Unità Didattica N 23 Rette parallele

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1 28 Unità idattica N 23 Rette parallele Unità idattica N 23 Rette parallele 01) efinizione di rette parallele 02) ngoli formati da due rette tagliate da una trasversale 03) Quinto postulato di Euclide sulle rette parallele 04) Rette parallele : Teorema fondamentale 05) Rette parallele : Teorema inverso del fondamentale 06) Rette parallele tagliate da una trasversale 07) istanza tra due rette parallele 08) Teorema dell angolo esterno di un triangolo 09) Somma degli angoli interni di un triangolo 10) Triangolo con un lato doppio rispetto alla sua mediana 11) riteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli 12) riterio speciale di uguaglianza dei triangoli rettangoli 13) Un altro teorema sul triangolo isoscele Pagina 28 di 34

2 Unità idattica N 23 Rette parallele 29 RETTE PRLLELE efinizione : ue rette si dicono parallele quando sono complanari e non hanno alcun punto in comune. efinizione : date due rette r ed s ( parallele o incidenti ), si dice loro trasversale una qualsiasi retta t che incontri sia r che s. ngoli formati da due rette tagliate da una trasversale ue rette r ed s tagliate da una trasversale t formano otto angoli ( che solo per comodità indichiamo con dei numeri ) che possiamo associare a due a due in diversi modi : 1) ngoli alterno-interni : Sono le due seguenti coppie di angoli : 4ˆ ; 6ˆ e 3ˆ ; 5ˆ 2) ngoli alterno-esterni : Sono le due seguenti coppie di angoli : 1ˆ ; 7ˆ e 2ˆ ; 8ˆ 3) ngoli coniugati interni : Sono le due seguenti coppie di angoli : 4ˆ ; 5ˆ e 3ˆ ; 6ˆ 4) ngoli coniugati esterni : Sono le due seguenti coppie di angoli : 1ˆ ; 8ˆ e 2ˆ ; 7ˆ 5) ngoli corrispondenti :Sono le quattro seguenti coppie di angoli : 1ˆ ; 5ˆ, 2ˆ ; 6ˆ, 4ˆ ; 8ˆ, 3ˆ ; 7ˆ Quinto postulato di Euclide << Per un punto fuori di una retta r passa una sola parallela alla retta data r >> r t Euclide enunciò questo postulato nella seguente maniera equivalente : << Se due rette r ed s formano con una trasversale t angoli coniugati non supplementari, esse si incontrano da quella s parte dove la somma dei due angoli coniugati è minore di un angolo piatto. >> Pagina 29 di 34

3 30 Unità idattica N 23 Rette parallele Rette parallele : Teorema fondamentale Se due rette complanari formano con una trasversale angoli alternointerni uguali, esse sono parallele. t M B Hp{ MN ˆ = MNˆ r s N P Th { r / s imostriamo questo teorema per assurdo negando la tesi. Se le rette r ed s non sono parallele esse si incontreranno nel punto P individuando il triangolo MPN. L angolo M ˆ N è esterno rispetto al triangolo MPN e quindi, per un teorema precedentemente dimostrato, esso dovrebbe essere maggiore di ciascuno dei due angoli interni non adiacenti, cioè : l ipotesi. L assurdo si elimina affermando che le rette r ed s sono fra loro parallele. MN ˆ > MNˆ P in contrasto con Rette parallele : Teorema inverso del fondamentale ue rette parallele r ed s formano con ogni trasversale angoli alterni interni uguali. E t r H B Hp { r // s R Th { HM ˆ = HMˆ s F M imostriamo questo teorema per assurdo negando la tesi e supponendo, ad esempio, che sia HM ˆ > HM ˆ. llora è possibile costruire la retta RH in modo che risulti : RHM ˆ = HMˆ. Questo, per il teorema fondamentale, implica che : RH // s. Quindi, per il punto H passerebbero due rette, r ed HR parallele alla stessa retta s.questo è in contrasto col quinto postulato di Euclide. L assurdo si toglie ammettendo che HM ˆ = HMˆ. I due teoremi dimostrati possono essere così formulati : <<.N.S. perché due rette r ed s siano parallele è che formino angoli alterno-interni uguali. >> Pagina 30 di 34

4 Unità idattica N 23 Rette parallele 31 Rette parallele tagliate da una trasversale Teorema : ue rette parallele formano con una trasversale coppie di angoli che sono uguali o supplementari. Sono uguali : 1) gli angoli alterni interni 2) gli angoli alterni esterni 8ˆ 5 7ˆ 4ˆ 6ˆ 1ˆ 3ˆ 2ˆ 3) gli angoli corrispondenti. Sono supplementari : 1) gli angoli coniugati interni 2) gli angoli coniugati esterni. imostrazione : 1) 6ˆ 4ˆ =, 5ˆ 3ˆ = per il teorema inverso del fondamentale 2) 1ˆ = 3ˆ = 5ˆ = 7ˆ 1ˆ = 7ˆ 2ˆ = 4ˆ = 6ˆ = 8ˆ 2ˆ = 8ˆ 3) 2ˆ = 4ˆ = 6ˆ 2ˆ = 6ˆ 3ˆ = 5ˆ = 7ˆ 3ˆ = 7ˆ 4ˆ = 6ˆ = 8ˆ 4ˆ = 8ˆ 1ˆ = 3ˆ = 5ˆ 1ˆ = 5ˆ 4) 3ˆ + 2ˆ = 1 ngolo Piatto, 2ˆ = 6ˆ 3ˆ + 6ˆ = 1 ngolo Piatto 5) 3ˆ + 2ˆ = 1 ngolo Piatto, 3ˆ = 7ˆ 7ˆ + 2ˆ = 1 ngolo Piatto istanza tra due rette parallele Teorema : Se due rette sono parallele, allora tutti i punti dell una sono equidistanti dall altra. efinizione : icesi distanza tra due rette parallele la distanza di un punto qualsiasi di una di esse dall altra retta. Teorema dell angolo esterno di un triangolo Teorema : In un qualsiasi triangolo ogni angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti. α E Hp{ ˆ è un angolo esterno del triangolo B B β γ δ Th{ ˆ = B ˆ + Bˆ = α + β Pagina 31 di 34

5 32 Unità idattica N 23 Rette parallele Per il vertice traccio la retta E parallela al lato B. Risulta : ˆ = δ = β perché angoli corrispondenti rispetto alle parallele E ed B tagliate dalla trasversale B. E ˆ = γ = α perché angoli alterni interni rispetto alle parallele E e B tagliate dalla trasversale. ˆ = γ + δ = α + β Somma degli angoli interni di un triangolo Teorema : La somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo è uguale ad un angolo piatto. δ α σ r Hp { B è un triangolo qualsiasi Th { α + β + γ = angolo piatto B β γ Per il vertice traccio la retta r parallela al lato B. δ = β perché angoli alterni interni rispetto alle parallele r e B tagliate dalla trasversale B σ = γ perché angoli alterni interni rispetto alle parallele r e B tagliate dalla trasversale α + β + γ = α + δ + σ = angolo piatto Triangolo con un lato doppio rispetto alla sua mediana Teorema : B Se in un triangolo B la mediana M relativa al lato B è uguale alla metà di questo lato, allora B è un triangolo rettangolo in. M Pagina 32 di 34

6 Unità idattica N 23 Rette parallele 33 riteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli Primo criterio : ue triangoli rettangoli sono uguali se hanno uguali i due cateti Secondo criterio : ue triangoli rettangoli sono uguali se hanno uguali un cateto e l angolo acuto ad esso adiacente Terzo criterio : ue triangoli rettangoli sono uguali se hanno uguali un cateto e l angolo acuto ad esso opposto Quarto criterio : ue triangoli rettangoli sono uguali se hanno uguali l ipotenusa ed un angolo acuto. riterio speciale di uguaglianza per i triangoli rettangoli << ue triangoli rettangoli sono uguali se hanno uguali l ipotenusa ed un cateto >> ' B B" ' B' B ˆ = ˆ = angolo retto Hp B = = Δ Th B Δ = Prolungo il segmento B dalla parte di di un segmento I triangoli e sono uguali per avere : 1) = per costruzione = e congiungo con B. 2) = per ipotesi 3) B ˆ = ˆ perché entrambi retti. Ne consegue che = = B e che il triangolo B è isoscele sulla base B. Ricordando che in un triangolo isoscele l altezza ( ) relativa alla base ( B ) è anche mediana, possiamo scrivere : = B =. I triangoli B e sono uguali per avere uguali i tre lati. Pagina 33 di 34

7 34 Unità idattica N 23 Rette parallele Un altro teorema sul triangolo isoscele Teorema Nel triangolo isoscele l altezza relativa alla base è anche mediana e bisettrice imostrazione Sia H l altezza relativa alla base B del triangolo isoscele B. Vogliamo dimostrare che H è anche mediana relativa alla base B e bisettrice dell angolo al vertice B ˆ. I triangoli MB ed M sono uguali per il criterio speciale di uguaglianza per i triangoli avere : 1) M in comune 2) rettangoli per B = perché M B lati obliqui di uno stesso triangolo isoscele 3) MB ˆ = Mˆ = 90 per ipotesi. B M Ne consegue che : a) BM ˆ = Mˆ e quindi B è bisettrice dell angolo al vertice BM ˆ b) BM = M e quindi M è la mediana relativa alla base B. orollario In un triangolo equilatero, l altezza, la bisettrice e la mediana uscenti da uno stesso vertice coincidono. Pagina 34 di 34