PROBLEMI DI PARAGRAFO

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1 CAPITOLO La misura PROBLEMI DI PARAGRAFO 1. GLI STRUMENTI DI MISURA 1. La sensibilità non è variata perché la scala graduata dove si legge il valore della misura è la stessa. La precisione invece è diminuita.. Perché mentre la macchina è in movimento il carburante ha continue e veloci variazioni di livello. Se la prontezza dello strumento fosse troppo alta, la lancetta sarebbe in continuo movimento e sarebbe difficile leggere il valore. 3. Luca e Chiara hanno usato una bilancia meno sensibile di quella dell orefice che non consente di misurare fino al decimo di grammo. Infatti, in base alle cifre offerte dall orefice le due monete pesano 6, g e 6,7 g. 4. No, dipende dalla qualità dello strumento di misura m 6. Uno strumento di misura può rompersi quando la grandezza misurata è maggiore della portata dello strumento. 7. In genere è uno strumento analogico, mentre i nuovi contatori sono digitali. 8. Portata 100 cm 3, sensibilità 1 cm u La sensibilità è il valore corrispondente a una singola divisione che si ottiene come: 100mbar 0 divisioni 5mbar divisione. La portata è data da: 5mbar ( 00divisioni) divisione 1000mbar 1bar. u No. Lo strumento non è abbastanza sensibile. Se proviamo a usarlo la lancetta indicherà 0 mbar. 1 Zanichelli 016

2 CAPITOLO La misura 10. STRUMENTO A ANALOGICO PORTATA SENSIBILITÀ D DIGITALE Bilancia pesapersone A, D 10 kg 1 kg Orologio del cellulare D 4 h 1 min Righello A 10, 0, 50 cm (dipende) 1 mm Contatore del gas D 10 5 m m 3 Metro da sarta A 1,5 m 1 mm Cronometro del cellulare D 4 h 10 s Tachimetro del motorino A 80 km/h 5 km/h Termometro clinico A 4 C 10 1 C Bicchiere graduato da cucina A 150 cm 3 5 cm u No. La massa di 15 g supera il fondo scala della bilancia di precisione. Si possono usare le altre due, ma la bilancia analogica ha sensibilità di 100 mg e la bilancia a bracci uguali di 1 g. u In questo caso si può usare la bilancia di precisione e la sensibilità massima è di 100 µg. 1. u A1 è più sensibile: la sua sensibilità è di 0,1 km/h mentre la sensibilità di A è di 1 km/h. u A è più preciso, infatti i valori ottenuti si discostano tutti di molto poco dal valore noto. I valori ottenuti con A differiscono tra loro al massimo di 13 km/h mentre quelli ottenuti con A1 di 135,1km/h ( ) (19,1km/h) 6,0 km/h. ( ) ( 130 km/h) km/h, u Sulle strade urbane si devono misurare velocità inferiori o vicine a 50 km/h, quindi è meglio usare A, dato che con A1 la misura può dare un risultato che differisce dal valore noto anche per più di 5 km/h.. L INCERTEZZA NELLE MISURE 13. I grammi. 14. No, se fosse tarata male, i valori forniti sarebbero tutti superiori o inferiori a kg. 15. Le misure sono affette da un errore sistematico, essendo le misure tutte maggiori di 50,00 g, e anche da errori accidentali (non eliminabili). 16. L errore casuale. 17. Da un errore sistematico. Zanichelli 016

3 CAPITOLO La misura 18. u I risultati sono così in disaccordo perché la misura di A è stata eseguita in aria e quella di B in vuoto. La resistenza dell aria è responsabile del disaccordo. L errore che nasce è di tipo sistematico. u Prima devono determinare l effetto della resistenza dell aria e correggere i dati. Poi potranno vedere se c è qualche effetto sullo strumento dovuto alla temperatura. 19. Se va troppo di fretta il termometro può non raggiungere l equilibrio con l ambiente circostante e quindi indicare una temperatura più bassa di quella reale. Le misure saranno affette da un errore sistematico per difetto. 0. u Da un errore sistematico. u ΔL (15,5 14,8)km 0,7km u ΔL L % 0,7 km 15,5 km 100 % 5% ΔL 0,7 km 0,05 km numero kilometri 15,5 1. u Un atleta a Roma percorre una distanza Δl 1 nl ,01m 1500,3 m, mentre un atleta a Firenze percorre la distanza Δl nl 30 49,99 m 1499,7 m. u d Δl 1 Δl (1500,3 1499,7)m 0,6 m u No, bisogna considerare anche l accuratezza della misura del tempo impiegato.. u Anche se il termostato è tarato male, per scaldare la stanza da 1,0 C a 0,0 C (misura in difetto) la temperatura deve comunque aumentare di 8,0 C. Perciò la massa di pellet necessaria è m pellet ( 0,110 kg/ C) ( 8,0) C 0,88 kg. u La temperatura reale della stanza è (0,0 + 1,) C 1, C perché il livello di zero è spostato. 3. u Carlo ha ottenuto la seguente serie di misure: d C1 670kg/m 3 ;d C 671kg/m 3 ;d C3 67kg/m 3 ; l errore massimo è Δd C (67 670)kg/m3 1kg/m 3 ; il valore medio è d C d + d + d C1 C C3 3 il risultato della misura è quindi: d C d C ± Δd C (671±1)kg/m 3. ( )kg/m kg/m 3 ; 3 Zanichelli 016

4 CAPITOLO La misura Andrea ha ottenuto la seguente serie di misure: d A1 700kg/m 3 ;d A 670kg/m 3 ;d A3 79kg/m 3 ; l errore massimo è Δd A (79 670)kg/m3 9,5kg/m 3 ; ( )kg/m3 il valore medio è d A 3 il risultato della misura è quindi d A (700 ± 30)kg/m kg/m 3 ; Beatrice ha ottenuto la seguente serie di misure: d B1 699kg/m 3 ;d B 698kg/m 3 ;d B3 701kg/m 3 ; l errore massimo è Δd B ( )kg/m3 1,5kg/m 3 ; ( )kg/m3 il valore medio è d B 3 il risultato della misura è quindi d B (699 ± )kg/m kg/m 3 ; Osservando i risultati delle misure si può stabilire che: la serie di misure di Carlo è affetta da errori casuali piccoli; la serie di misure di Andrea è affetta da errori casuali grandi; la serie di misure di Beatrice è affetta da errori casuali piccoli. u Per quanto riguarda gli errori sistematici, è possibile stabilire che: la serie di misure di Carlo è affetta da un errore sistematico grande e sempre per difetto; la serie di misure di Andrea è affetta da un errore sistematico piccolo perché abbiamo valori maggiori e minori del valore vero; la serie di misure di Beatrice è affetta da un errore sistematico piccolo perché abbiamo valori maggiori e minori del valore vero. u Riassumendo: la prima serie di misure è affetta da errori sistematici; la terza e la prima serie di misure sono precise perché i valori misurati sono vicini tra loro, ma la prima non è accurata perché i valori sono tutti lontani dal valore vero della densità. 4 Zanichelli 016

5 CAPITOLO La misura 3. L INCERTEZZA IN UNA MISURA SINGOLA 4. La dimensione è compresa tra ( 6,55 0,0)cm 6,53cm e ( 6,55 + 0,0)cm 6,57cm. Quindi i valori in disaccordo sono: 6,51 e 6, Non si può rispondere. La gara finisce in parità perché considerando le incertezze di misura non si può determinare quale massa è maggiore: i funghi di Luisa hanno una massa compresa tra 3,51 kg e 3,61 kg, mentre la massa dei funghi di Carlo è compresa tra,7 kg e 3,7 kg. 6. ( 83,4 ± 0,1)cm usando il metro a nastro; ( 3,0 ± 0,05)mm usando il calibro; ( 7,0 ± 0,1)g usando la bilancia con fondo scala di 10 g; ( 85 ± 5)g usando la bilancia con fondo scala di 1 kg. 7. Non può aver usato un righello, che ha una sensibilità di 1 mm. Ha usato invece un calibro la cui sensibilità è proprio un ventesimo di millimetro. 4. L INCERTEZZA IN UNA MISURA RIPETUTA 8. u La semidispersione massima è dato da: e m u La media vale: ( 5,09 5,0)mm 0,04 mm. L [( 5,0)+(4 5,03)+(10 5,04)+(18 5,05)+( 5,06)+(16 5,07)+(8 5,08)+( 5,09)]mm 8 u Il risultato deve essere scritto come: L ( 5,06 ± 0,04)mm. 5,06 mm. 9. x x 1 + x + x 3 + x 4 + x u l l + l + l + l + l + l + l + l ( 3,84 + 3,79 + 3,85+ 3,76 + 3,80 + 3,86 + 3,80 + 3,78)m 3,81m 8 ( 3,86 3,76)m u e m 0,05 m 5 Zanichelli 016

6 CAPITOLO La misura u e r 0,05 m 0,01 1% 3,81 m u l ( 3,81± 0,05)m 31. u Il valore medio è dato da: t t + t + t + t + t + t + t + t + t + t ( 0,75+ 0,57 + 0,69 + 0,48 + 0,8 + 0,55+ 0,65+ 0,6 + 0,59 + 0,4)s 0,61s 10 e la semidispersione massima è: e m x max x min 0,8 0,4 0, s. u Il risultato corretto della misura è quindi (0,6 ± 0,)s. 3. u Il valore medio è dato da: d d + d + d + d + d + d + d + d + d + d ( 6,31+ 6,33+ 6,3 + 6,36 + 6,33+ 6,30 + 6,35+ 6,3 + 6,34 + 6,33)cm 6,33cm 10 e la semidispersione massima è: e m d max d min 6,36 6,30 0,03cm. u Il risultato corretto della misura è quindi (6,33 ± 0,03) cm. 33. u La media delle misure vale: ( )passi N 1 passi. 6 ( ) L errore massimo è: e m 4 e va presa come incertezza della misura essendo maggiore della sensibilità (1 passo). Il risultato della misura è quindi: N ( 1 ± 4)passi. u La camminata del ragazzo non è regolare e costante: da un giorno all altro può andare più veloce o lento in alcuni tratti, può dover saltare ostacoli ecc. Vibrazioni e sbalzi possono influire sul conteggio dei passi. u No. Il numero di passi di differenza che compie quando passa da un ingresso o dall altro è più piccolo dell incertezza della misura. 6 Zanichelli 016

7 CAPITOLO La misura 5. L INCERTEZZA RELATIVA 34. No. Come incertezza prendiamo il più grande tra l errore massimo e la sensibilità dello strumento. Vediamo già che la sensibilità genera un errore relativo percentuale che vale circa: e % 5 g 100 4%. 115,1 g 35. L incertezza percentuale non ha unità di misura. 36. e r1 0,5 cm 4,5 cm % ; e 1cm r 98 cm 1% È più precisa la seconda misura. ( )cm 37. u e m 5 cm ( )cm u x 895 cm e r 5 cm 0,056 0,6% 895 cm 38. u h (150 ± 5)m u e r Δh h 5 m 150 m 0,% u Resta invariata, perché 0,5 m < 5 m. 39. La media delle nuove misure vale: ( 1,4 +1,8 +1,0 +1,4 +1,3)g M 1,6g 5 e l errore massimo vale ( 1,3 1,0) g e m 0,06g. L incertezza della misura è proprio e m dato che è più grande della sensibilità della bilancia. L errore relativo percentuale di questa misura è quindi e r e m M 0,06g 1,6g 100 % 0,5% < 0,8%. Nonostante la seconda bilancia abbia una sensibilità inferiore, permette di effettuare misure molto più precise. Per Giulia è conveniente sostituire la sua prima bilancia con la seconda. 7 Zanichelli 016

8 CAPITOLO La misura 40. Dai dati del problema sappiamo che Δt 0,1 C e che l incertezza relativa è Δt t ricava quindi: t Δt Δt t 0,1 C 0,0 C. 0,005 0,005. Si 6. LE CIFRE SIGNIFICATIVE 41. No, le cifre significative rimangono 4. Gli zeri che deve mettere all inizio del numero non sono significativi. 4. u Quando ha calcolato l aumento della lunghezza lo studente ha messo una cifra in più. Il micrometro ha una sensibilità di 0,01 mm. Eseguendo le sottrazioni i risultati devono essere arrotondati e le cifre dopo la virgola non possono essere più di. u I valori giusti da mettere sull asse delle ordinate sono, in ordine decrescente: 1,1 mm; 0,91 mm, 0,60 mm, 0,7 mm. 43. Perché il risultato deve essere approssimato alla prima cifra decimale. 44. A l 1 l (195,3 1,1)cm 14,83cm 0,01m ,049 10,0 46. La sensibilità della bilancia, espressa in kg, è s 10g 10 kg 0,01 kg. Il risultato della misura è quindi m (1,00 ± 0,01)kg. 47. MISURA CIFRE SIGNIFICATIVE 0, , , Zanichelli 016

9 CAPITOLO La misura 48. NUMERO CIFRE SIGNIFICATIVE NUMERO DECIMALE π 4 3,14 1/3 3 0,333 7/3 3,33 7/6 4 1, a. 31 cm b. 60,0 cm c. 8 g/cm 3 d. 3,40 m 50. u Quattro cifre significative. u G 6, N m / kg G 6, N m / kg con 3 cifre significative; con cifre significative; G N m / kg con 1 cifra significativa. 51. a. 50,3cm π 158 cm b. 7,0 m 3,0 m/s,35s c. 1,37 ml 10 ml (1,37 10) ml ml d. (10+,5+ 0,1)g (10 +,5+ 0,1)g 1,6 g 13 g 5. a. 3 b. c. 4 d. 4 e. 6 f. 4 g. b 3 i. 53. e, ,7188,7183,7,7 3 9 Zanichelli 016

10 CAPITOLO La misura 54. Con 3 cifre significative, abbiamo: 0,135 m 0,191 m (il valore di può essere usato con l approssimazione desiderata). 55. b. 35,3 g + 73,56 g 308,6 g c. 345, cm,56 cm 34,6 cm d. 1,3 m 4,1 s 5, m/s e. 0 kg 4,0 kg 16,0 kg f p L + l (47,18 + 3,5)m 141,4 m 57. u d aereo R + h aereo ( )m m 6, m u d sat R + h sat ( )m m 6, m 58. u Si deve calcolare π C, quindi il risultato avrà 3 cifre significative, come la misura di C. D u Il risultato è: π 1,9 cm 6,970 cm 3,14.. u Sì, in questo caso le cifre significative sarebbero state La distanza percorsa vale: L l l 0 ( ,36)cm 143cm. Quindi la velocità del trenino si calcola come: v L t 1,43 m s 0,065 m/s. 60. u Se si eseguono le misure una sola volta l incertezza è data dalla sensibilità dello strumento. Un errore relativo percentuale del % su un valore di 15 C corrisponde a: ( ) 0,3 C. 0,0 15 C Questa dev essere la sensibilità minima del termometro. u I risultati saranno espressi con 3 cifre significative (la cifra incerta è quella dei decimi di grado). 61. u La media delle masse di azoto è: (,3001+,990 +,987 +,985+,987)g M 1,990 g. 5 La media delle masse di aria è: (,3103+,3100 +,310)g M,310 g Zanichelli 016

11 CAPITOLO La misura u Gli errori massimi sono: (,3001,985)g e m1 0,0008 g; (,3103,3100)g e m 0,000 g. Quindi si scrive: M 1 (,990 ± 0,0008)g; M (,310 ± 0,000)g. u La massa di argon è data da: M argon M M 1 (,310,990)g 0,011 g, che corrisponde a una percentuale di: 0,011 g,310 g 100% 0,5%. 7. L ERRORE STATISTICO 6. u Dal grafico si può dire che il valore medio delle misure è circa 50 cm. u La semidispersione massima vale: ( 66,78 33,63)cm e m 17 cm. u Dato che l incertezza percentuale dello scarto quadratico medio è del 7%, lo scarto quadratico medio vale: 0,07 50 cm 4 cm. 63. Due misure sono troppo poche per compiere un analisi statistica. 64. Aumenta. (1,90 +1,87 +1,85+1,9 +1,88 +1,85+1,91+1,89 +1,93+1,86 +1,9 +1,86 +1,90 +1,91+1,84)s 65. u T 15 1,89 s u Gli scarti sono dati dalla relazione s i T i T, per cui si ha: s 1 (1,90 1,89)s 0,01s; s s s (1,87 1,89)s 0,0s; s s s 3 (1,85 1,89)s 0,04s; s 3 1, s s 4 (1,9 1,89)s 0,03s; s s s 5 (1,88 1,89)s 0,01s; s s s 6 (1,85 1,89)s 0,04s; s 6 1, s 11 Zanichelli 016

12 CAPITOLO La misura s 7 (1,91 1,89)s 0,0s; s s s 8 (1,89 1,89)s 0,00s; s 8 0s s 9 (1,93 1,89)s 0,04s; s 9 1, s s 10 (1,86 1,89)s 0,03s; s s s 11 (1,9 1,89)s 0,03s; s s s 1 (1,86 1,89)s 0,03s; s s s 13 (1,90 1,89)s 0,01s; s s s 14 (1,91 1,89)s 0,0s; s s s 15 (1,84 1,89)s 0,05s; s 15, s u Lo scarto quadratico medio è quindi dato da: σ 15 s i i1 15 0,087 s! 0,03s. u Il risultato della misura è: T (1,89 ± 0,03)s. 66. u l 8 l i i1 8 (5,10 + 4,99 + 5,0 + 4,98 + 5,08 + 5,05+ 4,8 + 5,05)m 8 Gli scarti sono dati dalla relazione s i l i l, da cui segue: s 1 (5,10 5,01)m 0,09 m; s 1 8, m s (4,99 5,01)m 0,0 m; s m s 3 (5,0 5,01)m 0,01 m; s m s 4 (4,98 5,01)m 0,03 m; s m s 5 (5,08 5,01)m 0,07 m; s 5 4, m s 6 (5,05 5,01)m 0,04 m; s 6 1, m s 7 (4,8 5,01)m 0,19 m; s 7 3,61 10 m s 8 (5,05 5,01)m 0,04 m; s 8 1, m Lo scarto quadratico medio è quindi: σ 8 s i i1 8 0,08 m u l (5,01± 0,08)m u e % σ l m % 0,08 m 5,01m 1,6% < 5% 5,01m 1 Zanichelli 016

13 CAPITOLO La misura 67. u La lunghezza media con la riga è data da: (,8 + 3, , ,1+ 3,)cm l riga 3,0 cm 0 mentre con il calibro: (,960 +, , ,005+ 3, , , ,15+ 3, ,180)cm l calibro 0 3,086 cm. u Lo scarto è definito dalla relazione s i l i l, quindi nel caso della serie di misure effettuate con la riga si ha: s 1 (3,0 3,0)cm 0,0 cm; s 1 0,0 cm s (3,1 3,0)cm 0,1 cm; s 1,0 10 cm s 3 (3,1 3,0)cm 0,1cm; s 3 1,0 10 cm s 4 (3,1 3,0)cm 0,1cm; s 4 1,0 10 cm s 5 (3,0 3,0)cm 0,0 cm; s 5 0,0 cm s 6 (3, 3,0)cm 0, cm; s 6 4,0 10 cm s 7 (3,1 3,0)cm 0,1cm; s 7 1,0 10 cm s 8 (3,0 3,0)cm 0,0 cm; s 8 0,0 cm s 9 (,9 3,0)cm 0,1cm; s 9 1,0 10 cm s 10 (3, 3,0)cm 0, cm; s 10 4,0 10 cm s 11 (,9 3,0)cm 0,1cm; s 11 1,0 10 cm s 1 (,8 3,0)cm 0, cm; s 1 4,0 10 cm s 13 (3,0 3,0)cm 0,0 cm; s 13 0,0 cm s 14 (3,1 3,0)cm 0,1cm; s 14 1,0 10 cm s 15 (3,1 3,0)cm 0,1cm; s 15 1,0 10 cm s 16 (,9 3,0)cm 0,1cm; s 16 1,0 10 cm s 17 (3,1 3,0)cm 0,1cm; s 17 1,0 10 cm s 18 (3,1 3,0)cm 0,1cm; s 18 1,0 10 cm s 19 (3,1 3,0)cm 0,1cm; s 19 1,0 10 cm s 0 (3,0 3,0)cm 0,0 cm; s 0 0,0 cm Lo scarto quadratico medio è quindi: σ riga 0 s i i1 0 0,10 cm. 13 Zanichelli 016

14 CAPITOLO La misura Nel caso della serie di misure effettuate con il calibro si ha: s 1 (3,000 3,086)cm 0,086 cm; s 1 0,074 cm s (3,005 3,086)cm 0,081cm; s 0,0066 cm s 3 (3,110 3,086)cm 0,04 cm; s 3 0,0006 cm s 4 (3,110 3,086)cm 0,04 cm; s 4 0,0006 cm s 5 (3,115 3,086)cm 0,09 cm; s 5 0,0008 cm s 6 (3,10 3,086)cm 0,034 cm; s 6 0,001 cm s 7 (3,110 3,086)cm 0,04 cm; s 7 0,0006 cm s 8 (,960 3,086)cm 0,16 cm; s 8 0,0159 cm s 9 (,980 3,086)cm 0,106 cm; s 9 0,011 cm s 10 (3,110 3,086)cm 0,04 cm; s 10 0,0006 cm s 11 (3,10 3,086)cm 0,034 cm; s 11 0,001 cm s 1 (3,10 3,086)cm 0,034 cm; s 1 0,001 cm s 13 (3,140 3,086)cm 0,054 cm; s 13 0,009 cm s 14 (3,180 3,086)cm 0,094 cm; s 14 0,0088 cm s 15 (,960 3,086)cm 0,16 cm; s 15 0,0159 cm s 16 (3,110 3,086)cm 0,04 cm; s 16 0,0006 cm s 17 (3,10 3,086)cm 0,034 cm; s 17 0,001 cm s 18 (3,115 3,086)cm 0,09 cm; s 18 0,0008 cm s 19 (3,110 3,086)cm 0,04 cm; s 19 0,0006 cm s 0 (3,15 3,086)cm 0,039 cm; s 0 0,015 cm Lo scarto quadratico medio è: σ calibro 0 s i i1 0 0,063 cm. I risultati delle due serie di misure sono quindi: l riga ( 3,0 ± 0,1)cm, l calibro ( 3,09 ± 0,06)cm. u Le differenze nella lunghezza dei chiodi possono attribuirsi a errori di misura e non di fabbricazione perché sono presenti valori sia maggiori che minori di 3 cm. u Per ottenere il seguente grafico è stato utilizzato un foglio di calcolo (file esercizio_67.xlsx). 14 Zanichelli 016

15 CAPITOLO La misura lunghezza (cm) 3,3 3, 3,1 3,0,9,8,7 riga calibro, misure 68. u Per ottenere il seguente grafico è stato utilizzato un foglio di calcolo (file esercizio_68.xlsx). frequenze , 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 valori Distribuzione frequenze u La lunghezza media dello spessore del blocco è data da: (5, + 5,3 5+ 5, , ,6 + 5,7 + 5,8)cm l 5,4 cm. 0 u Gli scarti sono quindi: s 1 (5,4 5,4)cm 0,0 cm; s 1 0,0cm s (5,6 5,4)cm 0, cm; s 4,0 10 cm s 3 (5,3 5,4)cm 0,1 cm; s 3 1,0 10 cm s 4 (5,3 5,4)cm 0,1 cm; s 4 1,0 10 cm s 5 (5,4 5,4)cm 0,0 cm; s 5 0,0cm s 6 (5,7 5,4)cm 0,3 cm; s 6 9,0 10 cm s 7 (5,5 5,4)cm 0,1 cm; s 7 1,0 10 cm s 8 (5,5 5,4)cm 0,1 cm; s 8 1,0cm 15 Zanichelli 016

16 CAPITOLO La misura s 9 (5,4 5,4)cm 0,0 cm; s 9 0,0 10 cm s 10 (5,5 5,4)cm 0,1 cm; s 10 1,0 10 cm s 11 (5,8 5,4)cm 0,4 cm; s cm s 1 (5,3 5,4)cm 0,1 cm; s 1 1,0 10 cm s 13 (5,4 5,4)cm 0,0 cm; s 13 0,0cm s 14 (5,4 5,4)cm 0,0 cm; s 14 1,0 10 cm s 15 (5,3 5,4)cm 0,1 cm; s 15 1,0 10 cm s 16 (5,6 5,4)cm 0, cm; s 16 4,0 10 cm s 17 (5,5 5,4)cm 0,1 cm; s 17 1,0 10 cm s 18 (5, 5,4)cm 0, cm; s 18 4,0 10 cm s 19 (5,3 5,4)cm 0,1 cm; s 19 1,0 10 cm s 0 (5,4 5,4)cm 0,0 cm; s 0 0,0cm Si ricava lo scarto quadratico medio: σ 0 s i1 i 0 0,153cm. Il risultato delle misure effettuate è quindi (5,4 ± 0,) cm. 8. L INCERTEZZA NELLE MISURE INDIRETTE 69. (l l 1 ) (7,5 5,) ± (Δl 1 + Δl ) cm (,3± 0,6)cm (falso) p (l + l 1 ) ± (Δl 1 + Δl ) (1,7 ± 0,6)cm (vero) A l 1 l 39 cm Δl 1 l 1 0,3cm 5, cm 0,058 Δl 0,3cm l 7,5 cm 0,04 ΔA A Δl 1 + Δl 0, ,04 0,098 l 1 l ΔA A ΔA A (39 cm )(0,098) 3,8 cm 4 cm La misura dell area è quindi: A (39 ± 4)cm (vero). 70. Maggiore. 16 Zanichelli 016

17 CAPITOLO La misura 71. V m (10 cm) cm 3 e r ΔV V m Δl l + Δl l + Δl l 3 Δl l 3 0,01 0,03 V V 3 ± ΔV (10cm) 3 ± (e r V m ) (10 3 cm 3 ) ± (0, cm 3 ) (1,00 ± 0,03) 10 3 cm 3 7. Il periodo è il tempo impiegato a compiere un oscillazione e valet 1 s 0,050 s; 0 l incertezza è: ΔT e r ( f ) T s 1 0,050 s 0,005 s. 1 0 s 73. Il semiperimetro è pari a: p l 1 + l 15,4 cm + 10,7 cm 6,1 cm. L incertezza associata alla misura è uguale alla somma delle corrispondenti incertezze: Δp Δl 1 + Δl ( 0,1+ 0,1)cm 0, cm. ( ) 10 m. Il risultato della misura è quindi p 6,1± 0, 74. L incertezza relativa su un lato è data da: 0,1 cm e r (l) 0,008 0,8%; 1, cm l incertezza sull area è quindi uguale alla somma delle incertezze relative dei singoli lati: e r ( A) e r (l 1 ) + e r (l ) 0, ,008 0,016. L area e la corrispondente incertezza risultano rispettivamente uguali a: A l 1 ( ) ( 1,1 cm) 146,4 cm, ΔA e r ( A) A 0, ,4 cm ( ),3 cm. Il risultato della misura è quindi ( 146 ± ) 10 4 m. 75. u Il volume è pari a: V a b c (5,4 7,9 11,7)cm 3 5,0 10 cm 3. u Nel prodotto delle tre dimensioni, gli errori relativi si sommano: Δa a 0,1 cm Δb 0,1 cm Δc 0,1 cm 1,9%; 1,3%; 5,4 cm b 7,9 cm c 11,7 cm 0,9%. La somma degli errori relativi, pari circa al 4%, comporta un incertezza sul volume ΔV (5,4 7,9 11,7)cm 3 0,04 0 cm 3. Quindi V (5,0 ± 0,) 10 4 m T max T min (5,4 8,0) C 17,4 C; ΔT (0, + 0,) C 0,4 C Quindi, l escursione termica vale (17,4 ± 0,4) C. 17 Zanichelli 016

18 CAPITOLO La misura 77. u Il numero di mele date alla signora è: N 1kg 0,1703 kg 6. u La massa totale è data da M 6 170,3 g ( ) 1,0 kg e l incertezza vale ΔM 6Δm 6 0,5 g 3 g. Quindi il peso si scrive come: F P ( 1,0 ± 0,003)kg. 78. Δ(l 1 l ) l 1 Δl + l Δl 1 (5,5 cm) (0,1cm) + (4, cm) (0,1cm) 0,97 cm 1,0 cm 79. u V sasso V tot V acqua ( 37 30)mL 7 ml ΔV ( 1+1)mL ml V ( 7 ± )ml u e r ΔV sasso V 7 0,3 u L incertezza relativa sui volumi corrispondenti ai due livelli raggiunti dall acqua vale rispettivamente ΔV acqua V acqua ,03 e ΔV tot V tot volume del sasso aumenta di un fattore ,03, per cui l incertezza relativa sul u C π D πd π (1,0 ± 0,1)cm (37,7 ± 0,3)cm u A π D 4 π (1,0 cm) 4 ΔD D 0,1cm 1,0 cm 8, ΔA A ΔD D cm ΔA A ΔA A 113cm cm u I risultati ottenuti possono essere espressi come: C (37,7 ± 0,3)cm, A (113± )cm. u L errore relativo su ciascuna misura è quindi: e r (C) ΔC C 0,3cm 37,7 cm 0,008, e r ( A) ΔA A cm 113cm 0,0. 18 Zanichelli 016

19 CAPITOLO La misura 81. u Esprimiamo la massa in kg e il volume dell aria in m 3 : m mol aria 9 g kg, V mol aria,4 L, m 3 ; la densità dell aria è quindi: d aria m mol aria kg V mol aria, m 1,3 3 kg/m3. u m aria d aria V d aria Llh 1,3 kg/m 3 ( 3,0 6,0,5)m 3 58,5 m 3 ΔL L 0,1m 3 m 0,03 Δl l 0,1m 6 m 0,0 Δh h 0,1m,5 m 0,04 ΔV V ΔL L + Δl + Δh 0,03+ 0,0 + 0,04 0,09 l h ΔV V ΔV V (3 6,5)m3 0,09 4 m 3 Δm aria d aria ΔV 1,3 kg/m 3 4 m 3 5, kg Il risultato della misura indiretta della massa di aria può essere espresso come m aria (59 ± 5)kg. 8. La media delle misure del volume vale: ( 1,08 +1,074 +1,080 +1,076 +1,081)dm 3 V 1,079 dm 3 5 e l incertezza è data dall errore massimo: ( 1,08 1,074)dm 3 e m 0,004 dm 3. Quindi Sara ricava l altezza come: h V πr 1, m 3 0,050 m 5,0 cm. 3,14 0,083 m ( ) L incertezza si calcola come: Δh h ΔV V + Δr 0,004 dm3 0,1 cm r ( 5,0 cm) + 3 1,079 dm 8,3 cm 0,1 cm. Si scrive quindi h ( 5,0 ± 0,1)cm. 19 Zanichelli 016

20 CAPITOLO La misura 83. u Il volume esterno è dato da V Lhl (3,75,55 0,65)m 3 6, m 3. Le incertezze relative sulle singole dimensioni sono: e L ΔL L 0,0 m 3,75 m 0,005, e h Δh h 0,0 m,55 m 0,008, e l Δl l 0,01m 0,65 m 0,015; l incertezza sul volume è quindi: e V e L + e h + e l 0,005+ 0, ,015 0,08, ΔV e V V 0,08 (3,75,55 0,65)m 3 0,18 m 3, per cui il risultato può essere espresso come V (6, ± 0,)m 3. u Il perimetro e la sua incertezza sono rispettivamente: p (L + l), ( ) (0,0 + 0,01)m (0,03)m 0,06 m; Δp ΔL + Δl quindi il risultato può essere espresso come p (8,80 ± 0,06)m. 84. Il valore in kg si calcola usando la relazione: M ( kg) 0,044 kg u 041,66 u L incertezza è data da: ΔM ( kg) M ( u)δa + ΔM ( u)a + Δb ( ) 0,0003 kg 041,66 u ( ) + 1,073kg 49,8 + 1,073 u + 0,01u ( )kg 50,9kg. ( ) 0,044 kg 85. u m dv ( 3, )m 3 (, )kg/m kg u e r ( lato) 0,05 cm 3,05 cm 1,6% e volume r ( ) 3e r ( lato) 5%; 60 kg/m3 e r ( densità) 960 kg/m %; 3 essendo e r ( volume) + e r densità ( ) 7%, segue ( ) kg 0, kg. e massa u Il risultato della misura può essere espresso come m (84 ± 6) 10 3 kg. u + 0,001 kg 0,6 kg. 0 Zanichelli 016

21 CAPITOLO La misura 10. GLI ESPERIMENTI E LE LEGGI FISICHE 86. c 87. T π l g ; T 4π l g Tra l e T esiste una relazione di proporzionalità quadratica. 88. La legge y e x. 1 y x non descrive sicuramente i dati perché prevede una proporzionalità diretta tra u u l A u Proporzionalità quadratica. 1 Zanichelli 016

22 CAPITOLO La misura 90. u Dobbiamo calcolare i valori del volume e del suo inverso. l (m) V (m 3 ) 1/V (m 3 ) 0,04 ± 0,001 1,4 ± 0, 0,031 ± 0,001 3,0 ± 0,3 0,034 ± 0,001 3,9 ± 0,3 0,048 ± 0,001 1,1± 0,1 ( ) 10 5 ( 7 ±1) 10 4 ( ) 10 5 ( 3,3± 0,3) 10 4 ( ) 10 5 (,6 ± 0,) 10 4 ( ) 10 4 ( 9,1± 0,6) 10 3 u La densità è inversamente proporzionale al volume, quindi è direttamente proporzionale al suo inverso, come si vede dal grafico. La relazione è d m 1 V. u Usando, ad esempio, il primo dato si ottiene: ( ) 0,30 kg. M 150 kg m 3 1, m 3 Zanichelli 016

23 CAPITOLO La misura PROBLEMI GENERALI 1. u La sensibilità dello strumento è 0,01 s. u La media è pari a σ n i1 (t i t ) n ( ) s t Σt 1,98 +1,64 +,4 +1,94 +1,84 +1,88 +,03+1,7 +,08 +1,94 i n 10 Lo scarto quadratico medio vale 1,93 s. (1,98 1,93) + (1,64 1,93) + (,4 1,93) + (1,94 1,93) + (1,84 1,93) + (1,88 1,93) + (,03 1,93) + (1,7 1,93) + (,08 1,93) + (1,94 1,93) s 10 0, s Per il calcolo dello scarto quadratico medio è disponibile anche il foglio di calcolo (file problema_generale_1.xlsx). Il risultato della misura è quindi: t (1,9 ± 0,) s. u e % ( e r 100)% 0, s 1,9 s 100 % 11% u La semidispersione massima vale: ΔT T T (,4 1,64)s max min 0,3 s quindi il risultato della misura può essere espresso come T (1,9 ± 0,3) s.. u In base alla velocità indicata dal tachimetro V C, il tempo impiegato sarebbe stato: t 1 l 30 km 0,3 h 14 min. v C 130 km/h u Considerando che 1,5 min 0,08 h, la velocità effettiva dell auto è stata pari a: v 1 l t 30 km 144 km/h. 0,08 h La differenza di velocità tra il valore registrato dal Tutor e il valore segnato dal tachimetro è data da: Δv v 1 v C ( )km/h 14 km/h. 3. ΔV V e a a + e b b + e c c 0,3cm 0, cm + 40,5 cm 10,8 cm + 0,1cm 0,3cm 0,03 V a b c 40,5 cm 10,8 cm 0,3cm 8879, cm 3 e V ΔV V V 0, , cm3 66,4 cm 3 V (8900 ± 300)cm 3 ( 8,9 ± 0,3)dm 3 3 Zanichelli 016

24 CAPITOLO La misura 4. u Il semiperimetro e l incertezza valgono rispettivamente: u ( ) ± 0,0 p 50,3 + 5,48 m, e p e l + e L (0,01+ 0,01)m 0,0 m, da cui segue che la misura del semiperimetro può essere espressa come p (75,80 ± 0,0)m. e r e p p 0,0 m 0,0003 0,03% (50,3 + 5,48)m 5. u Il dislivello si calcola come: h ( )m 370 m. L incertezza vale: u Δh 0, m ( ) + 0,00 ( 1050 m) 49 m 50 m. Quindi il risultato si scrive come: ( ) m. h 370 ± 50 L incertezza relativa percentuale vale: e r ( h) % 14% u L incertezza sulla massa complessiva della cassetta è: Δm C m C Δm m mentre l incertezza sulla tara è: Δm T m T da cui segue: Δm m m C (5,0 ± 0,8)kg, m T (0,7 ± 0,1)kg. 5 kg 0,15 0,75 kg 0,8 kg 0,7 kg 0,15 0,1 kg, u Viene introdotto un errore sistematico, dovuto alla parallasse. 7. u La velocità di raffreddamento si calcola come: ( 77,8 50,0) C v 3 min 60s 0,16 C/s. min + 40s Abbiamo un incertezza di 0,4 C Δv 7,8 C + 1 s 0 s 0,16 C/s 0,00 C/s. u No: la variazione di temperatura in 1 s è di 0,16 C e il termometro non ha una sensibilità adeguata. 4 Zanichelli 016

25 CAPITOLO La misura 8. u La massa media e l errore massimo per i campioni degli adulti sono: ( 13,4 +13,50 +13,8 +13,09)µg m A 13,41µg; 4 ( 13,8 13,09)µg e m 0,37 µg; m 13,4 ± 0,4 µg. cioè: ( ) A Quindi la concentrazione vale: C A m A 13,4 µg µg 67 0 ml 0, dl dl, con ΔC A Δm A 0,4 µg 0, dl 0, dl µg dl. La massa media e l errore massimo per i campioni dei bambini sono: ( 13,14 +1,71+1,50 +13,0)µg m B 1,84 µg; 4 ( 13,14 1,50)µg e m 0,3 µg; cioè: m B ( 1,8 ± 0,3)µg. Quindi la concentrazione vale: C B m B 1,8 µg µg 64 0 ml 0, dl dl, con ΔC B Δm B 0,dL 0,3µg µg 1,5 0,dL dl µg dl. u La concentrazione limite è compresa tra µg 65 dl e µg 75 dl, quindi i risultati delle analisi non sono allarmanti perché, considerando le incertezze, rientrano nei valori limite. u La sensibilità dello strumento usato per la misura della massa è di 0,01 µg. Quindi la concentrazione minima misurabile è C min 0,01µg 0,1dL 0,1 µg dl. 9. u t Σt i n e m t t max min u t ( 3± 3)s (5,8 + 4,0 + 1,0 + 3, + 3,8 + 3,0 + 0, + 0,8)s 8 u e% % 13% ( 5,8 0,)s,8 s u No, si sarebbe associata alla sensibilità dello strumento.,7 s 5 Zanichelli 016

26 CAPITOLO La misura 10. u l min ( 150, 90,8)m 59,4 m Δl ( 0,5+ 0,3)m 0,8 m l min ( 59,4 ± 0,8)m u A l max l min ( 90,8 59,4)m 5, m u e area % Δ l max l max + Δ l min l min 100 % 1,7% 11. u A 4πr 4π ( 7, m) 6, m u d m V m 3m 4 3 πr 3 4πr 3 1. u m 8,35g g u L equivalenza è corretta. 3 1, kg ( ) m 3 1, kg/m 3 4π 7,14 u Occorrono cifre significative: 4,3 10 g 13. u Sì: V 30 ml 8 40 ml u Dovrebbe scrivere 10 ml 14. A piastrella ( 15,0 10 m) m ΔA piastrella Δl l A minima 0,010 m A massima 0,040 m A m Quindi il numero minimo e massimo di piastrelle sarà rispettivamente: N minimo N massimo S 4 m 1, A massima 0,040 m S 4 m 1, A minima 0,010 m 15. u Il valore più plausibile per la percentuale di voti ottenuti dalla coalizione Bianca è dato dalla somma delle percentuali ottenute, secondo i primi risultati, dai partiti che fanno parte della stessa coalizione: quindi è il 53%. A questo valore bisogna aggiungere o sottrarre la somma delle incertezze percentuali associate a ciascuna previsione, che corrisponde al 7% (le incertezze sul risultato di 6 Zanichelli 016

27 CAPITOLO La misura operazioni di somma o sottrazione si sommano sempre. La coalizione Bianca, quindi, può ottenere come percentuale massima il 60% e come percentuale minima il 46%. u Applicando lo stesso criterio, per la coalizione Gialla otteniamo che il valore più plausibile per la percentuale di voti ottenuti da questa coalizione è il 47%, con un incertezza del 7%. La percentuale minima della coalizione Gialla è allora il 40% e la massima il 54%. u No. Come si può ricavare dalle due risposte precedenti, l incertezza sui risultati finali di ciascuna delle due coalizioni, non è tale da consentire la certezza del conseguimento della maggioranza a nessuna delle due coalizioni. 16. u Per l area si ha: A πr π 4 D π 4 (5,75 mm) 50,77 mm, ΔA A ΔD D + ΔD D ΔD D 0,05 mm 5,75 mm 0,004, ΔA A ΔA A 50,77 mm 0,004,09 mm ; il risultato può essere quindi espresso come A (51± )mm. Per il perimetro si ha: p π D πd π(5,75 mm) 80,86 mm, Δp πδd π(0,05 mm) 0, mm, che può essere quindi espresso come p (80,9 ± 0,)mm. u Per il volume si ha: V Ah 51mm,0 mm 1146 mm 3, ΔV V ΔV V ΔA A + Δs s ΔV V 0, ,05 mm,0 mm 0,03, 1146 mm3 0,03 34 mm 3, da cui segue che il volume può essere espresso come V (1,15 ± 0,03) 10 3 mm u 3:43,0 min (valore intermedio) u Convertendo in secondi i tre valori, si ottiene: Δt 1 3: 4,0 min,0 s, Δt 3: 43,0 min 3,0 s, Δt 3 3: 43,1min 3,1s. 7 Zanichelli 016

28 CAPITOLO La misura La media delle misure risulta: Δt Δt + Δt + Δt 1 3,7 s 3 e l errore massimo: (3,1,0)s e m 0,6 s. Quindi (,7 ± 0,6).s 18. L area relativa alla zona centrale quadrata è A rovere l 1 (1,15 m) 1,3 m mentre per l incertezza A rovere ad essa associata si ha: ΔA rovere Δl 1 + Δl 1 Δl 1 0,01m A rovere l 1 l 1 l 1 1,15 m 0,0; ΔA rovere A rovere ΔA rovere A rovere La dimensione della stanza risulta: 1,3 m 0,0 0,03 m. A stanza L l (7,50 6,00)m 45,00 m. Per l incertezza A stanza ad essa associata si ha: ΔA stanza A stanza ΔL L + Δl 0,01m l 7,50 m + 0,01m 6,00 m 0,003; ΔA stanza A stanza ΔA stanza A stanza 45,00 m 0,003 0,135 m. L area che deve essere coperta dal parquet di betulla è quindi: A betulla A stanza A rovere (45,00 1,3)m 43,68 m, ΔA betulla ΔA stanza + ΔA rovere (0,14 + 0,03)m 0,17 m, che può essere espressa come A betulla (43,7 ± 0,)m. ( )mg 19. u La media dei valori ottenuti è: m 507 mg. 5 ( )mg L errore massimo è dato da: e m 8 mg. Il risultato quindi è: m ( 0,507 ± 0,008)g. u Per calcolare la concentrazione dobbiamo calcolare il numero di moli: n 0,507 g 174 g/mol, mol che ha un incertezza di Δn g 174 g/mol mol. 8 Zanichelli 016

29 CAPITOLO La misura Quindi n (,91± 0,05) 10 3 mol. La concentrazione è data da C, mol L, mol/l e l incertezza è ΔC mol L mol/l. Il valore finale è quindi: C ( 0,91± 0,005)mol/L. u Era richiesta una concentrazione compresa tra 0,8 mol/l e 0,3 mol/l, quindi il valore misurato è compreso nell intervallo di valori accettati. TEST 1. B. C 3. C 4. B 5. D 6. C 7. B 8. D 9. A 10. C 11. B 1. C 13. D 14. D 15. B 16. B 17. C 18. D 19. D 9 Zanichelli 016