Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e A049 Trasformazioni geometriche

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1 Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e A049 Trasformazioni geometriche anno acc. 2013/2014 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e A049 1 / 40

2 index Argomenti 1 Argomenti 2 Isometrie 3 Composizione di isometrie 4 Teorema di classificazione 5 Similitudini 6 Affinità 7 Il concetto di Geometria secondo F. Klein Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e A049 2 / 40

3 Argomenti Isometrie e similitudini piane Trasformazioni. Isometrie piane: traslazioni, rotazioni, riflessioni e glissoriflessioni. Composizione di riflessioni. Teorema di classificazione delle isometrie piane. Trasformazioni dirette e inverse. Similitudini. Omotetie. Cenno alle affinità. Gruppi di trasformazione. Proprietà invarianti Gruppi di trasformazioni. Il concetto di Geometria secondo F. Klein. Proprietà invarianti. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e A049 3 / 40

4 index Isometrie 1 Argomenti 2 Isometrie 3 Composizione di isometrie 4 Teorema di classificazione 5 Similitudini 6 Affinità 7 Il concetto di Geometria secondo F. Klein Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e A049 4 / 40

5 Isometrie Trasformazione piana = applicazione biunivoca del piano in sè. Isometria o congruenza piana = trasformazione del piano che conserva le distanze. Le isometrie piane formano un gruppo rispetto alla composizione. Esempi di isometrie piane: traslazioni, rotazioni, riflessioni, glissoriflessioni. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e A049 5 / 40

6 Traslazioni Isometrie Una traslazione τ v è definita assegnando un vettore v. Pτ v (P) = v. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e A049 6 / 40

7 Rotazioni Isometrie Una rotazione ρ C,α è definita assegnando un punto C e un angolo α. Cρ C,α (P) = CP, ρ C,α (P)ĈP = α Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e A049 7 / 40

8 Riflessione Isometrie Una riflessione (o simmetria, o - non consigliabile - ribaltamento) σ r è definita assegnando una retta r. r è asse del segmento Pσ r (P) Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e A049 8 / 40

9 Glissoriflessioni Isometrie Una glissoriflessione γ r,v è definita assegnando una retta r ed un vettore non nullo v parallelo a r. γ r,v = τ v σ r Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e A049 9 / 40

10 Isometrie Qualche considerazione di tipo didattico: La trasformazione non è il movimento: una trasformazione è un applicazione f : X X, un movimento è una famiglia {φ t } 0 t 1, φ t : X X con φ 0 = identità e φ 1 = f ; una trasformazione piana opera su tutto il piano, non solo su una figura (non ha senso distinguere tra riflessioni con asse esterno o interno a una figura: è la figura che cambia, non la riflessione); per visualizzare l effetto di una trasformazione è bene usare una figura asimmetrica; occorre chiarire quale concetto di angolo vada utilizzato nella definizione di rotazione. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e10 A049 / 40

11 Isometrie Possibili significati del concetto di angolo. angolo come sottoinsieme del piano: non ha senso distinguere l angolo tra r e s da quello tra s e r; non ha senso parlare di somma di angoli; angolo come rotazione: occorre fissare un verso di rotazione nel piano, occorre distinguere l angolo tra r e s da quello tra s e r, l ampiezza è definita a meno di multipli dell angolo giro; angolo come movimento di rotazione: la rotazione di 2 giri e mezzo è diversa da quella di mezzo giro, ma il movimento è diverso. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e11 A049 / 40

12 index Composizione di isometrie 1 Argomenti 2 Isometrie 3 Composizione di isometrie 4 Teorema di classificazione 5 Similitudini 6 Affinità 7 Il concetto di Geometria secondo F. Klein Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e12 A049 / 40

13 Composizione di traslazioni Composizione di isometrie La composizione di traslazioni è una traslazione. τ w τ v = τ v+w Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e13 A049 / 40

14 Composizione di isometrie Composizione di rotazioni con lo stesso centro La composizione di rotazioni con lo stesso centro è una rotazione. ρ C,β ρ C,α = ρ C,α+β Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e14 A049 / 40

15 Composizione di isometrie Composizione di riflessioni La composizione di riflessioni rispetto assi paralleli è una traslazione. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e15 A049 / 40

16 Composizione di isometrie La composizione di riflessioni rispetto assi incidenti è una rotazione di centro nel punto di incidenza. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e16 A049 / 40

17 index Teorema di classificazione 1 Argomenti 2 Isometrie 3 Composizione di isometrie 4 Teorema di classificazione 5 Similitudini 6 Affinità 7 Il concetto di Geometria secondo F. Klein Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e17 A049 / 40

18 Teorema di classificazione TEOREMA - Ogni isometria piana è composizione di al più tre riflessioni. Inoltre: la composizione di n = 0 riflessioni è identità; la composizione di n = 1 riflessioni è una riflessione; la composizione di n = 2 riflessioni è una traslazione oppure una rotazione; la composizione di n = 3 riflessioni è una glissoriflessione (o una riflessione). In conclusione le isometrie piane sono solo: l identità, le riflessioni, le traslazioni, le rotazioni, le glissoriflessioni. Non ha senso parlare, in geometria piana, di rototraslazioni (sono rotazioni). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e18 A049 / 40

19 Teorema di classificazione Isometrie dirette e isometrie inverse Orientazione del piano = verso di rotazione (orario o antiorario) Isometria diretta: conserva l orientazione. Isometria inversa: inverte l orientazione. Le riflessioni sono isometrie inverse. le composizioni di un numero pari (rispett. dispari) di isometrie inverse sono isometrie dirette (rispett. inverse). Sono isometrie dirette l identità, le traslazioni e le rotazioni. Sono isometrie inverse le simmetrie e le glissoriflessioni. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e19 A049 / 40

20 index Similitudini 1 Argomenti 2 Isometrie 3 Composizione di isometrie 4 Teorema di classificazione 5 Similitudini 6 Affinità 7 Il concetto di Geometria secondo F. Klein Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e20 A049 / 40

21 Similitudini Intuitivamente una similitudine piana è una trasformazione che conserva la forma delle figure. Capacità di riconoscimento dele forme. Ad esempio, riconoscimento dei volti: dal vero, in foto, in un identikit, in una caricatura... Forma di un volto: rapporto lunghezza / larghezza, rapporto distanza occhi / lunghezza naso; rapporto altezza fronte / lunghezza viso. Caricatura: esaspera le peculiarità di tali rapporti. Una similitudine piana è una trasformazione f che conserva i rapporti fra le distanze dei punti, ovvero tale che dist(a, B) dist(f (A), f (B)) = dist(c, D) dist(f (C), f (D)) dist(f (A), f (B)) dist(a, B) = dist(f (C), f (D)) dist(c, D) = k, k costante. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e21 A049 / 40

22 Similitudini Un esempio di similitudine è l omotetia. Un omotetia ω C,λ è definita assegnando un punto, il centro C, e un numero reale λ 0. P = ω C,λ (P), P C = λ PC Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e22 A049 / 40

23 Similitudini Le omotetie sono tutte trasformazioni dirette, sia nel caso λ > 0 che nel caso λ < 0. Le similitudini piane formano un gruppo rispetto alla composizione. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e23 A049 / 40

24 Similitudini Il concetto di forma è di natura intuitiva, eppure in alcuni casi l idea che se ne ha è sbagliata. Dal punto di vista simile, due ellissi di equazioni x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 1 a 2 b 2 c 2 d 2 sono simili se e solo se a b = c d oppure a b = d c (cioè se e solo se hanno lo stesso rapporto tra semiasse maggiore e minore: hanno la stessa forma). Dal punto di vista simile tutte le parabole sono equivalenti: l omotetia di equazioni y = y a, x = x a trasforma y = x2 in y = ax 2. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e24 A049 / 40

25 Similitudini Nessuno direbbe che la circonferenza rossa è più stretta della circonferenza blu. Tutte le circonferenze hanno la stessa forma. Lo stesso accade per le parabole: hanno tutte la stessa forma! Dal punto di vista metrico, quello che cambia è la curvatura. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e25 A049 / 40

26 index Affinità 1 Argomenti 2 Isometrie 3 Composizione di isometrie 4 Teorema di classificazione 5 Similitudini 6 Affinità 7 Il concetto di Geometria secondo F. Klein Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e26 A049 / 40

27 Affinità Le affinità sono le più generali trasformazioni del piano in sè che mutano rette in rette. Interpretando il piano del dominio e del codominio come due piani distinti nello spazio, una affinità può essere ottenuta componendo una proiezione parallela (nello spazio) con una similitudine (nel piano immagine). Dati 3 punti A, B, C non allineati nel piano e altri 3 punti A, B, C pure non allineati, esiste una affinità che manda A in A, B in B e C in C. Le affinità mutano rette parallele in rette parallele. Le affinità conservano il rapporto tra le misure di segmenti allineati. Le affinità conservano i rapporti tra le aree delle figure. Le affinità piane formano un gruppo rispetto alla composizione. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e27 A049 / 40

28 index Il concetto di Geometria secondo F. Klein 1 Argomenti 2 Isometrie 3 Composizione di isometrie 4 Teorema di classificazione 5 Similitudini 6 Affinità 7 Il concetto di Geometria secondo F. Klein Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e28 A049 / 40

29 Il concetto di Geometria secondo F. Klein Gruppi di trasformazioni Una trasformazione di un insieme S in sé è un applicazione g : S S biunivoca. In particolare ogni trasformazione g : S S ammette un inversa g 1 : S S, cioè un applicazione tale che g g 1 = g 1 g = id S ove denota la composizione e id S : S S denota l applicazione identità (ovvero id S (s) = s, s S). Quindi un gruppo di trasformazioni di S è un insieme G di trasformazioni di S tale che g 1, g 2 G g 2 g 1 G; id S G; g G l inversa g 1 G. (la composizione è un operazione associativa.) Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e29 A049 / 40

30 Il concetto di Geometria secondo F. Klein Che cosa studia la Geometria? Felix Klein (1872, programma di Erlangen) Una Geometria è una coppia G = (S, G) ove S è un insieme detto spazio, G è un gruppo di trasformazioni di S. I sottoinsiemi di S vengono detti figure). La geometria studia le "proprietà" delle figure. Ad esempio S potrebbe essere la retta, o il piano, o lo spazio, ma anche un qualsiasi altro insieme, e, per esempio, quando S è il piano, G potrebbe l insieme delle isometrie del piano, o delle similitudini del piano, o delle affinità del piano, ma anche un qualunque altro gruppo di trasformazioni del piano di sé. Un punto, un segmento, un triangolo, un poligono, un cerchio sono figure del piano, ma anche un qualsiasi altro sottoinsieme è una figura. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e30 A049 / 40

31 Il concetto di Geometria secondo F. Klein Esempi di geometria Tratteremo unicamente esempi in cui l insieme S è il piano Π e chiameremo G C = (Π, G C ), con G C gruppo delle isometrie, Geometria euclidea G S = (Π, G S ), con G S gruppo delle similitudini, Geometria simile G A = (Π, G A ), con G A gruppo delle affinità, Geometria affine. Osserviamo che si ha G C G S G A (il gruppo delle isometrie è un sottogruppo del gruppo delle similitudini e questo è un sottogruppo del gruppo delle affinità). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e31 A049 / 40

32 Il concetto di Geometria secondo F. Klein La relazione di G equivalenza Sia G = (S, G) una geometria. Il fatto che G sia un gruppo (e non solo un insieme) di trasformazioni permette di formalizzare il concetto di "uguaglianza" tra figure, come segue. Siano F 1, F 2 S figure, si scrive F 1 G F 2 se g G : g(f 1 ) = F 2 G si dice G-equivalenza o "uguaglianza". Il fatto che G sia un gruppo, e non un semplice insieme di trasformazioni, fa sì che la relazione G sia di equivalenza: G è riflessiva. F S F G F id S G, F = id S (F) G è simmetrica. F 1, F 2 S F 1 G F 2 F 2 G F 1 g(f 1 ) = F 2 g 1 G g 1 (F 2 ) = F 1 G è transitiva. F 1, F 2, F 3 S F 1 G F 2, F 2 G F 3 F 1 G F 3 g(f 1 ) = F 2 h(f 2 ) = F 3 h g G h g(f 1 ) = F 3 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e32 A049 / 40

33 Il concetto di Geometria secondo F. Klein Su un fissato insieme S (ad esempio il piano), la scelta della geometria (cioè la scelta del gruppo di trasformazioni) corrisponde alla scelta di un concetto di "uguaglianza". Ad esempio, in geometria euclidea due segmenti della stessa lunghezza sono "uguali" tra loro, mentre due segmenti di lunghezza diversa non lo sono. In geometria simile tutti i segmenti sono "uguali" tra loro. Dal momento che la G equivalenza corrisponde al concetto di uguaglianza, vedremo ora che in geometria hanno senso solo le proprietà "invarianti" per G equivalenza. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e33 A049 / 40

34 Il concetto di Geometria secondo F. Klein Le proprietà geometriche Sia G = (S, G) una geometria. Una proprietà P delle figure F S si dice proprietà geometrica (o invariante) se passa al quoziente modulo G, ovvero P vale per la figura F P vale F G F. Ad esempio, sia in geometria euclidea, che in geometria simile, che in geometria affine, "essere un segmento" è una proprietà geometrica, perché se una figura F è un segmento, ogni altra figura equivalente lo è. Ad esempio, in geometria euclidea, "la lunghezza di un segmento" è una proprietà geometrica, perché, se un segmento ha una data lunghezza, ogni altro segmento a lui equivalente ha la stessa lunghezza. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e34 A049 / 40

35 Il concetto di Geometria secondo F. Klein Invece, in geometria simile, "la lunghezza" NON è una proprietà geometrica, perché, due segmenti possono essere equivalenti (cioè essere mutati l uno nell altro da una similitudine) pur avendo lunghezze diverse. La lunghezza in geometria euclidea è un invariante, in geometria simile no. Se si lavora in geometria simile, non ha senso parlare di lunghezze. Si può parlare di "ampiezza di un angolo" in geometria euclidea? E in geometria simile? E in geometria affine? Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e35 A049 / 40

36 Il concetto di Geometria secondo F. Klein La gerarchia tra le geometrie Consideriamo ora due geometrie G 1 = (S, G 1 ) e G 2 = (S, G 2 ) sullo stesso insieme S e supponiamo che G 1 sia un sottogruppo di G 2 (G 1 G 2 ). Si scrive in tal caso G 1 G 2 e si dice che la geometria G 1 è subordinata alla geometria G 2. Ad esempio potrebbe essere G 1 = G C la geometria euclidea, e G 2 = G S la geometria simile. Osserviamo che se F 1 ed F 2 sono due figure G 1 -equivalenti, allora F 1 ed F 2 sono anche G 2 -equivalenti. Infatti, se F 1 e F 2 sono G 1 -equivalenti, esiste una trasformazione g G 1 tale che g(f 1 ) = F 2, ma, essendo G 1 G 2 si ha anche g G 2 e quindi F 1 e F 2 sono anche G 2 -equivalenti. Ad esempio, due triangoli isometrici sono anche simili. In generale non vale il viceversa. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e36 A049 / 40

37 Il concetto di Geometria secondo F. Klein Più trasformazioni, meno proprietà Siano G 1 = (S, G 1 ) e G 2 = (S, G 2 ) due geometrie sullo stesso insieme con G 1 G 2 (quindi G 1 G 2 ). Se P è una proprietà (invariante) della geometria G 2 allora è anche una proprietà della geometria G 1. Infatti sia F una figura che ha la proprietà P e sia g G 1. Si deve dimostrare che anche g(f) ha la proprietà P. Questo segue dal fatto che g G 1 G 2 e che P è una proprietà della geometria G 2. Ad esempio essere "triangolo equilatero" è una proprietà della geometria simile, e di conseguenza è anche una proprietà della geometria euclidea (se un triangolo è equilatero, tale resta anche dopo averlo trasformato con una qualsiasi similitudine, e di conseguenza tale resta dopo averlo trasformato con una isometria che è una particolare similitudine). In generale invece una proprietà della geometria G 1 non sarà una proprietà della geometria G 2. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e37 A049 / 40

38 Il concetto di Geometria secondo F. Klein Proprietà più profonde Ad esempio "essere un segmento di lunghezza 2 centimetri" è una proprietà della geometria euclidea, ma non della geometria simile. Ampliandosi il gruppo di trasformazioni, diminuiscono le proprietà geometriche, cioè gli invarianti: restano le proprietà più profonde (quelle che continuano a sussistere anche dopo aver sottoposto la figura a una trasformazione del gruppo più ampio). Altro esempio: la topologia. Il gruppo di trasformazioni è un gruppo molto vasto che comprende le deformazioni continue. In topologia un disco è "uguale" a un quadrato, un segmento è "uguale" a un tratto di curva,... Quali proprietà soppravvivono? La cardinalità (un insieme costituito da un numero finito di punti non è uguale ad uno costituito da infiniti punti), la "dimensione" (una retta non è uguale a un quadrato), l "essere fatto di un sol pezzo" (l unione di due segmenti disgiunti non è uguale a un segmento), l "avere buchi" (un segmento non è uguale a una circonferenza e una corona circolare non è uguale a un disco)... Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e38 A049 / 40

39 Il concetto di Geometria secondo F. Klein Se invece il gruppo è molto piccolo, le proprietà geometriche sono tante. Sempre con S = Π possiamo considerare il caso limite in cui il gruppo è il più piccolo possibile, ovvero costituito dalla sola trasformazione identica. Denoteremo tale geometria con G id e la chiameremo Geografia. In geografia tutte le proprietà delle figure sono invarianti. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e39 A049 / 40

40 Il concetto di Geometria secondo F. Klein PROPRIETÀ G id G e G s G a essere triangolo sì sì sì sì essere triangolo equilatero sì sì sì no essere triangolo rettangolo sì sì sì no essere triangolo con un lato di 3 cm sì sì no no essere triangolo di area 9 cm 2 sì sì no no essere triangolo con un vertice in un punto fissato sì no no no essere triangolo con un lato parallelo a una retta fissata sì no no no essere ellisse sì sì sì sì essere circonferenza sì sì sì no essere circonferenza di raggio 4 cm sì sì no no essere circonferenza di centro fissato sì no no no Nessuna delle proprietà sopra elencate sopra è una proprietà topologica. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Didattica della Matematica 1 e Didattica della Matematica e della Fisica - classi A047 e40 A049 / 40