Introduzione all esperienza

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1 Misura della densità di solidi omogenei di forma regolare Gruppo 6: Favitta, Ferrara, Morvillo, Tortorici, Vitale Svolta il 21/11/17 Part I Introduzione all esperienza Fra le tante esperienze che uno studente deve affrontare nel corso di laurea in Scienze Fisiche, indispensabile è la pratica in laboratorio nella quale si affronta l aspetto che più distingue la Fisica da, per esempio, una scienza astratta quale la Matematica, ovvero l aspetto sperimentale, l applicazione rigorosa del metodo scientifico. Questa esperienza ci ha visti coinvolti nella pratica della misurazione di grandezze fisiche, dell analisi degli errori, dell analisi dei dati sperimentali: abbiamo misurato massa e volume di tubi di diversa dimensione e massa, ma dello stesso materiale, con l obiettivo finale di trovare una misura attendibile della loro - chiaramente comune - densità. Per fare ciò abbiamo utilizzato due strumenti, uno analogico e uno digitale: per la misurazione delle caratteristiche dimensionali dei tubi abbiamo usato un calibro a corsoio ventesimale; per la misurazione della massa una bilancia elettronica. Per la schematizzazione dei dati e la loro tabellizzazione abbiamo usato un foglio di calcolo di Libre Office Calc, oltre ad esserci muniti di una controparte manoscitta; per l analisi e il rendimento grafico dei dati SciDavis.Il modus operandi è stato determinato dalla scheda prelevata dal sito del professore, Aurelio Agliolo Gallitto, secondo le disposizioni gentilmente indicateci dal medesimo. 1

2 1 Introduzione teorica Ai fini dell esperienza sono state fondamentali la conoscenza e l applicazione di concetti di base dell analisi statistica degli errori e della propagazione degli errori nelle misure indirette. Troviamo doveroso, quindi, accennare la teoria applicata nell esperienza per chiarire tutti i passaggi, i ragionamenti e le azioni del nostro gruppo rispetto alla stessa esperienza.oltre alla conoscenza dei tipi di errori incontrati(come l errore di precisione,l errore di lettura e,purtroppo,qualche errore casuale) ci è stato utile ricordare le formule per calcolare la propagazione degli errori con errori dipendenti e non casuali:date due grandezze y e z con i loro errori assoluti, ci è possibile ricavare una misura indiretta di grandezza U come somma(o differenza) delle due precedenti grandezze con i valori di : U best = y best ± z best (1) δ U = δ y + δ z (2) Infine simile alla sottrazione e alla somma è la formula per calcolare la propagazione nel prodotto, con la sostanziale differenza che non gli errori assoluti vengono sommati ma gli errori relativi (l errore relativo ε x di una grandezza x è uguale a ε x = δ x /x best ), e tale è anche per il rapporto considerando però che il prodotto tra gli errori relativi deve essere trascurabile: ε U = ε x + ε y (3) Inoltre, ci è stato utile calcolare il volume V di un tubo conoscendone l altezza h,il diametro esterno D e il diametro interno d con la (4): V = πh(d2 d 2 ) 4 (4) 2

3 1.1 Gli strumenti utilizzati Dopo aver ricordato brevemente la teoria fondamentale per l esperienza passiamo ora a descrivere gli strumenti usati con i rispettivi errori strumentali Il calibro a corsoio ventesimale Il calibro a corsoio è uno strumento in acciaio inossidabile costituito da una parte fissa chiamata regolo, nella quale è indicata una scala graduata(, e un corsoio mobile con una seconda scala graduata(che nel nostro caso è in ventesimi che viene chiamata nonio. Ponendo l oggetto di cui dobbiamo misurarne una dimensione tra le due ganasce dello strumento, assicurandosi che esse siano ben allineate e compattate con l oggetto,si inizia a misurarla leggendo prima la misura nella scala graduata principale, usando come indice lo 0 del nonio,poi si legge la parte frazionaria sulla scala graduata del nonio usando però come indice la tacca della scala principale perfettamente allineata con una tacca del nonio.il pregio del nonio del nostro calibro ventesimale è che è una scala con una risoluzione di 0.05 mm/div(mentre quella del regolo è di ben 1mm/div),quindi abbiamo un errore di lettura di soli 0,025mm(mezza divisione del nonio).ai fini dell esperienza risulta ragionevole considerare l errore di precisione uguale all errore di lettura,quindi l errore introdotto dallo strumento δ x è uguale a: δ x = (0, , 025) mm = 0, 05mm (5) La bilancia elettronica Nonostante lo schermo digitale sembri rassicurare sull inesistenza di errori, la bilancia elettronica, come qualsiasi strumento digitale, non è esente da errori strumentali, infatti lo schema a blocchi di uno strumento digitale ci ricorda che essa funziona grazie a a un rivelatore e a un trasduttore che sono analogici.perciò è il manuale del costruttore che ci fornisce come calcolare l errore di precisione e l errore di lettura dello strumento, che in questo caso ammontano rispettivamente all errore percentuale sul valore misurato (in particolare allo 0.2% di esso) il primo e all ultima cifra significativa (che viene usualmente indicata come LSD, dall inglese Last Significative Digit) il secondo; questo implica che l errore stru- 3

4 mentale nella misura della massa δ M è la somma tra l errore di precisione e quello di lettura: δ M = V.M. + LSD (6) dove V.M. è il valore misurato della massa. Part II L esperienza di laboratorio L esperienza si è svolta nel pomeriggio di martedì 21/11/17 nel laboratorio di Fisica del Dipartimento di Fisica e Chimica dell Università degli Studi di Palermo; al nostro gruppo sono stati affidati sette tubi grigi e gli strumenti già discussi. Il primo problema da affrontare prima di iniziare è stato la divisione dei ruoli e dei compiti: con decisione concorde abbiamo affidato il ruolo di scriventi ai membri Favitta e Vitale, rispettivamente su supporto digitale e cartaceo, mentre i rimanenti si sarebbero dovuti occupare della parte manuale della misurazione, di volta in volta discutendo i risultati ottenuti al fine di correggere eventuali imperfezioni grossolane dovute a distrazione o a una cattiva lettura; inoltre il membro Ferrara è stato assunto a coordinatore generale dell esperienza, il membro Morvillo alla parte meramente manualistica della battitura della relazione e il membro Tortorici si sarebbe dovuto occupare della comparazione dei dati presi precedentemente in maniera indipendente dai due sovracitati membri, e se necessario della loro correzione; il membro Favitta ha avuto in aggiunta la speciale mansione di gestire direttamente l elaborazione grafica e l analisi dei dati ottenuti. 2 La misurazione I 7 tubi, forniti dal professore, sono stati da noi ordinati dal più voluminoso al meno voluminoso(secondo una prima analisi qualitativa).il primo tubo misurato 4

5 fu dunque quello che abbiamo ritenuto il più voluminoso comparandolo agli altri.il tubo fu prima misurato in altezza, diametro della circonferenza esterna e spessore tramite il calibro; a queste misure abbiamo aggiunto quelle relative alla massa dello strumento ottenute ponendo lo stesso sulla bilancia e abbiamo considerato gli errori (5) e (6) ottenendo la tabella (7) dove sono riportati i risultati delle cinque misurazioni effettuate: , , (7) dove M è la massa riportata in grammi, con a fianco il rispettivo errore δ M, s è lo spessore, con a fianco il rispettivo errore δ s, D è il diametro della circonferenza esterna del cilindro cavo riportato, con a fianco il rispettivo errore δ D, h è l altezza del tubo, con a fiaco il rispettivo errore δ h.tutte le lunghezze misurate e i loro errori sono riportati in millimetri.le misure qui riportate sono frutto della comparazione di ciò che hanno scritto i membri Favitta e Tortorici, che risultavano identiche in tutto e per tutto; per ciò che riguarda invece l errore δ M è stato ricavato dal foglio di calcolo tramite la formula (3), dopo aver immesso il valore LSD della bilancia, che abbiamo visto ammontare a 0.1g. Di ogni grandezza misurata abbiamo valutato l intervallo di dispersione calcolandone il valore medio e la semidispersione sd, ricavando la (8): M(g) sd M (g) s(mm) sd s (mm) D(mm) sd D (mm) h(mm) sd h (mm) (8) Osserviamo come per la massa essa sia significativamente minore rispetto all errore riportato in tabella (4), mentre per le altre grandezze questo valore sia significativamente più grande: di conseguenza mentre per la massa è ragionevole man- 5

6 tenere il valore δ M come errore, per alcune delle altre grandezze misurate con il calibro esso ha bisogno di essere cambiato con le semidispersioni della tabella (5).Si ottiene la tabella (9): M(g) δ M (g) d(mm) δ d (mm) D(mm) δ D (mm) h(mm) δ h (mm) (9) Per gli altri tubi si è proceduto allo stesso modo(le misure degli altri tubi sono nell Appendice A) con osservazioni simili a quella precedente. Possiamo quindi misurare indirettamente dei tubi ogni diametro interno d (come differenza tra il diametro esterno D e il doppio dello spessore s) e ogni volume V sfruttando le già citate formule (1),(2),(3) e (4): d = d best ± δ d = (D best 2s best ) ± (δ D + 2δ s ) (10) V = πh best(d 2 best d2 best ) 4 ± [V best ( ε h + 2D ) bestδd + 2d best δd Dbest 2 + ] (11) d2 best Dopo aver fatto queste procedure con il foglio di calcolo, e, avendo approssimato ogni misura - partendo dal suo errore - utilizzando il metodo mostratoci durante le lezioni dal professore, abbiamo di conseguenza ottenuto la tabella dei dati finale (12) : M(g) δ M (g) d(mm) δ d (mm) D(mm) δ D (mm) h(mm) δ h (mm) V (mm 3 ) δ V (mm 3 ) (12) 6

7 3 Analisi grafica dei dati Ottenuta la tabella (12) ci ritroviamo in mano varie misure: il nostro scopo è trovare la densità volumetrica del materiale dei cilindri. Sappiamo che la densità di un corpo (che indicheremo in generale con il simbolo ρ) è per definizione il rapporto tra la massa M e il volume V dello stesso: ρ = M V (13) Di conseguenza ci aspettiamo da un grafico massa-volume dei nostri dati un andamento lineare con una funzione del tipo: M = ρv (14) Per trovare la misura della densità ρ, abbiamo utilizzato il metodo delle due rette di massima e minima pendenza dato che gli errori casuali risultano trascurabili rispetto agli errori strumentali. Con SciDavis abbiamo fatto il grafico dei dati che ci servono della tabella 12 (massa e volume) con le loro rispettive barre d errore e abbiamo disegnato la retta di massima pendenza e quella di minima pendenza sfruttando un importante informazione della (14): le due rette devono passare dall origine degli assi.il risultato è nell Appendice B. Osserviamo che il tubo 5 si discosta di poco dall andamento lineare,mentre il tubo 7 significativamente. La nostra conclusione è che possano essere dovuti a sospettabili fonti di errori casuali quali delle piccole irregolarità notate sui bordi dei tubi,probabili difetti di fabbrica come delle bolle d aria o possibile stanchezza dei misuranti.inoltre non si può escludere che il discostamento del 7 sia dovuto anche alla vicinanza della sua massa al valore di soglia della bilancia. Date le due rette ottenute troviamo i loro coefficienti angolari ρ max e ρ min sfruttando il passaggio dall origine e la funzione <Properties> di SciDavis, a cui si accede cliccando con il tasto destro del mouse sulla retta, per trovare un altro punto da cui questa passa: ρ max = (9.72/7, 12)g/cm g/cm 3 7

8 ρ min = (9.55/7.5)g/cm g/cm 3 Con questi valori troviamo la nostra densità ρ, ricavando ρ best come semisomma tra ρ max e ρ min e δ ρ come semidifferenza tra ρ max e ρ min ; approssimando la misura adeguatamente ricaviamo la (14): ρ = (ρ max + ρ min ) 2 ± (ρ max ρ min ) 2 (1.32 ± 0.05)g/cm 3 (15) Part III Appendice A Tubo Tubo Tubo 4 8

9 Tubo Tubo Tubo 7 M(g) δ M (g) s(mm) δ d (mm) D(mm) δ D (mm) h(mm) δ h (mm)

10 Part IV Appendice B 10