1 MISURA DEI SEGMENTI
|
|
- Demetrio Carlo Milano
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 1 MISUR DEI SEGMENTI 1 MISUR DEI SEGMENTI 1.1 La classe dei segmenti Nell insieme S formato da tutti i segmenti contenuti in un piano introduciamo le seguenti operazioni: Confronto di segmenti: dati due segmenti B e CD diremo che B > CD se riportando CD su B in modo che C il punto D risulti interno ad B Figura 1: Confronto di due segmenti B e CD Somma di segmenti Vedi la sottostante figura 2 Figura 2: Somma di due segmenti Le due operazioni precedenti ci consentono di definire che cosa è un multiplo e un sottomultiplo di un segmento Definizione 1 (multiplo e sottomultiplo di un segmento) Dato un segmento B e un numero naturale n diremo che un segmento CD è un multiplo di B secondo il numero n se: n volte {}}{ CD = B + B + B + + B (1) e scriveremo CD = n B nalogamente diremo che PQ è un sottomultiplo di RS secondo il numero n, e scriveremo P Q = 1 RS se: n RS = n volte {}}{ P Q + P Q + P Q + + P Q (2) 1
2 1.2 Commensurabili e incommensurabili 1 MISUR DEI SEGMENTI Se m n è una frazione e B è un segmento, per definizione poniamo: ( ) m 1 n B = m n B (3) I seguenti due assiomi servono a garantire l esistenza di segmenti comunque grandi e segmenti comunque piccoli ssioma 1 (di Eudosso-rchimede) Dati due segmenti non nulli, esiste sempre un multiplo dell uno che supera l altro Questo assioma ci assicura che esistono segmenti comunque grandi. ssioma 2 (della divisibilità) Ogni segmento B è divisibile, in modo unico, in n parti tra loro tutte uguali, qualunque sia il numero n. Quiesto assioma ci assicura che esistono segmenti comunque piccoli 1.2 Commensurabili e incommensurabili Definizione 2 (di segmenti commensurabili) Due segmenti si dicono commensurabili se ammettono un sottomultiplo comune La definizione precedente ci dice che se due segmenti B e CD sono commensurabili esistono due numeri interi m e n ed un segmento EF tali che: B = m EF CD = n EF (4) Non tutte le coppie di segmenti sono commensurabili, infatti esiste il seguente teorema: 2
3 1.2 Commensurabili e incommensurabili 1 MISUR DEI SEGMENTI Teorema 1 In un quadrato il lato e la diagonale non ammettono un sottomultiplo comune Dimostrazione Figura 3: In un quadrato il lato e la diagonale non sono commensurabili Supponiamo per assurdo che il lato l e la diagonale d siano due segmenti commensurabili. Questo significa che esistono un segmento x e due numeri interi positivi n e m tali che : l = n x d = m x Indicando con x 2 l 2 d 2 rispettivamente i quadrati di lato x, l, d, per il teorema di Pitagora possiamo scrivere che: sostituendo si ottiene: l 2 + l 2 = d 2 = 2 l 2 = d 2 2 (n x) 2 = (m x) 2 2n 2 x 2 = m 2 x 2 (5) 2n 2 = m 2 I numeri interi n e m si possono scomporre in fattori primi n = 2 p 3 q 5 r 7 s Dalle relazioni si può dedurre che: m = 2 t 3 v 5 w 7 z (6) 2 (2 p 3 q 5 r 7 s ) 2 = ( 2 t 3 v 5 w 7 z )2 2 ( 2 2p 3 2q 5 2r 7 2s ) = 2 2t 3 2v 5 2w 7 2z 2 2p+1 3 2q 5 2r 7 2s = 2 2t 3 2v 5 2w 7 2z (7) 3
4 1.3 Misura di un segmento 2 PROPORZIONLITÁ Pertanto: 2p + 1 = 2t questo è assurdo perchè 2p + 1 è un numero dispari, mentre 2t è un numero pari ed un numero pari non può essere uguale a un numero dispari. Definizione 3 Due segmenti con non sono commensurabili si diranno incommensurabili 1.3 Misura di un segmento Tra tutti i segmenti scegliamone uno che chiameremo unità di misura 1 che indicheremo con u, sia B un segmento commensurabile con u, allora esiste un sottomultiplo x comune ai due segmenti B e u. Possiamo pertanto scrivere: B = n x u = m x x = 1 m u ( ) 1 B = n m u B = n m u (8) Definizione 4 Si chiama misura del segmento B rispetto all unità di misura u il n mumero razionale (frazione) m Se B e l unità di misura u non sono commensurabili la definizione precedente non è più valida, si può comunque dimostrare che esistono segmenti commensurabili con u che si avvicinano ad B di quanto vogliamo, la loro misura ci da una misura di B approssimata per difetto o per eccesso. Se ammettiamo l esistenza dei numeri irrazionali 2, se B e u sono incommensurabili, la misura di B è un numero irrazionale.i numeri irrazionali vengono definiti come elemento di separazioni tra l insieme delle loro approssimazioni razionali 3 per difetto e l insieme delle loro approssimazioni razionali per eccesso. Definizione 5 (rapporto tra segmenti) Dati due segmenti B e CD si chiama rapporto tra B e CD, e si scrive B, la misura di B prendendo come unità CD di misura CD É facile dimostrare questo teorema (che per questioni di tempo non dimostreremo): Teorema 2 Se rispetto ad una unità di misura u la misura di un segmento B è a, mentre la misura di un segmento CD è b, allora B CD = a b 2 PROPORZIONLITÁ Consideriamo due insiemi aventi per oggetti dei segmenti 1 Il metro, l unità di misura più usata, è un particolare segmento 2 d esempio 2 3 π sono numeri irrazionali 3 Le approssimazioni sono dei numeri razionali, cioè delle frazioni che possono anche essere espresse come numeri decimali finiti o periodici 4
5 2 PROPORZIONLITÁ Figura 4: Classi di segmenti direttamente proporzionali Stabiliamo una corrispondenza fra gli elementi dei due insiemi che al segmento B di I faccia corrispondere il segmento B di I e così via come indicato in figura. Questa corrispondenza ad ogni elemento di I associa uno ed un solo elemento di I e, viceversa, ogni elemento di I è associato ad uno ed uno solo elemento di I. Corrispondenze di questo tipo vengono chiamate corrispondenze biunivoche. questo punto possiamo scrivere la seguente definizione. Definizione 6 (classi di segmenti direttamente proporzionali) Due classi 4 di segmenti I e I, in corrispondenza biunivoca, si dicono direttamente proporzionali se il rapporto tra due segmenti corrispondenti è costante: B B = CD C D = EF E F = (9) In modo simile possiamo definire le classi di segmenti inversamente proporzionali Definizione 7 (classi di segmenti inversamente proporzionali) Due classi di segmenti I e I, in corrispondenza biunivoca, si dicono inversamente proporzionali se il prodotto tra le misure (rispetto a una stessa unità di misura) di due segmenti corrispondenti è costante: misura(b) misura( B ) = misura(cd) misura(c D ) = misura(ef) misura(e F ) = (10) Vale il seguente teorema: Teorema 3 (detto di Talete) Un fascio di rette parallele forma con due trasversali due classi di segmenti direttamente proporzionali Di questo teorema non diamo la dimostrazione, è però opportuno analizzarlo meglio. La figura 5 di pagina 6 è la rappresentazione grafica del teorema. Il fascio di rette parallele individua sulla trasversale t l insieme di punti {, B, C, D, E, F, G} e sulla trasversale t l insieme {, B, C, D, E, F, G }, tra i due insiemi vi è una ovvia corrispondenza biunivoca: B B C C (11) 4 Classe è sinonimo di insieme 5
6 3 POLIGONI SIMILI D C B B C D E E F F G G.t.t Figura 5: Fascio di parallele tagliate da due trasversali La corrispondenza biunivoca 11 di pagina 5 induce una analoga corrispondenza biunivoca tra l insieme dei segmenti individuati dal fascio di rette parallele sulla trasversale t e l insieme dei segmenti individuati dal fascio di rette parallele sulla trasversale t, che possiamo così schematizzare B B C C G G BC B C BE B E CF C F (12) Il teorema di Talete afferma che le due classi di segmenti così individuate sono direttamente proporzionali, cioè: 3 POLIGONI SIMILI B B = C C = BC B C = BF B F = (13) Definizione 8 (poligoni simili) Dati due poligoni, aventi lo stesso numero di vertici, si diranno simili se esiste una corrispondenza biunivoca tra i vertici dei due poligoni tale che gli angoli interni dei due poligoni che hanno vertici corrispondenti sono isometrici,e il rapporto tra due lati omologhi è costante, dove due lati, uno del primo e l altro del secondo poligono, si dicono omologhi se i loro estremi si 6
7 3 POLIGONI SIMILI corrispondono nella corrispondenza biunivoca stabilita tra i vertici dei due poligoni. E E D D B C B C Figura 6: Poligoni simili I due poligoni BCDE ed B C D E sono simili se  =  ˆB = ˆB Ĉ = Ĉ ˆD = ˆD Ê = Ê (14) B B = BC B C = CD C D = DE D E = E E = rapporto di similitudine (15) Per i triangoli la definizione precedente è abbondante, infatti si possono dimostrare i seguenti tre teoremi 5 Teorema 4 (primo criterio di similitudine dei triangoli) Due triangoli aventi gli angoli ordinatamente isometrici sono simili. B C B C Figura 7: 1 criterio di similitudine dei triangoli Ipotesi :  =  ; ˆB = ˆB ; Ĉ = Ĉ B Tesi : B =, BC B C = C C 5 Di questi teoremi non è richiesta la dimostrazione 7
8 3 POLIGONI SIMILI Teorema 5 (secondo criterio di similitudine dei triangoli) Se due triangoli hanno isometrico un angolo e proporzionali i lati che lo comprendono, sono simili Teorema 6 (terzo criterio di similitudine dei triangoli) Due triangoli aventi ordinatamente proporzionali i lati sono simili Grazie al primo criterio di similitudine è possibile dimostrare il seguente teorema Teorema 7 (primo teorema di Euclide) In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l ipotenusa e la proiezione del cateto sull ipotenusa Ipotesi: CB è un triangolo rettangolo e H è l altezza relativa all ipotenusa. Tesi: BC : B = B : BH Dimostrazione C H ngolo retto.α B Figura 8: Primo teorema di Euclide Consideriamo il triangolo CB e il triangolo HB (grigio), essi hanno: l angolo ˆB in comune CB ˆ = HB ˆ perchè retti α 6 = Ĉ perchè complementari dello stesso angolo Ĉ I due triangoli considerati sono pertanto simili per il primo criterio di similitudine (teorema 4 di pagina 7) con la seguente corrispondenza biunivoca tra i vertici 6 Infatti: triangolo CB triangolo BH vertice C vertice vertice vertice H vertice B vertice B Ĉ + ˆB + retto = angolo piatto analogamente α + ˆB + retto = angolo piatto Ĉ + ˆB = angolo retto analogamente α + ˆB = angolo retto Ĉ + ˆB = α + ˆB quindi α = Ĉ 8
9 3 POLIGONI SIMILI Possiamo pertanto scrivere: CB B = B BH (16) Usando le proporzioni si avrà 7 CB:B=B:BH Teorema 8 (secondo teorema di Euclide) In un triangolo rettangolo l altezza relativa all ipotenusa è media proporzionale tra le due proiezioni dei cateti sull ipotenusa C H ngolo retto B Figura 9: 2 teorema di Euclide Ipotesi: CH è un triangolo rettangolo e H è l altezza relativa all ipotenusa. Tesi: BH : H = H : CH Dimostrazione Consideriamo i due triangoli rettangoli CH e HB, essi hanno: CH ˆ = BH ˆ perchè retti Ĉ = ˆ HB perchè entrambi sono complemetari dell angolo ˆB = ˆ CH perchè entrambi sono complemetari dell angolo ˆ CH ˆ BH I due triangoli sono simili per il 1 criterio di similitudine, con la seguente corrispondenza tra i vertici: triangolo HB triangolo CH vertice vertice C vertice H vertice H vertice B vertice Possiamo mpertanto scrivere BH H = H CH usando le proporzioni BH : H = H : CH (17) 7 CB = CB : B B 9
10 Indice analitico ssioma della divisibilità, 2 ssioma di Eudosso-rchimede, 2 Classi inversamente proporzionali, 5 Classi direttamente proporzionali, 5 Confronto di segmenti, 1 Euclide, 2 teorema, 9 Euclide, primo teorema, 8 Frazione di un segmento, 2 Misura di un segmento, 4 Multiplo di un segmento, 1 Poligoni simili, 7 poligoni simili, 6 Primo criterio di similitudine, 7 Rapporto di similitudine, 7 Rapporto tra segmenti, 4 Secondo criterio di similitudine, 8 Segmenti commensurabili, 2 Segmenti incommensurabili, 4 Somma di segmenti, 1 Sottomultiplo di un segmento, 1 Teorema di Talete, 5 Terzo criterio di similitudine, 8 10
La parallela tracciata dal punto medio di un lato di un triangolo a uno degli altri due lati incontra il terzo lato nel suo punto medio.
TEOREMA DI TALETE Piccolo Teorema di Talete Dato un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull altra trasversale.
DettagliUNITÀ 9 LE GRANDEZZE E LA PROPORZIONALITÀ
UNITÀ 9 LE GRANDEZZE E LA PROPORZIONALITÀ 9. Generalità Nelle unità precedenti abbiamo considerato insiemi di elementi (segmenti, angoli, superfici piane) con i quali abbiamo operato il confronto e la
Dettagli1 L omotetia. i punti O, A e A siano allineati
1 L omotetia DEFINIZIONE. Dato un punto O ed un numero reale k, si dice omotetia di centro O e rapporto k, quella trasformazione del piano che associa ad ogni punto A il corrispondente punto A tale che
DettagliPrincipali Definizioni e Teoremi di Geometria
Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo
DettagliAnno 2. Criteri di similitudine dei triangoli
Anno 2 Criteri di similitudine dei triangoli 1 Introduzione In questa lezione imparerai a riconoscere i triangoli simili considerando alcune particolari caratteristiche che essi presentano. Al termine
DettagliGeometria euclidea. Alessio del Vigna. Lunedì 15 settembre
Geometria euclidea Alessio del Vigna Lunedì 15 settembre La geometria euclidea è una teoria fondata su quattro enti primitivi e sulle relazioni che tra essi intercorrono. I quattro enti primitivi in questione
DettagliPrincipali Definizioni e Teoremi di Geometria
Principali Definizioni e Teoremi di Geometria Segmento (definizione) Si dice segmento di estremi A e B l insieme costituito dai punti A e B e da tutti i punti della retta AB compresi tra A e B. Angolo
DettagliUnità Didattica N 36 La similitudine
Unità Didattica N 36 La similitudine 1 Unità Didattica N 36 La similitudine 01) Definizione di poligoni simili 0) Definizione di triangoli simili 03) Primo criterio di similitudine dei triangoli 04) Secondo
DettagliGEOMETRIA EUCLIDEA. segno lasciato dalla punta di una matita appena appoggiata sul foglio. P
GEOMETRIA EUCLIDEA 1) GLI ENTI FONDAMENTALI: PUNTO, RETTA E PIANO Il punto, la retta e il piano sono gli ELEMENTI ( o ENTI ) GEOMETRICI FONDAMENTALI della geometria euclidea; come enti fondamentali non
DettagliELEMENTI DI EUCLIDE, LIBRO VI: Le figure simili e le proporzioni in geometria
Richiami dal libro VI di Euclide: ELEMENTI DI EUCLIDE, LIBRO VI: Le figure simili e le proporzioni in geometria Definizione I del libro VI: due figure poligonali si dicono simili se hanno angoli uguali
DettagliTeoremi di geometria piana
la congruenza teoremi sugli angoli γ teorema sugli angoli complementari Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo α β In generale: Se due angoli sono complementari di due angoli congruenti
DettagliGli angoli corrispondenti sono congruenti; I lati corrispondenti, che si dicono lati omologhi, sono in rapporto costante:
ome sai, se vuoi riprodurre una figura, puoi disegnarla perfettamente uguale rispettandone la forma e le dimensioni e cambiandone quindi solo la posizione. In questo caso la riproduci isometricamente,
DettagliSoluzione esercizi Gara Matematica 2009
Soluzione esercizi Gara Matematica 009 ( a cura di Stefano Amato, Emanuele Leoncini e Alessandro Martinelli) Esercizio 1 In una scacchiera di 100 100 quadretti, Carlo colora un quadretto di rosso, poi
DettagliProblema Un triangolo rettangolo ha l angolo =60. La bisettrice dell angolo msura 6. Calcola il perimetro del triangolo.
SIMILITUDINE Problemi Problema 8.179 Un triangolo rettangolo ha l angolo =60. La bisettrice dell angolo msura 6. Calcola il perimetro del triangolo. La bisettrice divide l angolo =60 in due angoli di 30,
DettagliAngoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati).
ppunti di geometria.s. 013-014 1 Prof. Luigi ai PPUNTI ngoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati). In un triangolo l angolo
DettagliCORSO DI PREPARAZIONE AI GIOCHI DI ARCHIMEDE 2015
CORSO DI PREPARAZIONE AI GIOCHI DI ARCHIMEDE 2015 Lezione del 3 NOVEMBRE 2015 GEOMETRIA CRITERI DI CONGRUENZA FRA TRIANGOLI IL SIMBOLO indica la congruenza PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA: Se due triangoli
DettagliDato un triangolo ABC, è il segmento che partendo dal vertice opposto al lato, incontra il lato stesso formando due angoli retti.
Anno 2014 1 Sommario Altezze, mediane, bisettrici dei triangoli... 2 Altezze relativa a un vertice... 2 Mediane relative a un lato... 2 Bisettrici relativi a un lato... 2 Rette perpendicolari... 3 Teorema
DettagliRapporti e proporzioni
Rapporti e proporzioni Si dice RAPPORTO FRA DUE NUMERI, il secondo dei quali sia diverso da zero, il quoziente ottenuto dividendo il primo per il secondo. a b = a b a e b si dicono TERMINI del rapporto
DettagliI TRIANGOLI AB < AC + BC
I TRIANGOLI Il triangolo è un poligono formato da tre angoli e da tre lati: rappresenta la figura più semplice in assoluto, in quanto 3 è il numero minimo di segmenti necessari per delimitare una superficie
DettagliALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI
ALCUNE LINEE GUIDA PER LA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI LE RELAZIONI FRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO 1) La somma degli angoli interni di un triangolo è 180 γ Consideriamo il triangolo ABC. Tracciamo la parallela
DettagliMatematica Introduzione alla geometria
Matematica Introduzione alla geometria prof. Vincenzo De Felice 2014 Problema. Si mostri che un triangolo con due bisettrici uguali è isoscele. La matematica è sfuggente. Ziodefe 1 2 Tutto per la gloria
Dettaglix 1 Fig.1 Il punto P = P =
Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi
DettagliRette perpendicolari
Rette perpendicolari Definizione: due rette incidenti (che cioè si intersecano in un punto) si dicono perpendicolari quando dividono il piano in quattro angoli retti. Per indicare che la retta a è perpendicolare
DettagliBOOK IN PROGRESS MATEMATICA GEOMETRIA SECONDO ANNO TOMO NR. 2
OOK IN PROGRESS MTEMTIC GEOMETRI SECONDO NNO TOMO NR. 2 SOMMRIO DEL TOMO 2 SECONDO NNO UNITÀ 9: LE GRNDEZZE E L PROPORZIONLIT...2 9.1 Generalità...2 9.2 Grandezze commensurabili e incommensurabili...3
DettagliPROGRAMMA SVOLTO E COMPITI ESTIVI
Ministero dell Istruzione dell Università e della Ricerca Istituto Comprensivo Statale A. Diaz Via Giovanni XXIII n. 6-08 MEDA (MB) Infanzia Polo: MIAA890Q - Primaria Polo: MIEE890 Primaria Diaz: MIEE890
DettagliUnità Didattica N 22 I triangoli. U.D. N 22 I triangoli
10 Unità Didattica N 22 I triangoli U.D. N 22 I triangoli 01) Il triangolo ed i suoi elementi 02) Uguaglianza di due triangoli 03) Primo criterio di uguaglianza dei triangoli 04) Secondo criterio di uguaglianza
DettagliAnno 1. Quadrilateri
Anno 1 Quadrilateri 1 Introduzione In questa lezione impareremo a risolvere i problemi legati all utilizzo dei quadrilateri. Forniremo la definizione di quadrilatero e ne analizzeremo le proprietà e le
DettagliPIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi
PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano è individuato da due rette perpendicolari (ortogonali) che si incontrano in un punto O detto origine del piano cartesiano. Si fissa sulla retta orizzontale il verso
DettagliQuesto teorema era già noto ai babilonesi, ma fu il matematico greco Pitagora, intorno al 500 a.c., a darne una descrizione precisa.
IL TEOREMA DI PITAGORA Questo teorema era già noto ai babilonesi, ma fu il matematico greco Pitagora, intorno al 500 a.c., a darne una descrizione precisa. ENUNCIATO: la somma dei quadrati costruiti sui
DettagliElementi di Geometria euclidea
Proporzionalità tra grandezze Date quattro grandezze A, B, C e D, le prime due omogenee tra loro così come le ultime due, queste formano una proporzione se il rapporto delle prime due è uguale al rapporto
DettagliIndice del vocabolario della Geometria euclidea
Indice del vocabolario della Geometria euclidea 1 Postulati di appartenenza: piano, retta e punto nello spazio Punto, retta, piano nello spazio Punto, retta nel piano Punto nella retta Punto esterno alla
DettagliCONGRUENZE TRA FIGURE DEL PIANO
CONGRUENZE TRA FIGURE DEL PIANO Appunti di geometria ASSIOMI 15. La congruenza tra figure è una relazione di equivalenza 16. Tutte le rette del piano sono congruenti tra loro; così come tutti i piani,
DettagliPostulati e definizioni di geometria piana
I cinque postulati di Euclide I postulato Adimandiamo che ce sia concesso, che da qualunque ponto in qualunque ponto si possi condurre una linea retta. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una
DettagliUnità Didattica N 25 Quadrilateri particolari
Unità idattica N 25 Quadrilateri particolari 41 Unità idattica N 25 Quadrilateri particolari 01) efinizione di quadrilatero 02) efinizione di parallelogrammo 03) Teoremi diretti sul parallelogrammo 04)
DettagliRADICE È L OPERAZIONE INVERSA DELLA POTENZA RADICE: 6 RADICANDO: 36 RADICALE: INDICE: 2 ESEMPIO 36 E UN QUADRATO PERFETTO:
RADICE È L OPERAZIONE INVERSA DELLA POTENZA RADICE: 6 RADICANDO: 36 RADICALE: INDICE: 2 I NUMERI LA CUI RADICE QUADRATA E UN NUMERO NATURALE SI DICONO QUADRATI PERFETTI ESEMPIO 36 E UN QUADRATO PERFETTO:
DettagliGli enti geometrici fondamentali
capitolo 1 Gli enti geometrici fondamentali 1. Introduzione 1 2. La geometria euclidea come sistema ipotetico-deduttivo 2 Teoremi e dimostrazioni, 3 3. Postulati di appartenenza 4 4. Postulati di ordinamento
DettagliLA CIRCONFERENZA e IL CERCHIO
LA CIRCONFERENZA e IL CERCHIO La circonferenza è un poligono regolare con un numero infinito di lati Bisogna fare innanzitutto una distinzione: la circonferenza è la misura del perimetro; C (se sono più
DettagliProgetto Matematica in Rete - Geometria euclidea - Quadrilateri. I quadrilateri. Il parallelogramma
I quadrilateri Il parallelogramma Definizione: un parallelogramma è un quadrilatero avente i lati opposti paralleli AB // DC AD // BC Teorema : se ABCD è un parallelogramma allora ciascuna diagonale lo
Dettagli(Prof.ssa Dessì Annalisa)
LICEO SCIENTIFICO PITAGORA - SELARGIUS CLASSE 1 SEZ. E - ANNO SCOLASTICO 2014 / 2015 PROGRAMMA DI MATEMATICA Libro di testo: Bergamini Barozzi Matematica multimediale.blu con tutor, vol. 1 Zanichelli L
DettagliI QUADRILATERI. = n(n 3) : 2 = 4(4 3) : 2 = 2. d tot. = (n 2) 180 = (4 2) 180 = 360 S I = 360 S E 1. IL TRAPEZIO
I QUADRILATERI Il quadrilatero è un poligono formato da quattro angoli e da quattro lati. Al contrario del triangolo è una figura deformabile, infatti i quadrilateri possono essere intercambiabili fra
DettagliSETTIMA LEZIONE- Il teorema di Pitagora
SETTIMA LEZIONE- Il teorema di Pitagora In questa lezione studiamo l equivalenza dei parallelogrammi, presentando due criteri che ci dicono quando parallelogrammi di forma diversa hanno la stessa area.
Dettaglilato obliquo trapezio isoscele Un quadrilatero che ha i lati opposti paralleli. Ogni parallelogramma ha... D α + β π
Ripasso Scheda per il recupero Trapezi e parallelogrammi OMNE he cos è un trapezio? RISOSTE Un trapezio è un quadrilatero con una coppia di lati opposti paralleli: i lati paralleli si chiamano basi del
DettagliSimilitudine e omotetia nella didattica della geometria nella scuola secondaria di primo grado di Luciano Porta
Similitudine e omotetia nella didattica della geometria nella scuola secondaria di primo grado di Luciano Porta Il concetto di similitudine è innato: riconosciamo lo stesso oggetto se è più o meno distante
DettagliI due Teoremi di Euclide
a.a 2014-15 I due Teoremi di Euclide Did. della Matematica 2 I.Capoccetta F.Spilabotte Prerequisiti: Conoscere il significato di congruenza ed equivalenza Conoscere ed operare col Teorema di Pitagora Saper
DettagliGEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano
GEOMETRIA ANALITICA La geometria analitica consente di studiare e rappresentare per via algebrica informazioni di tipo geometrico. Lo studio favorisce una più immediata visualizzazione di informazioni,
Dettaglia b a : b Il concetto di rapporto
1 Il concetto di rapporto DEFINIZIONE. Il rapporto fra due valori numerici a e b è costituito dal loro quoziente; a e b sono i termini del rapporto, il primo termine si chiama antecedente, il secondo si
DettagliPrecorso di Matematica
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 17-24 Ottobre 2005 INDICE 1. GEOMETRIA EUCLIDEA........................ 2 1.1 Triangoli...............................
DettagliLiceo scientifico Leonardo da Vinci PROGRAMMA DI MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 2013/2014 II A LE EQUAZIONI LINEARI
Liceo scientifico Leonardo da Vinci PROGRAMMA DI MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 2013/2014 II A LE EQUAZIONI LINEARI Le identità; Le equazioni; Le equazioni equivalenti; I principi di equivalenza; Le equazioni
DettagliLa somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto (180 ).
Il triangolo (UbiLearning) - 1 Triangoli Un triangolo è un poligono formato da tre lati. Rappresenta la più semplice figura piana formata dal minimo numero di lati utili a chiudere una superficie piana.
DettagliARITMETICA. Gli insiemi UNITA 1. Programma svolto di aritmetica e geometria classe 1 ^ D A.S
Programma svolto di aritmetica e geometria classe 1 ^ D A.S. 2014-2015 Scuola Secondaria di primo grado S. Quasimodo di Fornacette Istituto Comprensivo di Calcinaia DOCENTE: Monica Macchi UNITA ARITMETICA
DettagliAngoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed
ppunti di geometria.s. 14-15 1 Prof. Luigi ai PPUNTI ngoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed esterni, corrispondenti, coniugati). In un triangolo l angolo esterno
DettagliAnno 2. Equivalenza fra triangoli, parallelogramma e trapezio
Anno 2 Equivalenza fra triangoli, parallelogramma e trapezio 1 Introduzione In questa lezione parleremo dell equivalenza tra alcune figure piane; in particolare parleremo di triangoli, trapezi e parallelogrammi.
Dettagli3 :
COMPITI VACANZE 0 MATEMATICA CLASSE SECONDA Espressioni con le frazioni......... 0. Numeri decimali. Dopo aver stabilito che numero decimale puoi ottenere (osservando il denominatore), determina il numero
DettagliRELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI. 1. Relazioni. Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano
RELAZIONI, FUNZIONI, INSIEMI NUMERICI C. FRANCHI 1. Relazioni Siano X e Y due insiemi non vuoti. Si definisce il prodotto cartesiano X Y := {(x, y) x X, y Y } dove con (x, y) si intende la coppia ordinata
DettagliLe caratteristiche dei poligoni. La relazione tra i lati e gli angoli di un poligono. Definizioni
Le caratteristiche dei poligoni 1. Si dice poligono la parte del piano delimitata da una spezzata chiusa. 2. Il perimetro di un poligono è la somma delle misure del suoi lati, si indica cm 2p. 3. Un poligono
DettagliLiceo classico Vittorio Emanuele II. Napoli. Prof. Ognissanti Gabriella. Programma di Matematica
Liceo classico Vittorio Emanuele II Napoli Anno scol. 2015/16 classe V sez. E Prof. Ognissanti Gabriella Programma di Matematica POLINOMI Richiami sui prodotti notevoli e sulle operazioni. EQUAZIONI Generalità
DettagliI TEOREMI DI EUCLIDE
I TEOREMI DI EUCLIDE 1 Teorema di Euclide Dato il triangolo rettangolo ABC: consideriamo i triangoli ABC e ABH simili I due triangoli sono simili perché se consideriamo gli angoli: - l'angolo A è comune
DettagliProgramma di matematica classe I sez. E a.s
Programma di matematica classe I sez. E a.s. 2015-2016 Testi in adozione: Leonardo Sasso vol.1- Ed. Petrini La matematica a colori Edizione blu per il primo biennio MODULO A: I numeri naturali e i numeri
DettagliUnità Didattica N 33 Proporzioni tra grandezze geometriche
Unità Didattica N Proporzioni tra grandezze geometriche 01) Definizioni 0) Teorema fondamentale 0) Proprietà delle proporzioni 04) Grandezze proporzionali 05) riterio generale di proporzionalità 06) Una
DettagliI vertici e i lati di ogni poligono vengono detti rispettivamente vertici e spigoli del poliedro.
1 I poliedri diagonale DEFINIZIONE. Un poliedro è la parte di spazio delimitata da poligoni posti su piani diversi in modo tale che ogni lato sia comune a due di essi. I poligoni che delimitano il poliedro
DettagliC7. Circonferenza e cerchio
7. irconferenza e cerchio 7.1 Introduzione ai luoghi geometrici Un luogo geometrico è l insieme dei punti del piano che godono di una proprietà detta proprietà caratteristica del luogo geometrico. Esempio
Dettagli1 L'omotetia. 2 Il teorema del rapporto dei perimetri e delle aree di due triangoli simili
1 L'omotetia Per definire un'omotetia bisogna disegnare una generica figura nel piano (nel nostro caso utilizzeremo un triangolo), un punto (il centro dell'omotetia) e un numero (il rapporto k dell'omotetia).
DettagliTriangolo rettangolo
Dato il triangolo rettangolo Possiamo perciò utilizzare angoli). Progetto Matematica in Rete Triangolo rettangolo OPA sappiamo che: PA cateto sen OP cos tg OA cateto OP PA cateto OA cateto opposto ad ipotenusa
Dettagli3 Omotetie del piano. 4 Omotetie del piano. Fondamenti e didattica della matematica B. Geometria delle similitudini. k = 3.
1 2 Fondamenti e didattica della matematica B 5 marzo 2007 Geometria delle similitudini Marina Bertolini (marina.bertolini@mat.unimi.it) Dipartimento di Matematica F.Enriques Università degli Studi di
DettagliProgramma di Matematica svolto nella 1 liceo Scientifico opzione Scienze Applicate
Programma di Matematica svolto nella 1 liceo Scientifico opzione Scienze Applicate Anno scolastico 2014/15 Numeri naturali e numeri interi relativi L'insieme dei numeri naturali I numeri naturali e il
DettagliA.S. 2015/2016 Programma svolto classe III Q
A.S. 2015/2016 Programma svolto classe III Q Circonferenza e cerchio Lunghezza della circonferenza e area del cerchio. Lunghezza di un arco. Area di un settore circolare e di un segmento circolare. Raggio
DettagliCostruzione 1 Condurre la perpendicolare ad un retta data, passante per un punto della retta stessa.
Costruzioni Costruzioni di rette, segmenti ed angoli Costruzione 1 Condurre la perpendicolare ad un retta data, passante per un punto della retta stessa. Costruzione. Consideriamo la retta r ed un punto
DettagliFIGURE EQUIVALENTI. Dimostrazione: dato il parallelogramma ABCD ed il parallogramma ABC'D', con
1. FIGURE EQUIVALENTI 1.1 EQUIVALENZA TRA PARALLELOGRAMMI TEOREMA: Due parallelogrammi aventi le basi e le altezze congruenti sono equivalenti. Dimostrazione: dato il parallelogramma ABCD ed il parallogramma
Dettagli2. Completa scrivendo il numeratore o il denominatore mancante in modo da avere frazioni tutte equivalenti.
Esercizi per le vacanze estive classe 2^C Svolgere nell ordine tutti gli esercizi indicati su fogli a quadretti con buchi. Gli esercizi andranno consegnati all insegnante al rientro dalle vacanze e saranno
Dettaglimisura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x
4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto
Dettaglisoluzione in 7 step Es n 208
soluzione in 7 soluzione in 7 soluzione in 7 AH 5 CA CH 5 6 4,8 5 36 3,04 5,96 5 cm soluzione in 7 AH 5 CA CH 5 6 4,8 5 36 3,04 5,96 5 cm 3 : 4,8 5 4,8 : HB 4,8 soluzione in 7 AH 5 CA CH 5 6 4,8 5 36 3,04
DettagliL1 L2 L3 L4 L5 L6. Esercizio. [1] ha infinite soluzioni [2] non ha soluzioni [3] ha esattamente due soluzioni
La disequazione x x + 1 0 [1] ha infinite soluzioni [] non ha soluzioni [3] ha esattamente due soluzioni [4] nessuna delle precedenti possibilità è corretta Introduciamo la funzione f : R R definita da
DettagliLA GEOMETRIA ELLITTICA
LA GEOMETIA ELLITTICA QUALCHE NOZIONE SULLA GEOMETIA DI IEMANN Consideriamo un modello della geometria di iemann, detto modello sulla sfera. Sia k una sfera arbitraria sullo spazio euclideo. Conveniamo
Dettagli01. Se il raggio di un cerchio dimezza, la sua area diventa: a) 1/3 b) 1/4 c) 3/2 d) 1/5
GEOMETRIA 01. Se il raggio di un cerchio dimezza, la sua area diventa: 1/ b) 1/4 c) / d) 1/5 0. Quanto misura il lato di un quadrato la cui area è equivalente a quella di un triangolo che ha la base di
DettagliDue rette si dicono INCIDENTI se hanno esattamente un punto in comune, altrimenti si dicono PARALLELE.
Riepilogo di Geometria: Assioma A1 Per tutte le coppie di punti P,Q dell insieme S è assegnato un numero reale (=)> 0, che si dice distanza di P da Q e si indica don d(p,q) 1- Se i punti P,Q sono distinti
DettagliCopyright Esselibri S.p.A.
.2. Risoluzione di triangoli qualsiasi In questo paragrafo estenderemo le funzioni goniometriche anche ad angoli retti ed ottusi, per potere risolvere triangoli qualsiasi. er fare ciò ovviamente vogliamo
Dettagli4.1 I triedri Def triedro vertice spigoli facce triedro
1 FIGURE NELLO SPAZIO Rette, piani, semispazi, di cui abbiamo visto le prime proprietà, delimitano le figure solide che si sviluppano nello spazio. Introduciamo gradualmente le figure solide e le loro
DettagliIl triangolo è una figura indeformabile ed è l'unico poligono cui è sempre circoscrivibile e in cui è sempre inscrivibile una circonferenza.
I triangoli e il teorema di Pitagora (UbiLearning) - 1 Triangoli Un triangolo è un poligono formato da tre lati. Rappresenta la più semplice figura piana formata dal minimo numero di lati utili a chiudere
DettagliNucleo concettuale : IL NUMERO
Nucleo concettuale : IL NUMERO UAD 1: L INSIEME N E LA SUE OPERAZIONI Conoscere il significato di termini e simboli Saper applicare regole e che specificano i concetti di numerazione proprietà relative
Dettagli3 :
COMPITI VACANZE 0 MATEMATICA CLASSE SECONDA Espressioni con le frazioni......... 0. Numeri decimali. Dopo aver stabilito che numero decimale puoi ottenere (osservando il denominatore), determina il numero
DettagliUnità Didattica N 23 Rette parallele
28 Unità idattica N 23 Rette parallele Unità idattica N 23 Rette parallele 01) efinizione di rette parallele 02) ngoli formati da due rette tagliate da una trasversale 03) Quinto postulato di Euclide sulle
DettagliLA PERPENDICOLARITA NELLO SPAZIO. Nello spazio si definiscono la perpendicolarità sia tra una retta e un piano sia tra due piani.
1 LA PERPENDICOLARITA NELLO SPAZIO Nello spazio si definiscono la perpendicolarità sia tra una retta e un piano sia tra due piani. 2.1 La perpendicolarità retta piano Nel piano la perpendicolarità tra
DettagliArea dei poligoni. Def: due superfici piane si dicono equivalenti se hanno la stessa AREA.
Area dei poligoni AREA DEI POLIGONI 1 Def: si dice area di una superficie piana la parte delimitata di piano che essa occupa. Def: due superfici piane si dicono equivalenti se hanno la stessa AREA. Proprietà:
DettagliProblemi di geometria
criteri di similitudine sui triangoli 1 Dimostra che le altezze di un triangolo sono inversamente proporzionali ai relativi lati. 2 Dimostra che due triangoli rettangoli sono simili se hanno ordinatamente
DettagliProblemi di geometria
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 In un triangolo rettangolo l altezza relativa all ipotenusa è lunga 16 cm e la proiezione sull ipotenusa di un cateto è lunga 4 cm. Calcola l area del triangolo. [544 cm
DettagliUniversità degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 03 - I Numeri Reali Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello,
DettagliLa parabola. Giovanni Torrero Aprile La poarabola come luogo geometrico
La parabola Giovanni Torrero Aprile 2006 1 La poarabola come luogo geometrico Definizione 1 (La parabola come luogo geometrico) La parabola è il luogo geometrico formato da tutti e soli i punti del piano
DettagliVerifica di matematica, classe II liceo scientifico sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione. risolvere con il metodo di Cramer
Verifica di matematica, classe II liceo scientifico sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione 1. 5 x y x 3y 1 risolvere con il metodo di Cramer. x 1 3 y y x 3 risolvere con il metodo di riduzione
DettagliRICORDIAMO CHE LA PROSPETTIVITÀ È: ESSA PUÒ ESSERE CARATTERIZZATA DA:
RICORDIAMO CHE LA PROSPETTIVITÀ È: La corrispondenza biunivoca tra due enti (punti o rette) posti su due piani in rapporto diretto tra loro. I punti sono allineati al centro della prospettività. Le rette
DettagliC9. Teorema di Talete e similitudine - Esercizi
C9. Teorema di Talete e similitudine - Esercizi ESERCIZI SU TEOREMA DI TALETE, TEOREMA DELLA BISETTRICE Si consideri la seguente figura e si risponda alle domande che seguono. 1) Se AB=2, BC=4 e EF=3 trovare
Dettagli4. Determina le misure dei tre lati x, y, z di un triangolo sapendo che il perimetro è 53cm, inoltre
www.matematicamente.it Verifica II liceo scientifico: Sistemi, Radicali, Equiestensione 1 Verifica di matematica, classe II liceo scientifico Sistemi, problemi con sistemi, radicali, equiestensione 1.
DettagliRilevazione degli apprendimenti
Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 00-0 PROVA DI MATEMATICA Scuola secondaria di II grado Classe... Studente... Simulazioni di prove costruite secondo il Quadro di riferimento Invalsi pubblicato
DettagliESERCIZI PER LE VACANZE
ESERCIZI PER LE VACANZE Tutti gli esercizi devono essere svolti sul quaderno. 1. Trova il quoziente di ciascuna frazione senza usare la calcolatrice (ricorda che puoi ridurre le frazioni ai minimi termini
Dettagli2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale
. I numeri reali e le funzioni di variabile reale Introduzione Il metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l elaborazione dei
DettagliIntroduzione alla TEORIA DEI NUMERI
Renato Migliorato Introduzione alla teoria dei numeri Introduzione alla TEORIA DEI NUMERI Avvertenza: questo è l inizio di un testo pensato come supporto al corso di Matematiche Complementari I ed ancora
DettagliTeorema di Pitagora. Triangoli con angoli di 45, 30 e 60. Eserciziario con soluzioni. - 1
Teorema di Pitagora. Triangoli con angoli di 45, 30 e 60. Eserciziario con soluzioni. - 1 Raccolta di problemi di geometra piana sul teorema di Pitagora applicato ai triangolo con angoli di 45, 30 e 60
DettagliCostruzioni geometriche. (Teoria pag , esercizi )
Costruzioni geometriche. (Teoria pag. 81-96, esercizi 141-153 ) 1) Costruzione con squadra e riga. a) Rette parallele. Ricorda: due rette sono parallele quando.... oppure quando hanno la stessa. Matematicamente
DettagliTest di Matematica di base
Test di Matematica di base Geometria Il rapporto tra la superficie di un quadrato e quella di un triangolo equilatero di eguale lato è a. 4 b. 4 d. [ ] Quali sono le ascisse dei punti della curva di equazione
DettagliC5. Triangoli. C5.1 Definizioni. C5.2 Classificazione dei triangoli in base ai lati
5. Triangoli 5.1 efinizioni Un triangolo è un poligono con tre lati. In figura 5.1 i lati sono i segmenti =c, =b e =a. Gli angoli (interni) sono α = ˆ, β = ˆ e γ = ˆ. Si dice che un angolo è opposto a
DettagliRilevazione degli apprendimenti
Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 00-0 PROVA DI MATEMATICA Scuola secondaria di II grado Classe... Studente... Simulazioni di prove costruite secondo il Quadro di riferimento Invalsi pubblicato
Dettagli