA 0.1. EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA 0.1. EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA Exercise 0.1.1. Si scriva l'equazione della circonferenza che passa per i punti O 0; 0) e A 7; 0)

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA 1 IL PIANO CARTESIANO

GEOMETRIA ANALITICA 1 IL PIANO CARTESIANO GEOMETRI NLITIC 1 IL PINO CRTESINO Il piano cartesiano è costituito da due rette orientate e tra loro perpendicolari chiamate assi cartesiani, generalmente una orizzontale e l altra verticale, sulle quali

Dettagli

Fasci di Coniche. Salvino Giuffrida. 2. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente

Fasci di Coniche. Salvino Giuffrida. 2. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente 1 Fasci di Coniche Salvino Giuffrida 1. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per O = (0, 0), con tangente l asse y, e per i punti (1, 0), (1, ). Determinare vertice e asse della

Dettagli

D4. Circonferenza - Esercizi

D4. Circonferenza - Esercizi D4. Circonferenza - Esercizi Trasformare l equazione della circonferenza nell altra forma e rappresentare graficamente la circonferenza trovandone prima centro e raggio. 1) + --=0 [(-1) +(-1) =, C(1;1),

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni Esercizio 1. a) Disegnare la retta r di equazione cartesiana x 2y 4 = 0. b) Determinare l equazione cartesiana della retta r 1 passante per P

Dettagli

f(x) = sin cos α = k2 2 k

f(x) = sin cos α = k2 2 k 28 Maggio 2015 Il punteggio viene attribuito in base alla correttezza e completezza nella risoluzione dei quesiti, nonché alle caratteristiche dell esposizione: chiarezza, ordine ed organicità. La sufficienza

Dettagli

Geometria analitica del piano pag 25 Adolfo Scimone. Equazione della retta perpendicolare ad una retta data passante per un punto

Geometria analitica del piano pag 25 Adolfo Scimone. Equazione della retta perpendicolare ad una retta data passante per un punto Geometria analitica del piano pag 5 Adolfo Scimone Equazione della retta perpendicolare ad una retta data passante per un punto Consideriamo una retta r di equazione r: ax by sia P ( x y), un punto del

Dettagli

Rette e piani in R 3

Rette e piani in R 3 Rette e piani in R 3 In questa dispensa vogliamo introdurre in modo elementare rette e piani nello spazio R 3 (si faccia riferimento anche al testo Algebra Lineare di S. Lang). 1 Rette in R 3 Vogliamo

Dettagli

misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x

misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x 4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto

Dettagli

CLASSE 3^ A LICEO SCIENTIFICO 25 Febbraio 2015 Geometria analitica: la parabola (recupero per assenti)

CLASSE 3^ A LICEO SCIENTIFICO 25 Febbraio 2015 Geometria analitica: la parabola (recupero per assenti) CLASSE ^ A LICEO SCIENTIFICO 5 Febbraio 05 Geometria analitica: la parabola (recupero per assenti). Dopo aver determinato l equazione della parabola, con asse parallelo all asse y, passante per i punti

Dettagli

Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler)

Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler) Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler) Equazione della retta in forma esplicita Sia data una retta r ax + by + c = 0 con b 0. Svolgendo questa equazione per y otteniamo e ponendo

Dettagli

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare

Dettagli

e) A10, ( 1;B6,2 ) ( ) f) A3,42;B12,2

e) A10, ( 1;B6,2 ) ( ) f) A3,42;B12,2 7. ESERCIZI SULLA DISTANZA FRA DUE PUNTI ) Calcola le distanze fra le seguenti coppie di punti: a) A;B6 ( ) ( ) A( 8 ); B( 7 5) c) A ( ;B ) ( 7) d) A( ); B e) A ( ;B6 ) ( ) f) A4;B ( ) ( ) g) A ; B 6 h)

Dettagli

Quaderno per il recupero del debito MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 2016/2017 Prof.ssa Migliaccio Gabriella CLASSE III

Quaderno per il recupero del debito MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 2016/2017 Prof.ssa Migliaccio Gabriella CLASSE III Quaderno per il recupero del debito MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 016/017 Prof.ssa Migliaccio Gabriella CLASSE III Gli esercizi vanno svolti e consegnati, anche su un quaderno, il giorno dell esame per il

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA. (*) ax+by+c=0 con a,b,c numeri reali che è detta equazione generale della retta.

GEOMETRIA ANALITICA. (*) ax+by+c=0 con a,b,c numeri reali che è detta equazione generale della retta. EQUAZIONE DELLA RETTA Teoria in sintesi GEOMETRIA ANALITICA Dati due punti A e B nel piano, essi individuano (univocamente) una retta. La retta è rappresentata da un equazione di primo grado in due variabili:

Dettagli

Esercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione

Esercizi geometria analitica nello spazio. Corso di Laurea in Informatica. Docente: Andrea Loi. Correzione Esercizi geometria analitica nello spazio Corso di Laurea in Informatica Docente: Andrea Loi Correzione 1. Denotiamo con P 1, P 13, P 3, P 1, P, P 3, P i simmetrici di un punto P rispetto ai piani coordinati

Dettagli

LE COORDINATE CARTESIANE

LE COORDINATE CARTESIANE CORSO ZERO DI MATEMATICA per Ing. Chimica e Ing. delle Telecomunicazioni GEOMETRIA ANALITICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate

Dettagli

CLASSE 3^ A LICEO SCIENTIFICO 31 Agosto 2015 Recupero MATEMATICA

CLASSE 3^ A LICEO SCIENTIFICO 31 Agosto 2015 Recupero MATEMATICA CLASSE 3^ A LICEO SCIENTIFICO 3 Agosto 205 Recupero MATEMATICA. Scrivi l equazione della circonferenza passante per i punti ;2 e 2;5 e avente il centro sulla retta di equazione = 2 2. L asse del segmento

Dettagli

IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA

IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA ESERCIZI 1. Le coordinate di un punto su un piano 1 A Scrivi le coordinate dei punti indicati in figura. 1 B Scrivi le coordinate dei punti indicati in figura. Rappresenta

Dettagli

Distanza tra punti e punto medio di un segmento. x1 + x 2

Distanza tra punti e punto medio di un segmento. x1 + x 2 Distanza tra punti e punto medio di un segmento Siano P = (x 1, y 1 ) e Q = (x 2, y 2 ) due punti del piano cartesiano. La distanza di P da Q vale: P Q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 (si utilizza il Teorema

Dettagli

b 2 4c. Stabiliamo se le seguenti equazioni rappresentano delle circonferenze e, in caso affermativo, determiniamone centro e raggio.

b 2 4c. Stabiliamo se le seguenti equazioni rappresentano delle circonferenze e, in caso affermativo, determiniamone centro e raggio. LA CIRCONFERENZA Rivedi la teoria L'equazione della circonferenza e le sue caratteristiche La circonferenza eá il luogo dei punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto fisso chiamato centro;

Dettagli

Calcolo letterale. 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

Calcolo letterale. 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? Calcolo letterale 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (b) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (XX) (c) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 49a bc

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA

GEOMETRIA ANALITICA GEOMETRIA ANALITICA matematica@blogscuola.it LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate cartesiane su una retta r, è necessario considerare: un punto O detto origine; un

Dettagli

Esercizio L1 L2 L3. Il numero 1152 scomposto in fattori primi si scrive [1] [2] [3] 7 31 [4] Risposta

Esercizio L1 L2 L3. Il numero 1152 scomposto in fattori primi si scrive [1] [2] [3] 7 31 [4] Risposta Il numero 1152 scomposto in fattori primi si scrive [1] 2 7 3 2 [2] 2 5 11 [3] 7 31 [4] 1152 Il numero 1152 termina con la cifra 2 e, di conseguenza, è divisibile per 2. Questo significa che ha il numero

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE

GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 2013-2014 ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE Esercizio 1: Fissato su un piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale

Dettagli

PIANO CARTESIANO E RETTA

PIANO CARTESIANO E RETTA PIANO CATESIANO E ETTA Distanza tra due punti: d(a, B) = (x A x B ) + (y A y B ) Distanza tra due punti su una retta di coefficiente angolare m: d(a, B) = x A x B + m Punto medio di un segmento: M = (

Dettagli

Condizione di allineamento di tre punti

Condizione di allineamento di tre punti LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.

Dettagli

COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 2012/2013 Prof. Francesca Visentin

COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 2012/2013 Prof. Francesca Visentin COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 0/03 Prof. Francesca Visentin CAPITOLO V ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Riprendiamo alcune nozioni già date nel Capitolo II.. Coordinate cartesiane

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA FOGLIO DI ESERCIZI 1 GEOMETRIA 2009/10 Esercizio 1.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO. y 2. + y 1

GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO. y 2. + y 1 GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO + x 1 Punto medio d'un segmento, y + y 1 Distanza tra due punti ( - x 1 ) + (y - y 1 ) Condizione di appartenenza di un punto P (x p ;y p ) ad una curva di equazione f(x,y)

Dettagli

asse fuoco vertice direttrice Fig. D3.1 Parabola.

asse fuoco vertice direttrice Fig. D3.1 Parabola. D3. Parabola D3.1 Definizione di parabola come luogo di punti Definizione: una parabola è formata dai punti equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice. L equazione della parabola

Dettagli

Equazioni e disequazioni algebriche. Soluzione. Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto. (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n

Equazioni e disequazioni algebriche. Soluzione. Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto. (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n Si tratta del quadrato di un binomio. Si ha pertanto (x m y n ) 2 = x 2m 2x m y n + y 2n 4. La divisione (x 3 3x 2 + 5x 2) : (x 2) ha Q(x) = x 2 x + 3 e R = 4 Dalla divisione tra i polinomi risulta (x

Dettagli

ESERCIZIO SVOLTO N 1 ESERCIZIO SVOLTO N 2. Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione

ESERCIZIO SVOLTO N 1 ESERCIZIO SVOLTO N 2. Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione ESERCIZIO SVOLTO N 1 Determinare e rappresentare graficamente il dominio della funzione f(x, y) = y 2 x 2 Trovare gli eventuali punti stazionari e gli estremi di f Il dominio della funzione è dato da dom

Dettagli

Note di geometria analitica nel piano

Note di geometria analitica nel piano Note di geometria analitica nel piano e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 2015. 1 Indice 1 Punti e vettori spiccati dall origine 3 1.1 Coordinate......................................

Dettagli

Un fascio di coniche è determinato da una qualsiasi coppia di sue coniche distinte.

Un fascio di coniche è determinato da una qualsiasi coppia di sue coniche distinte. Piano proiettivo Conica: curva algebrica reale del II ordine. a 11 x 2 1 + 2a 12 x 1 x 2 + a 22 x 2 2 + 2a 13 x 1 x 3 + 2a 23 x 2 x 3 + a 33 x 2 3 = 0 x T A x = 0 Classificazione proiettiva delle coniche:

Dettagli

Schede di e-tutoring sulla geometria analitica

Schede di e-tutoring sulla geometria analitica Schede di e-tutoring sulla geometria analitica 9 aprile 2012 Una retta ha equazione esplicita y = mx + n e in questo caso dalla fisica sappiamo che m fornisce il grado di pendenza della retta e si chiama

Dettagli

La retta nel piano cartesiano

La retta nel piano cartesiano La retta nel piano cartesiano Abbiamo visto come, fissato un sistema di riferimento, a ciascun punto sia possibile associare una coppia ordinata di numeri reali (le sue coordinate). Se adesso consideriamo

Dettagli

LAVORO ESTIVO di MATEMATICA Classi Terze Scientifico Moderno N.B. DA CONSEGNARE ALLA PRIMA LEZIONE DI MATEMATICA DI SETTEMBRE

LAVORO ESTIVO di MATEMATICA Classi Terze Scientifico Moderno N.B. DA CONSEGNARE ALLA PRIMA LEZIONE DI MATEMATICA DI SETTEMBRE LAVORO ETIVO di MATEMATICA Classi Terze cientifico Moderno N.B. A CONEGNARE ALLA PRIMA LEZIONE I MATEMATICA I ETTEMBRE PROBLEMI I ALGEBRA APPLICATA ALLA GEOMETRIA ) In un cerchio di raggio r si determini

Dettagli

Compito in classe del 29/01/2013 LA CIRCONFERENZA per il Liceo Scientifico

Compito in classe del 29/01/2013 LA CIRCONFERENZA per il Liceo Scientifico www.matematicamente.it Compito sulla circonferenza 1 Compito in classe del 29/01/2013 LA CIRCONFERENZA per il Liceo Scientifico 1. Determina e rappresenta graficamente l equazione della circonferenza di

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA

UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA UNITÀ DIDATTICA 5 LA RETTA 5.1 - La retta Equazione generica della retta Dalle considerazioni emerse nel precedente capitolo abbiamo compreso come una funzione possa essere rappresentata da un insieme

Dettagli

Nel caso particolare in cui il vertice si trovi nell'origine, la parabola assume la forma: y ˆ ax 2.

Nel caso particolare in cui il vertice si trovi nell'origine, la parabola assume la forma: y ˆ ax 2. LA PARABOLA Rivedi la teoria La parabola e la sua equazione La parabola eá il luogo dei punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto fisso chiamato fuoco e da una retta fissa chiamata direttrice.

Dettagli

determina il valore del parametro corrispondente alla retta del fascio che individua sugli assi cartesiani un triangolo di area pari a 4.

determina il valore del parametro corrispondente alla retta del fascio che individua sugli assi cartesiani un triangolo di area pari a 4. Compito di Matematica / Classe 3Dsa / 20-dicembre-17 / Alunno: ES. 1. Studia i fasci di rette dati dalle equazioni: α: kx + y + k 1 = 0, con k R; β: h + 1 x + 1 h y + h 1 = 0, con h R e determina l equazione

Dettagli

D2. Problemi sulla retta - Esercizi

D2. Problemi sulla retta - Esercizi D. Problemi sulla retta - Esercizi Per tutti gli esercizi è OBBLIGATORIO tracciare il grafico. 1) Trovare il perimetro del triangolo ABC, con A(1;0), B(-1;1), C(0;-). [ 5 + 10 ) Trovare il perimetro del

Dettagli

Y = ax 2 + bx + c LA PARABOLA

Y = ax 2 + bx + c LA PARABOLA LA PARABOLA La parabola è una figura curva che, come la retta, è associata ad un polinomio che ne definisce l'equazione. A differenza della retta, però, il polinomio non è di primo grado, ma è di secondo

Dettagli

D3. Parabola - Esercizi

D3. Parabola - Esercizi D3. Parabola - Esercizi Traccia il grafico delle seguenti parabole e trova i punti d incontro con l asse e con l asse graficamente e/o algebricamente. 1) = ++ (0;)] ) = -+1 ( + 3 ;0), ( 3 ;0), (0;1)] 3)

Dettagli

In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1.

In un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1. L iperbole L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Come si evince del grafico, la differenza delle distanze

Dettagli

Esercizi sulle rette nello spazio

Esercizi sulle rette nello spazio 1 Esercizi sulle rette nello spazio 1) Sono dati quattro punti non complanari, tre di essi possono essere allineati? 2) Sono dati quattro punti non complanari, quanti piani generano? 3) Quante coppie di

Dettagli

Appunti di Geometria Analitica. Il sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano

Appunti di Geometria Analitica. Il sistema di coordinate cartesiane ortogonali nel piano Appunti di Geometria Analitica In questi brevi appunti, richiameremo alcune nozioni di geometria analitica studiate negli anni precedenti: in particolare, rivedremo il concetto di coordinate cartesiane

Dettagli

Anno 3 Equazione dell'ellisse

Anno 3 Equazione dell'ellisse Anno Equazione dell'ellisse 1 Introduzione In questa lezione affronteremo una serie di problemi che ci chiederanno di determinare l equazione di un ellisse sotto certe condizioni. Al termine della lezione

Dettagli