10 ottobre Marina Bertolini Dipartimento di Matematica F.Enriques Università degli Studi di Milano

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1 Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a ottobre 2007 Marina Bertolini (marina.bertolini@mat.unimi.it) Dipartimento di Matematica F.Enriques Università degli Studi di Milano Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 1/3

2 Misura Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 2/3

3 A cosa serve misurare? Misurare una grandezza è un procedimento che permette di associare alla grandezza un numero e quindi di operare con le grandezze in modo preciso e rigoroso. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 3/3

4 Come facciamo a misurare? Il modo migliore per introdurre il concetto di misura è proporre una attività pratica di misurare. Immaginiamo di procedere alla misurazione di lunghezza e larghezza della stanza in cui ci troviamo, utilizzando vari campioni un metro un pezzo di corda una sciarpa un foglio di carta... Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 4/3

5 Come facciamo a misurare? Se vogliamo ad esempio misurare la lunghezza di questa stanza, l operazione di misura equivale a valutare il rapporto tra la lunghezza che vogliamo misurare e la lunghezza di un campione (quante volte il campione sta nella stanza). Questo procedimento è quello che si effettua sempre quando si deve misurare una grandezza. Se il campione non è contenuto un numero intero di volte (avanza un pezzettino), suddividiamo il campione in parti uguali più piccole e procediamo con questo nuovo campione. Procediamo alla stessa maniera, fino a che non otteniamo un campione contenuto un numero intero di volte. Ma è sempre possibile? Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 5/3 Questa procedura ha un termine?

6 Piano pratico/concreto Il procedimento ha sempre termine nella pratica perché quando la misurazione ha una approssimazione sufficiente ci si ferma; perché lo strumento di misura non ci permettere di suddividere ulteriormente il campione. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 6/3

7 Dal punto di vista teorico Piano teorico/astratto il procedimento ha termine se e solo se la grandezza da misurare e il campione hanno un sottomultiplo comune; per esempio se: oppure anche se: G = 3u G = 3( u 5 ) = (3 5 )u in altre parole, il procedimento ha termine se e solo se la misura è espressa da un numero razionale. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 7/3

8 Piano teorico/astratto Nel caso in cui il procedimento abbia termine, le due grandezze (cioè la grandezza da misurare e il campione) sono dette commensurabili. ATTENZIONE: esistono coppie di grandezze per cui il procedimento non ha termine, ad esempio il lato e la diagonale del quadrato sono grandezze incommensurabili. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 8/3

9 Diagonale del quadrato Notiamo che l espressione incommensurabili non significa affatto che non si può misurare o non si può determinare 1 disegniamo il quadrato con lato di lunghezza 1 3 con il compasso riportiamo la lunghezza della diagonale sulla retta 2 la diagonale ha lunghezza Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 9/3

10 Approssimazioni di numeri reali I numeri razionali sono densi nei numeri reali. Questo significa che ogni numero reale può essere approssimato in maniera efficiente da un numero razionale. Questo giustifica il fatto che quando effettuiamo una misurazione possiamo essere sicuri che, anche se la procedura non dovesse aver termine, raggiungiamo comunque un livello in cui l approssimazione è adeguata. Vediamo proprio il caso di 2. Consideriamo una approssimazione con due cifre decimali: il numero reale 2 è compreso tra i numeri razionali 1, 41 e 1, 42, quindi il punto corrispondente a 2 sarà uno dei punti compresi tra il punto corrispondente a 1, 41 e il punto corrispondente a 1, 42. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 10/3

11 Approssimazioni di numeri reali Se effettuiamo un disegno molto ingrandito, siamo in grado di percepire la differenza tra 1, 41 e 1, 42 e quindi l approssimazione a due cifre non è sufficiente a permetterci di individuare il punto corrispondente a 2 1, , Se il disegno è di dimensioni normali non siamo più in grado di percepire la differenza 1, , Qui l approssimazione a una cifra è più che sufficiente e possiamo assumere 2 = 1, 4. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 11/3

12 Ma come possiamo valutare l approssimazione della misurazione? Qual è un margine di errore accettabile? Misurazioni Il margine di errore è principalmente determinato dallo strumento utilizzato. Ad esempio se misuriamo il foglio di carta A4 con un righello, possiamo ottenere una misura a meno di un millimetro La nostra misurazione del foglio A4 sarà perciò 21, 0 ± 0, 1 cm di larghezza e 29, 7 ± 0, 1 cm di altezza Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 12/3

13 Misurazioni In altre parole, scrivendo che la larghezza è 21, 0 ± 0, 1 cm intendiamo che la misura esatta è un valore compreso tra 20, 9 cm e 21, 1 cm È anche possibile valutare l errore percentuale, cioè confrontare l errore nella misurazione con la grandezza che si vuole misurare. 0, 1 21 Un errore dello 0, 5% è intrinseco nella misurazione che stiamo effettuando. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 13/3

14 Misurazioni Se passiamo a considerare le aree, l errore riportato nelle misurazioni lineari si ripercuote sull area Si ha infatti la misura della larghezza è un valore compreso tra 20, 9 cm e 21, 1 cm la misura dell altezza è un valore compreso tra 29, 6 cm e 29, 8 cm Applicando la formula dell area del rettangolo si ha la misura dell area è un valore compreso tra 20, 9 29, 6 = 618, 64 cm 2 e 21, 1 29, 8 = 628, 78 cm 2 con un margine di errore di 10, 14 cm 2 (ovvero ±5, 07 cm 2 Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso). speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 14/3

15 Misurazioni Un errore di ±0, 1 cm nella misurazione delle lunghezze ci porta un errore di ±5 cm 2 nella misurazione dell area Una volta valutato l errore della misurazione ci rendiamo conto che la misura dell area è 623 ± 5 cm 2. quindi non avrebbe senso esprimere l area del foglio A4 con questi numeri: 623, , 7 619, 5 Infatti la parte decimale è del tutto irrilevante. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 15/3

16 Il concetto di area Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 16/3

17 Il concetto di area Non crediamo sia necessario soffermarci sull importanza di un corretto approccio al problema di area. Consideriamo questo esempio: Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 17/3

18 Il concetto di area L area di questo triangolo si puo calcolare utilizzando la formula dell area del triangolo (e quindi misurando una base e l altezza relativa) oppure utilizzando il supporto della carta a quadretti... Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 18/3

19 Rettangoli: Esercizi sulle aree Utilizzando come unità di misura il quadretto, con semplici operazioni di conteggio siamo in grado di valutare le misure dei lati e dell area Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 19/3

20 Esercizi sulle aree Triangoli rettangoli Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 20/3

21 Esercizi sulle aree Triangoli isosceli e rombi Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 21/3

22 Esercizi sulle aree Parallelogrammi Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 22/3

23 Esercizi sulle aree Trapezi Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 23/3

24 Esercizi sulle aree E per questi? Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 24/3

25 Figure più complesse A volte è sufficiente scomporre la figura in più parti e sommare le aree di ogni parte... Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 25/3

26 Non solo poligoni Può essere necessario ricorrere a misure approssimate L area della figura è compresa tra 2 e 5. Se vogliamo ottenere misurazioni più precise dobiamo ricorrere ad una griglia a maglie più fini. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 26/3

27 Non solo poligoni Se vogliamo ottenere misurazioni più precise dobiamo ricorrere ad una griglia a maglie più fini. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 27/3

28 Esercizi sulle aree Ritorniamo a questo triangolo Oltre a sommare, possiamo calcolare le aree per differenza Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 28/3

29 Formule Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 29/3

30 Qualche considerazione sulle formule : È importante soffermarsi su due aspetti: Saper leggere una formula rendersi conto di quando può esistere una formula che lega certi dati e quando no; saper leggere la formula. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 30/3

31 Esiste una formula? Può esistere una formula che permette di calcolare l area di un rombo conoscendo solo la lunghezza del suo lato? La risposta in questo caso è certamente no. Infatti un lato non individua un rombo e non ne individua l area. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 31/3

32 Esiste una formula? Esiste una formula che permette di ricavare l area di un triangolo conoscendo solo le lunghezze dei suoi tre lati? Anche se non conosciamo una formula siffatta, sappiamo che la conoscenza della lunghezza dei tre lati individua univocamente il triangolo. Questo significa che è ragionevole pensare che una tale formula si possa trovare. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 32/3

33 Usare la formula È molto utile riconoscere in alcune formule particolari legami tra le grandezze. Uno dei più importanti è la relazione di proporzionalità tra grandezze. Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se dipendono l una dall altra con una legge del tipo moltiplicazione per una costante. Ad esempio se A e B sono due grandezze, esse sono direttamente proporzionali se vale una legge di questo tipo, dove k è una costante (positiva): A = k B Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 33/3

34 Esempi Consideriamo i rettangoli con la base di 3 cm. Se h indica la misura dell altezza di uno di questi rettangoli, e A indica la misura della sua area allora A = 3 h se ho un rettangolo che ha altezza h area TOT, allora per ottenere un rettangolo con area doppia sappiamo che è sufficiente prendere un rettangolo con altezza 2 h. Il discorso è analogo se fisso l altezza e faccio variare la base. Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 34/3

35 Esempi la formula che lega la lunghezza del perimetro p di un quadrato alla lunghezzza del suo lato l (misurati rispetto alla stessa unità di misura) è p = 4 l riconosciamo nella formula un legame di proporzionalità diretta se l raddoppia, allora anche p raddoppia se voglio che p raddoppi, allora so che devo raddoppiare l Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 35/3

36 la formula che lega la misura A dell area di un quadrato alla lunghezza del suo lato l è A = l 2 il legame non è un legame di proporzionalità diretta se l raddoppia, allora A... se voglio che A raddoppi, allora l... Esempi Fondamenti e didattica della matematica - Geometria - Corso speciale - Facoltà di Scienze della Formazione - Università Milano Bicocca - a.a p. 36/3