1 - GRANDEZZA UNITÀ DI MISURA SISTEMA DI UNITÀ DI MISURA 2 - MISURA 3 - MISURAZIONE SISTEMA MISURATO 3.

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1 UdA n 1 METROLOGIA La Metrologia è la scienza che studia i principi, i metodi ed i mezzi per effettuare la misurazione delle diverse grandezze fisiche (lunghezze, superfici, volumi, angoli, energia, potenza, portata, massa volumica ), stabilendone i sistemi di misura e le relative unità di misura, in base ad un apposita scelta delle grandezze fondamentali, delle corrispondenti unità di misura e delle relative definizioni. Le norme che regolano l argomento sono insite nella Tabella UNI Ecco alcune definizioni fondamentali: 1

2 TERMINE 1 - GRANDEZZA UNITÀ DI MISURA SISTEMA DI UNITÀ DI MISURA 2 - MISURA 3 - MISURAZIONE SISTEMA MISURATO MISURANDO STRUMENTO (PER MISURAZIONE) 5 - LETTURA SEGNALE DI LETTURA FORMATO D USCITA SCALA AZZERAMENTO DEFINIZIONE Ogni quantità, proprietà, condizione usata per descrivere fenomeni e valutabile in termini di Unità di misura. Termine di riferimento adottato, per convenzione, per confrontare una grandezza con altre della stessa specie. Insieme organizzato di definizioni, tra di loro collegate, di Unità di misura pertinenti a grandezze di specie diverse. Informazione costituita da un numero, un incertezza ed un Unità di misura, assegnata a rappresentare un parametro in un determinato stato del sistema. Insieme di operazioni materiali ed elaborative compiute mediante appositi dispositivi posti in interazione con il Sistema misurato allo scopo di assegnare la misura di una grandezza assunta come parametro di tale sistema. Specifico sistema su cui si effettua la misurazione e/o regolazione. Parametro sottoposto a misurazione e/o regolazione, valutato nello stato assunto dal sistema al momento della misurazione stessa. Apparecchio che, posto in interazione con il sistema misurato, fornisce nel suo formato d uscita un indicazione dipendente dal valore del misurando. Rilevamento dell indicazione di un dispositivo per misurazione da parte dell osservatore umano o di un utilizzatore strumentale. Segnale d uscita di un dispositivo, che contiene l informazione relativa al valore assunto dal misurando. Modo di presentazione del segnale d uscita di un dispositivo per misurazione. Si classifica come: ANALOGICO: quando l indicazione è presente in forma continua (es.: indice mobile su scala). NUMERALE: quando l indicazione è presente in forma discreta in corrispondenza biunivoca con il valore del misurando (es.: contachilometri). Insieme della graduazione e della numerazione che permette di determinare la lettura. Insieme di operazioni compiute su un dispositivo per misurazione per imporgli di fornire un segnale di lettura nullo in corrispondenza alla lettura di riferimento. 2

3 In particolare, nella definizione di Misura, è nominato il termine incertezza. La norma UNI-UNIPREA 4546 definisce l incertezza della misura come: Intorno limitato del valore di un parametro, corrispondente agli elementi della fascia di valore assegnatagli come misura. L'incertezza di una misura finita è un intorno simmetrico del valore e si indica con un numero ± i associato alla stessa unità di misura usata per esso (valore), o con altra notazione dalla quale questo numero può essere ricavato. L ampiezza 2 i dell intorno costituente l incertezza è pari all ampiezza della fascia di valore. Fascia di valore è l insieme limitato di numeri con unità di misura associata, assegnata globalmente come misura di un parametro. Gli elementi della fascia di valore sono tutti ugualmente validi e rappresentano il parametro. Gli estremi della fascia appartengono alla fascia stessa. La differenza tra gli elementi massimo e minimo compresi nella fascia costituiscono l ampiezza della fascia di valore. L incertezza non ha lo stesso significato di fascia di valore. Possiamo usare un esempio numerico per meglio chiarire i termini della definizione di incertezza sopra riportata. Se scriviamo, per esempio, la misura come V x = 3,4 ± 0,2 volt e ricordiamo che una misura è "una informazione costituita da un valore, un'incertezza ed una unità di misura atta a rappresentare..." possiamo dire che: - il numero 3,4 è il "valore del parametro"; - l'intervallo che va da (3,4-0,2) a (3,4 + 0,2), cioè da 3,2 a 3,6 è la "fascia di valore". 3

4 Nella misura 322 ± 12 m, la fascia di valore è l insieme m e l incertezza l insieme ± 0 12 m, individuabile con il solo numero ± 12, che deve essere associato al valore 322 m per dare la misura. TIPI DI MISURAZIONE In Metrologia le misurazioni possono essere effettuate i varie maniere. Il metodo più usato in Tecnologia (calibri, micrometri ) è quello con strumenti tarati. Misura con strumenti tarati La grandezza da misurare interagisce con lo strumento di misura, di cui ne causa lo spostamento (corsoi, indici ) dalla posizione iniziale precedentemente fissata con taratura. L entità dello spostamento fornisce il valore della misura. La misurazione di una grandezza può essere fatta in due modi: - Misura diretta: quando si confronta la grandezza da misurare con un altra della stessa specie presa come campione. Per esempio la misura di una lunghezza eseguita con il metro. - Misura indiretta: quando si ricava la misura della grandezza per mezzo di altre, da cui essa dipende, che vengono determinate col metodo diretto. Per esempio la misura della velocità V = s/t. Arrotondamento e cifre significative Una misura può essere arrotondata per difetto o per eccesso, a seconda che l ultima cifra sia < oppure 5. Esempio: 25,5263 mm Arrotondato al millesimo: 25,526 mm al centesimo: 25,53 mm al decimo: 25,5 mm all unità: 26 mm 4

5 Anche gli zeri dopo la virgola (12,0 15,00 20,000), che dal punto di vista matematico non hanno alcun significato, nella metrologia ne acquistano perché indicano il grado di approssimazione dello strumento. Esempio: 10,0 significa che la misura è approssimata al decimo di mm (è possibile quindi verificarla col calibro decimale); 15,00 significa che la misura è approssimata al centesimo di mm (è possibile quindi verificarla col micrometro centesimale). Se una misura effettuata col calibro decimale è pari a 10,7 mm, è errato indicarla con 10,70 mm, in quanto il suddetto strumento non è in grado di rilevare i centesimi (70). Le cifre significative sono le cifre di una misura che hanno significato, ovvero tutte quelle che lo strumento utilizzato è in grado di fornire con certezza. Le cifre che vanno considerate, che dipendono dall approssimazione dello strumento utilizzato, sono dette cifre significative. Si definisce gruppo di cifre significative quello che inizia a sinistra con la prima cifra non nulla e finisce a destra con l ultima cifra nota, compreso lo zero. Esempio: 15,00 ha quattro cifre significative 25,7 ha tre cifre significative 25,70 ha quattro cifre significative 0,0380 ha tre cifre significative Vediamo allora come esprimere correttamente i risultati dei calcoli che coinvolgono misure. 5

6 Vale la seguente regola: Il risultato di somme, sottrazioni e moltiplicazioni o divisioni, deve essere espresso con un numero di cifre decimali pari a quelle della misura che ne ha di meno Supponiamo di voler determinare il valore medio tra le due temperature 35,45 C e 34,3 C. Il risultato fornito dalla calcolatrice è 34,875 C. Tuttavia, la regola suddetta impone di esprimere il risultato con 3 cifre significative (essendo tre le cifre di 34,3). E necessario perciò operare un taglio di cifre immediatamente a destra della terza cifra significativa (l 8), vale a dire: 34,8 75. Il risultato corretto, però, non è 34,8 poiché il valore 7, che è il primo numero dopo l ultima cifra significativa da prendere in considerazione, determina un arrotondamento per eccesso, convertendo l 8 in 9. Il risultato corretto sarà quindi 34,9 C. Vale la seguente regola: Non sono ammessi arrotondamenti a cascata Per chiarire meglio l affermazione facciamo un esempio. Supponiamo di dover esprimere il valore 5,647 con 2 cifre significative. Il taglio deve quindi avvenire in modo che sia: 5,6 47. Si potrebbe pensare di agire nel seguente modo: il 7 arrotonda per eccesso il 4 (che lo precede) a 5 e questo, a sua volta, arrotonda per eccesso il 6 a 7. In questo modo il risultato dell arrotondamento dovrebbe essere 5,7. Però, come detto sopra, questa procedura è errata in quanto, ai fini dell arrotondamento va considerata solo la cifra che segue la posizione del taglio (in questo caso il 4). Poiché il 4 opera un arrotondamento per difetto il risultato corretto sarà: 5,6. 6

7 Caratteristiche di uno strumento (da UNI 4546) TERMINE PORTATA MASSIMA SENSIBILITÀ ASSOLUTA PRECISIONE PRONTEZZA FEDELTÀ STABILITÀ APPROSSIMAZIONE DEFINIZIONE E la massima grandezza che lo strumento può misurare (es.: i micrometri hanno portata 0 25, ; il micrometro centesimale per esterni 0 25 può misurare al massimo una grandezza di 25 mm). E il rapporto tra lo spostamento dell indice dello strumento ed il corrispondente incremento della grandezza da misurare: S a = l / G Quando lo strumento è molto sensibile, una piccola variazione della grandezza da misurare provoca un grande scostamento dell indice (es.: bilancia, comparatore ). Rappresenta l attitudine di uno strumento a fornire misure col minimo errore. E il tempo che trascorre prima che l indice, muovendosi dalla sua posizione di riposo, raggiunga la definitiva posizione di equilibrio allorché allo strumento stesso viene bruscamente applicata una grandezza (es.: bilancia). E l attitudine di uno strumento a fornire misure di una stessa grandezza poco differenti tra loro, quando vengano eseguite nelle stesse condizioni e a brevi intervalli di tempo. E l attitudine di uno strumento a fornire misure di una stessa grandezza poco differenti tra loro, quando vengano eseguite nelle stesse condizioni e a lunghi intervalli di tempo. E la più piccola frazione di una grandezza, lineare o angolare, che è possibile misurare con uno strumento. Es.: il goniometro diviso in gradi ha approssimazione di 1, la riga divisa in mm ha approssimazione di 1 mm. 7

8 TEORIA DEGLI ERRORI Per Misura di una grandezza si intende il rapporto esistente tra la grandezza stessa ed un altra della medesima specie presa come unità di misura. È praticamente impossibile conoscere il valore vero di una misura, in quanto il valore di essa è legato sia all approssimazione dello strumento impiegato sia agli errori di varia natura che si commettono durante la misurazione. Per questo, si consiglia di ripetere più volte la stessa misura e di assumere come valore vero di essa il valore medio L m : L m = L 1 + L 2 + L 3 + L 4 + L n / n con = L 1, L 2, L 3 i valori delle singole letture ed n il numero di letture effettuato. Ricordiamo che, secondo la norma UNI 4546, una misura è "una informazione costituita da un valore, un'incertezza ed una unità di misura. Che valore di incertezza dare alla misura? Nel caso di misurazione a lettura singola, l incertezza da assegnare alla misura è l incertezza strumentale del dispositivo usato, valutata in sede di taratura; quando il dispositivo usato appartiene ad una classe di precisione questa incertezza è assunta pari al limite d incertezza che qualifica appunto la classe di precisione cui appartiene il dispositivo in questione. Si può assumere come incertezza l approssimazione dello strumento. Poiché il misurando (parametro sottoposto a misura) non può avere contemporaneamente valori diversi, è evidente che la presenza di una fascia di valore è il risultato della imperfezione del processo di misurazione e quanto più ampia è la fascia di valore tanto più imperfetta è la misurazione eseguita. 8

9 L incertezza risulta a tutti gli effetti equivalente all errore massimo. ERRORI DI MISURA Errore di misura è la differenza fra l indicazione fornita dallo strumento e la dimensione vera della grandezza. Vediamo i vari tipi di errore mediante un esempio. Supponendo che la grandezza vera sia G = 12,56 mm e che il valore di lettura sia L = 12,59 mm, si distinguono: TIPO DI ERRORE ERRORE ASSOLUTO ERRORE ASSOLUTO MEDIO ERRORE RELATIVO ERRORE PERCENTUALE DEFINIZIONE FORMULA ESEMPIO è la differenza tra la lettura L ed il valore effettivo G della grandezza È la differenza tra il valore medio di molte letture L m ed il valore effettivo G è il rapporto tra l errore assoluto E a ed il valore effettivo G della grandezza è l errore relativo moltiplicato per 100 E a = L - G E a = 12,59 12,56 = 0,03 mm E am = L m - G E r = E a /G E r = 0,03/12,56 = 0,0024 E% = E r * 100 E% = 0,0024 * 100 = 0,24% 9

10 CAUSE DI ERRORE Si distinguono: 1) Errori derivanti dallo strumento - dovuti a difetti di costruzione - dovuti a modifiche strutturali del materiale 2) Errori dipendenti dall ambiente Le misure devono essere effettuate alla Temperatura ambiente (20 ). Qualora questo non sia possibile, è necessario ricondurre il valore misurato alla Temperatura di laboratorio. Si può utilizzare la seguente formula: L 20 = L T / (1 + α T) Esempio: Temperatura dell ambiente = 40 gradi Coefficiente di dilatazione lineare dell acciaio α = 0, Valore di lettura a 40 gradi = 15,02 mm L 20 = 15,02 / (1 + 0, * 20) = 15,016 mm 3) Errori dipendenti dall operatore - dovuti ad eccessiva pressione di serraggio - di parallasse (punto di vista non perpendicolare alla tacca di misurazione). 10

11 TIPI DI ERRORE Gli errori di misura possono essere classificati in due categorie: 1. ERRORI ACCIDENTALI Sono quelli dovuti a cause esterne al procedimento di misurazione (per esempio alle vibrazioni del piano su cui si effettua la misurazione). Sono provocati da cause occasionali, non prevedibili e agenti di volta in volta con diversa entità e segno. 2. ERRORI SISTEMATICI Sono legati al procedimento di misurazione (campioni impiegati, stato del misurando, temperatura dell ambiente, errore dello strumento, abilità dell operatore). Sono provocati di volta in volta sempre dalla stessa causa e sono di valore e segno costanti. SCARTO, SEMIDISPERSIONE, SCARTO MEDIO E SCARTO QUADRATICO MEDIO Lo SCARTO rispetto alla media è la differenza tra la generica misura (lettura L i ) e la misura media L m : S 1 = L 1 - L m S 2 = L 2 - L m S 3 = L 3 - L m. Gli scarti (scostamenti) delle singole letture rispetto al valore più attendibile (valore medio), sono in parte positivi ed in parte negativi. 11

12 Esempio: Siano stati rilevati, col micrometro centesimale, i valori di lettura riportati nella seguente tabella: Numero misurazioni Misura (mm) d 1 23,22 d 2 23,26 d 3 23,27 d 4 23,31 d 5 23,34 d 6 23,34 d 7 23,35 d 8 23,45 d 9 23,49 d 10 23,50 Il valore medio L m risulta: L m = L 1 + L 2 + L 3 + L 4 + L n / n L m = 23, , , , , , , , , ,50 / 10 = 23,35 mm Gli scarti rispetto alla media sono: S 1 = 23,22-23,35 = - 0,13 mm S 2 = 23,26-23,35 = - 0,09 mm S 3 = 23,27-23,35 = - 0,08 mm S 4 = 23,31-23,35 = - 0,04 mm S 5 = 23,34-23,35 = - 0,01 mm S 6 = 23,34-23,35 = - 0,01 mm S 7 = 23,35-23,35 = 0,00 mm S 8 = 23,45-23,35 = 0,10 mm S 9 = 23,49-23,35 = 0,14 mm S 10 = 23,50-23,35 = 0,15 mm Come si può notare, gli scarti sono in parte positivi ed in parte negativi. Quando si effettuano numerose misurazioni, non è detto che tutte siano attendibili. Il campo di attendibilità delle misure può essere determinato in vario modo. Vediamo di seguito il metodo della semidispersione, dello scarto medio (o errore medio) e dello scarto quadratico medio. 12

13 1) La SEMIDISPERSIONE è la metà della differenza tra il valore di lettura massimo rilevato L Max ed il valore di lettura minimo L min : δ = ½ L Max - L min Il campo delimitato dal valore ± δ rappresenta l intervallo entro cui le misurazioni si possono ritenere valide. Esempio: Siano stati rilevati, col micrometro centesimale, i valori di lettura riportati nella seguente tabella: Numero misurazioni Misura (mm) d 1 23,22 d 2 23,26 d 3 23,27 d 4 23,31 d 5 23,34 d 6 23,34 d 7 23,35 d 8 23,45 d 9 23,49 d 10 23,50 Calcolo della Semidispersione: δ = ½ L Max - L min = 1/2 23,50-23,22 = 0,14 mm Il valore medio è dato da: L m = 23,35 mm Si determina il Limite superiore del campo di attendibilità: L sup = L m + δ = 23,35 + 0,14 = 23,49 mm ed il Limite inferiore: L inf = L m - δ = 23,35-0,14 = 23,21 mm Con i valori ricavati si può costruire il grafico seguente: 13

14 23,55 23,5 23,45 23,4 23,35 23,3 23,25 23,2 23,15 + δ - δ L sup L m L inf Come si può notare dal grafico, tutti i valori misurati rientrano nei limiti e quindi sono da ritenere tutti validi. 2) Lo SCARTO MEDIO (o errore medio) è la somma degli scarti diviso il numero di letture effettuato: E m = L 1 - L m + L 2 - L m + L 3 - L m + L 4 - L m + + L n - L m n Sempre con riferimento ai valori prima riportati in tabella, si può calcolare lo scarto medio. Dapprima si ricavano i singoli valori degli scarti rispetto alla media: S 1 = 23,22-23,35 = - 0,13 mm S 2 = 23,26-23,35 = - 0,09 mm S 3 = 23,27-23,35 = - 0,08 mm S 4 = 23,31-23,35 = - 0,04 mm S 5 = 23,34-23,35 = - 0,01 mm S 6 = 23,34-23,35 = - 0,01 mm S 7 = 23,35-23,35 = 0,00 mm S 8 = 23,45-23,35 = 0,10 mm S 9 = 23,49-23,35 = 0,14 mm S 10 = 23,50-23,35 = 0,15 mm Risulta: E m = S 1 + S 2 + S 3 + S 10 = 0,75 / 10 = 0,

15 Per cui i Limiti superiore ed inferiore del campo di attendibilità risultano: L sup = L m + E m = 23,35 + 0,075 = 23,425 mm L inf = L m E m = 23,35 0,075 = 23,275 mm Il grafico risulta il seguente: 23,55 23,5 23,45 23,4 23,35 23,3 23,25 23,2 + σ - σ L sup L m L inf Dal confronto col precedente, questo grafico fornisce un campo di errore più limitato. Alcune misurazioni (5), fuori dai limiti definiti, non possono essere ritenute valide. 15

16 3) Lo SCARTO QUADRATICO MEDIO è dato dalla radice quadrata della somma degli scarti diviso il numero n di letture effettuato moltiplicato per (n 1): σ = ± S S S S n 2 n (n 1) Considerando i valori di misura prima riportati, si ha: σ = ± 0,03 mm Si determina così il Limite superiore del campo di attendibilità: L sup = L m + σ = 23,35 + 0,03 = 23,38 mm ed il Limite inferiore: L inf = L m - σ = 23,35-0,03 = 23,32 mm Con i valori prima riportati, il grafico assume la forma seguente: 23,55 23,5 23,45 23,4 23,35 23,3 23,25 23,2 L sup + σ L m - σ L inf Lo Scarto quadratico medio è il metodo che fornisce il campo di attendibilità più ristretto, cioè il campo di errore più limitato. Molte misurazioni (8), fuori dai limiti definiti, non possono essere ritenute valide. 16

17 Curva normale o di Gauss Supponendo di eseguire un controllo di una caratteristica (es.: diametro) di 150 pezzi, si può rappresentare in un diagramma quante volte la stessa quota compare sui 150 elementi esaminati. Si ottiene così una distribuzione di frequenza come quella di figura, rappresentabile con dei trattini verticali (ad ogni trattino corrisponde una misurazione, il trattino inclinato è la quinta misurazione e così si ha facilità di lettura), o mediante un istogramma (costituito da colonne con base corrispondente all intervallo di quota, che è detta classe, per esempio 0,01 mm, ed altezza proporzionale al numero di misure rilevate entro lo stesso intervallo di quota. Si può constatare che le misure sono sparse entro un campo più o meno ristretto e che sono distribuite in questo campo con una certa regola che può essere espressa nel modo seguente: - Concentrazione dei valori intorno ad una quota centrale; - Diluizione dei valori in vicinanza dei bordi del campo; - Simmetria nella distribuzione dei valori. Queste tre caratteristiche sono proprie di una distribuzione rappresentata da una curva chiamata Curva normale o Curva di Gauss. Infatti, se tracciamo la tangente alle colonne dell istogramma si ottiene una curva a campana. 17

18 La distribuzione gaussiana è caratteristica di tutti i fenomeni le cui variazioni sono dovute al sovrapporsi casuale di numerose piccole cause accidentali di variazione, ciascuna delle quali agisce indipendentemente dalle altre e con effetto molto piccolo in rapporto alla somma di tutti gli effetti. Per una macchina utensile, tali cause accidentali possono essere: - giochi sugli elementi mobili - eccentricità di parti rotanti - usura di un utensile - allentamento di un perno - irregolarità nella materia prima -.. I difetti suddetti possono determinare errori nei pezzi lavorati, con distribuzione di frequenza simile a quella sopra descritta. La corrispondente Curva di frequenza presenta la forma a campana simmetrica e si estende tra - e + ; l area compresa tra la curva e l asse delle ascisse rappresenta la totalità delle osservazioni. La Teoria degli errori afferma che gli scarti sono rappresentabili secondo una curva a campana o di Gauss. Con riferimento alle grandezze fisiche misurate, ponendo gli scarti in ascissa e le probabilità in ordinata, si ottiene l andamento sotto riportato. La curva è simmetrica rispetto all asse delle y. Ciascun punto della curva rappresenta la probabilità che una certa misurazione si verifichi (ponendo in ordinata la probabilità ed in ascissa il valore della misurazione). In effetti il valore che ha la maggior probabilità che si verifichi è il valor medio delle misurazioni (linea centrale del grafico). L area limitata dalla curva, dall asse delle ascisse e da due parallele all asse delle ordinate, rappresenta la probabilità che una certa osservazione sia contenuta nel corrispondente intervallo. 18

19 In particolare si ha: da σ a + σ = 68,3 % delle osservazioni da 2σ a + 2σ = 95,5 % delle osservazioni da 3σ a + 3σ = 99,7 % delle osservazioni dove σ è lo scarto quadratico medio. Se X è la Media di n valori X 1, X 2, X 3. X n, il valore dello scarto quadratico medio dei singoli valori rispetto alla loro media è dato da: σ = ( X 1 X) 2 + ( X 1 X) 2 + ( X 3 X) 2 +. ( X n X) 2 / n (n 1) 19