2 Andiamo subito alle conclusioni

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1 1 Misure indirette Per misura indiretta si intende la misura di una qualunque grandezza ottenuta attraverso operazioni matematiche su delle misure dirette. Ad esempio, se vogliamo ricavare una stima dell area di una superficie rettangolare, come quella di un tavolo, solitamente misuriamo i due lati del tavolo e ricaviamo l area attraverso il prodotto delle lunghezze dei due lati. In questo caso quindi le misure dirette sono quelle dei lati del tavolo (operate infatti direttamente attraverso un confronto con un metro o qualsiasi altro strumento per la misura di lunghezze). La misura dell area è invece una misura indiretta, in quanto ottenuta dalle misure dirette dei lati attraverso l operazione A = l 1 l 2. Per ciascun lato avremo fatto un certo numero di misure, tendenzialmente elevato, e pertanto avremo calcolato per ciascun lato la media e l errore assoluto (valutato ad esempio come errore massimo). La domanda che ci poniamo adesso è: note le medie delle misure dei lati ed i loro errori, qual è la miglior stima che possiamo dare per la misura dell area, e quale sarà l errore da cui è affetta la stima della misura dell area? Altre misure indirette possono essere ad esempio la misura del perimetro di un poligono, che sarà data da p = l 1 + l l n, se il poligono ha n lati. Oppure l intervallo di tempo di passaggio davanti a due fotocellule che, supponendo che la prima misuri un tempo t 1 e la seconda un tempo t 2, sarà dato da t = t 2 t 1. O ancora la misura della densità di un oggetto, data da d = m, dove m è la massa dell oggetto e V il suo volume. In tutti questi V casi vogliamo sapere come fare per ottenere la miglior stima della misura indiretta che ci interessa e quale sarà l errore su questa misura, ovvero come si propagherà l errore sulla misura indiretta.

2 2 Andiamo subito alle conclusioni Diciamo subito cosa si ottiene. Per quanto riguarda la stima migliore che possiamo dare della misura indiretta che ci interessa, essa sarà quella che otteniamo utilizzando per ricavarla le medie delle misure dirette che abbiamo fatto. Tornando all esempio della superficie del tavolo, se indichiamo con l 1 e l 2 le medie delle misure dei due lati del tavolo, la nostra misura indiretta dell area della superficie del tavolo sarà: A = l 1 l 2. Analogamente la misura del perimetro sarà data dalla somma dei valori medi dei lati del poligono, e la misura della densità sarà data dal rapporto fra la medie delle misure della massa e la media delle misure del volume. Per quanto riguarda l errore sulla misura indiretta possiamo dire quanto segue: nel caso in cui la misura indiretta sia ottenuta tramite la somma o la sottrazione di misure dirette si sommano gli errori assoluti, se invece la misura indiretta è ottenuta attraverso il prodotto o il quoziente di misure dirette si sommano gli errori relativi, come schematizzato nella tabella seguente. Propagazione degli errori sulle misure indirette somma somma degli errori assoluti sottrazione prodotto somma degli errori relativi quoziente Nel caso in cui la misura indiretta sia ottenuta attraverso un prodotto o un quoziente di misure dirette, se vogliamo ricavare l errore assoluto sulla misura dovremo pertanto calcolare innanzitutto l errore relativo sulla misura stessa come somma degli errori relativi sulle misure dirette, dopo di che possiamo ricavare l errore assoluto semplicemente moltiplicando l incertezza relativa ottenuta per il valore della misura indiretta.

3 Importante: come si sarà notato gli errori non si sottraggono mai. Anche quando operiamo una sottrazione fra due misure (esempio dell intervallo di tempo fra due fotocellule), gli errori delle singole misure vanno sommati, e mai sottratti. Cosa accadrebbe infatti se sottraessimo gli errori? Andremmo incontro a degli assurdi paradossi. Infatti, rimanendo all esempio del t, converrebbe (paradossalmente appunto) misurare male il t 2 così da vedere ridotto l errore complessivo, dal momento che l errore su t 2 andrebbe a sottrarsi all errore su t 1. Addirittura se l errore su t 2 fosse maggiore di quello su t 1 giungeremmo ad un errore totale negativo, che ovviamente non ha alcun senso. L incertezza sull intervallo di tempo è quindi la somma delle incertezze con cui ho eseguito le due misure t 1 e t Esempio Consideriamo l esempio della misura di t. Supponiamo di avere una sfera che rotola su di un piano inclinato, sopra il quale abbiamo posizionato due fotocellule sincronizzate con il meccanismo che fa partire la sfera. Le fotocellule segnalano il passaggio della sfera e danno una misura del tempo impiegato dalla sfera per raggiungere il punto del piano inclinato su cui sono posizionate le fotocellule. Il tempo impiegato dalla sfera per percorrere la distanza che separa le due fotocellule sarà dato da t = t 2 t 1. Eseguiamo pertanto una serie di misure dei tempi t 1 e t 2, e calcoliamo media ed errore assoluto per entrambi. Supponiamo di ottenere i seguenti valori: t 1 = (3.55 ± 0.08) s e t 2 = (6.62 ± 0.09) s, (1) dove t 1 e t 2 indicano le medie e gli errori assoluti (calcolati come errore massimo) ottenuti dalle misure dei tempi di passaggio davanti alle fotocellule. La stima di t sarà quindi data da t = 6.62 s 3.55 s = 3.07 s. Quale sarà l errore su t? In base a quanto descritto nel paragrafo 2 l errore as-

4 soluto su t sarà dato semplicemente dalla somma (e non dalla differenza) degli errori assoluti su t 1 e t 2, ovvero: ( t) = t 1 + t 2 = 0.08 s s = 0.17 s, (2) dove abbiamo indicato con ( t) l errore assoluto su t. La misura dell intervallo di tempo che forniremo sarà pertanto: t = (3.1 ± 0.2) s, (3) dove abbiamo arrotondato la misura alla prima cifra decimale dal momento che l errore assoluto cade su tale cifra. 2.2 Esempio Vogliamo misurare la superficie del pavimento di una stanza rettangolare. Procederemo effettuando innanzitutto un certo numero di misure di due lati diversi della stanza, e calcolandone la media e l errore assoluto (errore massimo). Supponiamo di ottenere i seguenti valori: l 1 = (5.75 ± 0.03) m e l 2 = (4.82 ± 0.02) m, (4) dove con l 1 e l 2 abbiamo indicato le misure dei due lati (medie ed errori massimi). L area sarà quindi data semplicemente dal prodotto l 1 l 2, ovvero A = m 2. Come possiamo fare per calcolare l errore assoluto sulla misura dell area? In base a quanto descritto precedentemente dobbiamo innanzitutto calcolarci gli errori relativi sulle misure di l 1 e l 2, sommarli e ottenere così l errore relativo sull area. Procediamo:

5 err. relativo su l 1 = l 1 l 1 err. relativo su l 2 = l 2 l 2 = 0.03 m 5.75 m = 0.02 m 4.82 m = 0.005, (5) = (6) L errore relativo sull area sarà pertanto uguale alla somma degli errori relativi sulle misure dei lati, ovvero: A A = l 1 l 1 + l 2 l 2 = = (7) A questo punto abbiamo già un informazione sull incertezza da cui sarà affetta la nostra misura dell area, e cioè il suo errore relativo. Se vogliamo l errore assoluto basterà moltiplicare l errore relativo ottenuto per la misura dell area stessa, come consegue dalla definizione di errore relativo. l errore assoluto faremo dunque: Per calcolare A A A = m2 = 0.2 m 2. (8) La misura della superficie del pavimento che forniremo sarà pertanto: A = (27.7 ± 0.2) m 2, (9) avendo arrotondato la misura alla prima cifra decimale poichè l errore assoluto che abbiamo calcolato cade su questa cifra. 3 Propagazione degli errori sulle misure indirette: dimostrazione (A breve verrà inserita anche questa parte).