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1 1 2 Fondamenti e didattica della matematica B 5 marzo 2007 Geometria delle similitudini Marina Bertolini Dipartimento di Matematica F.Enriques Università degli Studi di Milano Fondamenti e didattica della matematica B p. 1 Fondamenti e didattica della matematica B p. 2 3 Omotetie del piano 4 Omotetie del piano Una omotetia del piano è una trasformazione del piano costruita in questa maniera Possiamo anche avvalerci dello strumento della carta a quadretti si fissa un punto O del piano si fissa un parametro reale positivo k (k > 0) Se P è un punto del piano per costruire P, l immagine di P, si traccia la semiretta che parte da O passante per P e su questa semiretta si pone P tale che la distanza di O da P sia k volte la distanza di O da P. k = 3 O P P k = 2 Q O P P Q Fondamenti e didattica della matematica B p. 3 Q Q Fondamenti e didattica della matematica B p. 4

2 5 Omotetie 6 Omotetie e figure geometriche Se k = 1 ad ogni punto P del piano corrisponde P stesso. La trasformazione del piano per cui per ogni punto P si ha f(p) = P è detta trasformazione identica (è anche detta identità). Se consideriamo una figura geometrica, possiamo pensare di applicare l omotetia a tutti i punti della figura k = 2 Nella definizione data si è posto k > 0. Se infatti avessimo ammesso il valore k = 0 la costruzione geometrica descritta sarebbe ancora possibile, ma ad ogni punto P del piano sarebbe associato il punto O. In questo caso non si avrebbe una corrispondenza biunivoca. O Fondamenti e didattica della matematica B p. 5 Fondamenti e didattica della matematica B p. 6 7 Omotetie e figure geometriche 8 Poligoni Se consideriamo figure geometriche più semplici non abbiamo bisogno di applicare l omotetia a tutti i punti della figura Analogamente se consideriamo un poligono k = 3 L immagine di un poligono è un poligono C k = 2 O A B A B L immagine di un segmento è un segmento C D B O A I lati del poligono triplicano. D B A Fondamenti e didattica della matematica B p. 7 Fondamenti e didattica della matematica B p. 8

3 9 Omotetie Considerando una omotetia di centro O e rapporto k: l immagine di un segmento AB è ancora un segmento A B la lunghezza del segmento A B è pari a k volte la lunghezza del segmento AB l immagine di un poligono è un poligono con lo stesso numero di lati la misura di ogni lato del poligono viene moltiplicata per k ne consegue che il perimetro del poligono viene moltiplicato per k l area del poligono viene moltiplicata per k 2 10 Omotetie Considerando una omotetia di centro O e rapporto k: l immagine di una retta è una retta l immagine di una circonferenza è una circonferenza di lunghezza k volte la lunghezza della circonferenza di partenza mentre l area del cerchio compreso è k 2 volte l area della figura di partenza dati tre punti A, B e C, la misura dell angolo ÂBC è uguale alla misura dell angolo  B C Fondamenti e didattica della matematica B p. 9 Fondamenti e didattica della matematica B p Omotetie e similitudini Le omotetie appartengono ad una classe più ampia di trasformazioni: le similitudini. Per le omotetie siamo stati in grado di esplicitare la costruzione geometrica che permette (dati il punto O e la costante reale positiva k) di costruire l immagine di un qualsiasi punto del piano. Per le similitudini invece daremo una definizione astratta. 12 Similitudini Definizione Una similitudine è una trasformazione f del piano che verifica le condizioni seguenti Le distanze vengono mutate, ma vengono mutate in rapporto costante. Cioè possiamo trovare un numero k tale che se la distanza di due punti P e Q vale TOT, allora la distanza tra i loro corrispondenti f(p) e f(q) vale k TOT. Gli angoli non cambiano. Cioè comunque si fissino tre punti A, B e C, l angolo da questi individuato è uguale all angolo individuato dai loro corrispondenti f(a), f(b) e f(c). Fondamenti e didattica della matematica B p. 11 Fondamenti e didattica della matematica B p. 12

4 13 Similitudini 14 Similitudini La definizione di similitudine può quindi essere data mettendo una delle due condizioni oppure l altra indistintamente. Dalla definizione di similitudine si possono dedurre alcune proprietà geometriche: se tre punti A, B e C sono allineati, allora anche f(a), f(b) e f(c) sono allineati (per la condizione sugli angoli) l immagine di una retta è una retta, l immagine di un segmento è un segmento,... La condizione sulle distanze è una condizione di proporzionalità tra le misure dei segmenti. Se abbiamo un segmento a e un segmento b, allora, indicando con a e b le rispettive immagini, vale la proporzione (tra le loro misure) più precisamente a : a = b : b a : a = b : b = k Fondamenti e didattica della matematica B p. 13 Fondamenti e didattica della matematica B p Similitudini 16 Similitudini Le omotetie sono similitudini infatti le omotetie soddisfano sia la condizione sulle distanze che la condizione sugli angoli Ci sono però similitudini che non sono omotetie. Le isometrie sono similitudini di rapporto k = 1 Si dimostra che ogni similitudine si può ottenere come composizione di una omotetia e di una isometria. Fondamenti e didattica della matematica B p. 15 Fondamenti e didattica della matematica B p. 16

5 17 18 Figure simili Figure simili Definizione Due figure del piano si dicono simili se è possibile costruire una similitudine del piano che manda la prima figura nella seconda. La geometria delle similitudini studia le proprietà in comune a due figure simili. Dalla definizione di figure simili, per capire quindi se due figure sono simili occorre costruire una similitudine (di tutto il piano) che mandi la prima figura nella seconda. Fondamenti e didattica della matematica B p. 17 Fondamenti e didattica della matematica B p Quadrati 20 Scorciatoie Questo a volte può sembrare un problema di non facile soluzione. Quello di cui abbiamo bisogno sono delle scorciatoie che ci permettano, date due figure, di stabilire se le figure sono simili senza costruire esplicitamente una similitudine. Queste scorciatoie sono dette criteri di similitudine. Fondamenti e didattica della matematica B p. 19 Fondamenti e didattica della matematica B p. 20

6 21 Poligoni 22 Poligoni Consideriamo due poligoni del piano. Se i due poligoni sono simili, significa che esiste una corrispondenza biunivoca di tutto il piano che manda il primo poligono nel secondo. In particolare questa corrispondenza biunivoca di tutto il piano farà corrispondere ad ogni vertice del primo poligono uno e un solo vertice del secondo poligono, e viceversa. Analogamente per i lati. In altre parole la corrispondenza biunivoca del piano induce una corrispondenza biunivoca tra i vertici dei due poligoni, e tra i lati corrispondenti. Inoltre, se supponiamo che i due poligoni siano simili, le proprietà delle similitudini ci dicono anche se misuriamo l angolo del primo poligono in A e misuriamo l angolo del secondo poligono in A, allora questi angoli sono uguali e questo vale per qualunque vertice del poligono si vada a scegliere alla similitudine è associata una costante di proporzionalità k, e questo implica che il rapporto tra le misure dei lati A B AB = k Fondamenti e didattica della matematica B p. 21 e questo vale per qualunque lato del poligono si vada a scegliere Fondamenti e didattica della matematica B p Poligoni 24 Rettangoli Abbiamo cioè concluso che se due poligoni (ABCD... e A B C D... sono simili), allora Questi rettangoli sono simili? 1. gli angoli sono uguali (nel senso che l angolo nel vertice A è uguale all angolo nel vertice A e così via per gli altri vertici) 2. i lati sono in rapporto costante (nel senso che il rapporto tra le misure di AB e A B è uguale al k associato alla similitudine, e così via per gli altri lati) ATTENZIONE: le condizioni 1 e 2 sono quindi condizioni necessarie perché i due poligoni siano simili. Quello che ci serve sono invece condizioni sufficienti per stabilire che due poligoni siano simili. Fondamenti e didattica della matematica B p. 23 D A C B D C A B In verde abbiamo costruito una omotetia di centro A e k = 2. (NOTA: in questo esempio le lettere sono fuorvianti rispetto al problema) Fondamenti e didattica della matematica B p. 24

7 25 Rettangoli 26 Triangoli Due rettangoli sono simili se, detta b la base del primo rettangolo e b la base del secondo rettangolo e detta h l altezza del primo rettangolo e h l altezza del secondo rettangolo, vale la proporzione b b = h h CONSEGUENZA: due quadrati sono sempre simili. Anche per i triangoli abbiamo delle scorciatoie due triangoli sono simili se esiste una corrispondenza tra gli angoli del primo triangolo e gli angoli del secondo tale che gli angoli corrispondenti sono uguali due triangoli sono simili se esiste una corrispondenza tra i lati del primo triangolo e i lati del secondo triangolo tale che i lati corrispondenti sono in proporzione due triangoli sono simili se un angolo del primo è uguale ad un angolo del secondo e i lati adiacenti a questi due angoli sono in proporzione Fondamenti e didattica della matematica B p. 25 Fondamenti e didattica della matematica B p Triangoli rettangoli 28 Triangoli rettangoli Dati due triangoli rettangoli C γ a b α β A B c b C γ come possiamo stabilire se sono simili? a A α β B c Per verificare se due triangoli rettangoli sono simili (una volta poste le lettere come nel lucido precedente) è sufficiente verificare una (una soltanto!) delle condizioni seguenti β = β γ = γ b /b = a /a c /c = a /a c /c = b /b... Fondamenti e didattica della matematica B p. 27 Fondamenti e didattica della matematica B p. 28

8 29 Triangoli rettangoli 30 Altre figure Osserviamo che le condizioni di tipo c /c = b /b possono essere scritte invece b/c = b /c Come è possibile stabilire se le seguenti figure sono simili? Questo significa che possiamo associare al primo triangolo il numero b/c e possiamo associare al secondo triangolo il numero b /c (questi sono infatti due numeri che dipendono dal singolo triangolo) e concludere che due triangoli rettangoli sono simili se e solo se il numero che associo loro è uguale. Fondamenti e didattica della matematica B p. 29 Fondamenti e didattica della matematica B p Esercizio 32 Esercizio I seguenti triangoli sono simili. I seguenti rombi sono simili? B k = A B AB = 5 1 C A C A B Il numero associato ad entrambi i triangoli è A C A B = AC AB = 3 Qual è il rapporto di similitudine? Che rapporto c è tra le aree dei due triangoli? Fondamenti e didattica della matematica B p. 31 La similitudine dei triangoli evidenziati garantisce la similitudine dei rombi. Fondamenti e didattica della matematica B p. 32

9 33 Similitudini e quadrettatura 34 Un gioco Per costruire figure simili può essere utile utilizzare quadrettature di dimensioni differenti Prendete un foglio di carta a quadretti, e scegliete un punto P. Seguite quanto faccio io a video, ma Fondamenti e didattica della matematica B p. 33 raddoppiate il numero di quadretti rispetto a quello che faccio io se io vado a destra, voi andate in alto sul vostro foglio se io vado in alto, voi andate a sinistra se io vado a sinistra, voi andate in basso se io vado in basso, voi andate a destra Fondamenti e didattica della matematica B p Un gioco 36 Similitudini e aree Il gioco che abbiamo fatto, costruisce una similitudine Che cosa significa l espressione raddoppiare una figura? convincetevi del fatto che quello che abbiamo fatto è effettivamente costruire una similitudine costruire situazioni analoghe a questa modificando le regole del gioco Disegniamo due rettangoli di cui uno con i lati doppi dell altro L area risulta moltiplicata per 4 Fondamenti e didattica della matematica B p. 35 Fondamenti e didattica della matematica B p. 36

10 37 Similitudini e aree L esempio del rettangolo riflette una situazione generale Se due figure sono simili tramite una similitudine di rapporto k, allora il rapporto tra le aree delle due figure è k 2 Fondamenti e didattica della matematica B p. 37

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