3 Questioni metriche. 4 Che cosa significa essere uguali? Fondamenti e didattica della matematica B. La geometria delle isometrie

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1 1 2 Fondamenti e didattica della matematica B 24 gennaio 2007 La geometria delle isometrie Dipartimento di Matematica e Applicazioni Università di Milano Bicocca Fondamenti e didattica della matematica B p. 1 Fondamenti e didattica della matematica B p. 2 3 uestioni metriche 4 Che cosa significa essere uguali? Nel momento in cui andiamo a porre delle questioni metriche (misura di lunghezze, misure di aree,... ) stiamo passando dalla geometria delle similitudini alla geometria delle isometrie Ai fini della misurazione dell area questi due quadrati sono diversi (mentre nella geometria delle similitudini ci eravamo orientati a studiare le proprietà comuni a questi due quadrati) uando si vogliono classificare oggetti matematici (in questo caso oggetti geometrici) è utile introdurre una relazione di equivalenza. Una relazione è di equivalenza se è riflessiva: ogni oggetto è equivalente a se stesso simmetrica: se l oggetto A è equivalente all oggetto B, allora si ha anche che l oggetto B è equivalente all oggetto A transitiva: se l oggetto A è equivalente all oggetto B e l oggetto B è equivalente all oggetto C, allora si ha anche che l oggetto A è equivalente all oggetto C Fondamenti e didattica della matematica B p. 3 Fondamenti e didattica della matematica B p. 4

2 5 Equivalenze in geometria 6 Equivalenze in geometria Vogliamo stabilire una relazione di equivalenza tra le figure geometriche (per stabilire che cosa significhi che due figure sono uguali). Abbiamo visto l esempio di una relazione di equivalenza fatta in questo modo due figure geometriche sono equivalenti se è possibile trovare una similitudine di tutto il piano che mandi l una nell altra otremmo però scegliere invece la relazione di equivalenza fatta in questo modo due figure geometriche sono equivalenti se è possibile trovare una omotetia del piano che mandi l una nell altra Se queste sono le regole del gioco, allora i seguenti quadrati non sono equivalenti Se queste sono le regole del gioco, ne possiamo trarre le dovute conseguenze: ad esempio tutti i quadrati sono equivalenti. Fondamenti e didattica della matematica B p. 5 Fondamenti e didattica della matematica B p. 6 7 Trasformazioni e equivalenze 8 Trasformazioni e geometrie I due esempi di equivalenze visti utilizzano trasformazioni geometriche: nel primo caso si chiede di trovare similitudini che mandano le due figure l una nell altra nel secondo caso si chiede di trovare omotetie che mandano le due figure l una nell altra rima di vedere altri esempi è utile menzionare che le cose funzionano perché similitudini e omotetie costituiscono gruppi di trasformazioni. È importante osservare fin da subito che l equivalenza scelta condiziona in modo determinante l oggetto dei nostri studi. Fare geometria significa studiare le proprietà comuni a figure uguali queste proprietà sono dette invarianti. Se scelgo gruppi di trasformazioni diversi, ottengo equivalenze diverse (e proprietà invarianti diverse). Ogniqualvolta si ha un gruppo di trasformazioni è possibile definire una relazione di equivalenza tra le figure geometriche in modo analogo a quanto visto per similitudini e omotetie. Fondamenti e didattica della matematica B p. 7 Fondamenti e didattica della matematica B p. 8

3 9 Similitudini del piano 10 Isometrie del piano Una similitudine è una trasformazione f del piano che verifica le condizioni seguenti Una isometria è una trasformazione f del piano che lascia invariate le distanze. Le distanze vengono mutate, ma vengono mutate in rapporto costante. Cioè possiamo trovare un numero k tale che se la distanza di due punti e vale TOT, allora la distanza tra i loro corrispondenti f() e f() vale k TOT. Gli angoli non cambiano. Cioè comunque si fissino tre punti A, B e C, l angolo da questi individuato è uguale all angolo individuato dai loro corrispondenti f(a), f(b) e f(c). In altre parole, f è una isometria se comunque si prendano due punti e del piano, allora la distanza tra e è uguale alla distanza tra f() e f(). Come sono fatte le isometrie del piano? Le isometrie del piano costituiscono un gruppo? L equivalenza determinata da questo gruppo di trasformazioni che tipo di geometria mi fa considerare? Fondamenti e didattica della matematica B p. 9 Fondamenti e didattica della matematica B p roprietà delle isometrie 12 ur non avendo ancora dato esempi, la proprietà astratta che definisce se una trasformazione sia o meno un isometria permette di dedurne alcune proprietà geometriche comunque si fissino tre punti A, B e C del piano, l angolo da questi individuato è uguale all angolo individuato dai loro corrispondenti f(a), f(b) e f(c) Esempi di isometrie se tre punti A, B e C sono allineati, allora f(a), f(b) e f(c) sono allineati l immagine di ogni segmento è un segmento, l immagine di ogni retta è una retta Fondamenti e didattica della matematica B p. 11 Fondamenti e didattica della matematica B p. 12

4 13 Riflessione rispetto ad una retta r 14 Riflessione rispetto ad una retta r Fissata una retta r, la riflessione corrispondente è quella trasformazione che manda ogni punto del piano in quel punto che appartiene alla perpendicolare da a r e tale che la distanza di dalla retta r sia uguale alla distanza di da r r otremmo anche dire che la riflessione rispetto alla retta r manda ogni punto in quel punto tale che r risulti essere l asse del segmento. Fondamenti e didattica della matematica B p. 13 Fondamenti e didattica della matematica B p Riflessione rispetto ad una retta r 16 Riflessioni Le riflessioni sono isometrie. A C B Si può dimostrare che, qualunque sia la scelta dei punti e, si ha che la distanza tra e è uguale alla distanza tra e Fondamenti e didattica della matematica B p. 15 Fondamenti e didattica della matematica B p. 16

5 17 Rotazione di angolo α attorno al punto O 18 Rotazione di angolo α attorno al punto O Fissato un punto O del piano e un angolo α la rotazione corrispondente è quella trasformazione che manda ogni punto del piano nel punto individuato dal fatto che la distanza di O da è uguale alla distanza di O da e che l angolo O sia uguale all angolo α α = 90 O α O Fondamenti e didattica della matematica B p. 17 Fondamenti e didattica della matematica B p Rotazione di angolo α attorno al punto O 20 Traslazione di vettore v α = 180 Fissato un vettore v, la traslazione corrispondente è quella trasformazione che manda ogni punto del piano nel punto individuato dal fatto che il vettore abbia la stessa direzione, la stessa lunghezza e lo stesso verso di v. O Fondamenti e didattica della matematica B p. 19 Fondamenti e didattica della matematica B p. 20

6 21 Traslazione di vettore v 22 Rigidità di una isometria Come le similitudini, anche le isometrie sono trasformazioni rigide : sapere come una isometria si comporta su un pezzo di piano, anche molto piccolo, ci permette di sapere come questa isometria si comporta su tutto il piano. uindi anche se le isometrie sono per definizione trasformazioni di tutto il piano, è lecito considerarne l azione solo su una porzione di piano. iù precisamente, sapere come una isometria si comporta su tre punti non allineati ci permette di ricostruire il comportamento dell isometria su tutto il piano. Fondamenti e didattica della matematica B p. 21 Fondamenti e didattica della matematica B p Composizione di applicazioni biunivoche Comporre due applicazioni biunivoce significa applicarle l una dopo l altra Composizione di isometrie A a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 a 2 a 3 a 4 A a 1 a 2 a 3 a 4 A A a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 a 2 a 3 a 4 A Fondamenti e didattica della matematica B p. 23 Fondamenti e didattica della matematica B p. 24

7 25 Composizione di traformazioni 26 Composizione di traslazioni Date due trasformazioni, che chiamiamo f e g, applicando prima la f e poi la g (cioè facendone la composizione) otteniamo una nuova trasformazione. Ricordiamo che una isometria (del piano) è una trasformazione (del piano) che lascia invariate le distanze. In altre parole, f è una isometria se comunque si prendano due punti e del piano, allora la distanza tra e è uguale alla distanza tra f() e f(). Si può osservare che la composizione di due isometrie è ancora una isometria. La composizione di traslazioni è ancora una traslazione L ordine non ha importanza Fondamenti e didattica della matematica B p. 25 Fondamenti e didattica della matematica B p Composizione di riflessioni 28 Composizione di riflessioni L ordine ha importanza er capire di che tipo di trasformazione si tratti abbiamo bisogno di altri punti La composizione di queste due riflessioni è una traslazione L ordine ha importanza La composizione di queste due riflessioni è una rotazione Fondamenti e didattica della matematica B p. 27 Fondamenti e didattica della matematica B p. 28

8 29 Composizione di isometrie 30 Nuove isometrie? Ricapitoliamo quanto visto La composizione di due traslazioni è ancora una traslazione (corrispondente alla somma di vettori) uando faccio la composizione di due traslazioni non importa in quale ordine considero le due traslazioni La composizione di due riflessioni può essere una traslazione o una rotazione (a seconda che le rette rispetto a cui rifletto siano parallele o incidenti) uando faccio la composizione di due riflessioni ottengo risultati diversi a seconda di quale riflessione opera per prima Che cosa succede per le altre isometrie? Sono isometrie le traslazioni le riflessioni le rotazioni????? La composizione di isometrie potrebbe permettermi di trovare nuovi tipi di isometrie da aggiungere a questa lista. Che cosa succede se compongo due rotazioni? E se compongo una traslazione e una rotazione?... una traslazione e una riflessione? Fondamenti e didattica della matematica B p. 29 Fondamenti e didattica della matematica B p Glissoriflessioni 32 Componendo una traslazione con una riflessione scopriamo una nuova famiglia di isometrie: le glissoriflessioni L isometria ottenuta non è né una riflessione, né una rotazione e neppure una traslazione Come riconoscere una isometria? In questo caso particolare (il vettore della traslazione è parallelo alla retta della riflessione) l ordine in cui compongo le isometrie non fa differenza. Fondamenti e didattica della matematica B p. 31 Fondamenti e didattica della matematica B p. 32

9 33 Isometrie del piano 34 Isometrie del piano Si può dimostrare che con le glissoriflessioni abbiamo completato la lista delle isometrie del piano traslazioni riflessioni rotazioni glissoriflessioni In altre parole, ogni isometria del piano è di uno dei tipi in elenco. (Nota: si tratta di un teorema di teoria dei gruppi.) La più immediata distinzione è tra isometrie che conservano l orientamento e isometrie che non conservano l orientamento rotazioni e traslazioni conservano l orientamento riflessioni e glissoriflessioni non conservano l orientamento uesto ci propone un altro problema: data una isometria, come possiamo capire di quale tipo è? Fondamenti e didattica della matematica B p. 33 Fondamenti e didattica della matematica B p Geometria delle isometrie Due figure sono equivalenti se esiste una isometria di tutto il piano che manda la prima figura nella seconda Geometria delle isometrie figure uguali hanno la stessa area figure uguali hanno lo stesso perimetro poligoni uguali hanno lati e angoli uguali Fondamenti e didattica della matematica B p. 35 Fondamenti e didattica della matematica B p. 36

10 37 Isometrie e aree 38 Isometrie e aree Rivedendo gli esercizi sulle aree scopriamo che di fatto abbiamo utilizzato la geometria delle isometrie I trapezi si corrispondono tramite una rotazione. I triangolini si corrispondono tramite una traslazione. Fondamenti e didattica della matematica B p. 37 Fondamenti e didattica della matematica B p Relazioni di equivalenza Classificare in geometria Classificare (in geometria, ma anche, ad esempio, in musica) significa raggruppare oggetti in base a classi ben definite. In matematica le classi preferenziali sono le classi di equivalenza, basate cioè su una relazione di equivalenza. Fondamenti e didattica della matematica B p. 39 Fondamenti e didattica della matematica B p. 40

11 41 Essere figure simili 42 Essere figure isometriche La prima relazione di equivalenza che abbiamo considerato è la seguente ossiamo anche introdurre una relazione di equivalenza in questi termini Definizione Due figure del piano si dicono simili se è possibile costruire una similitudine del piano che manda la prima figura nella seconda. Definizione Due figure del piano si dicono isometriche se è possibile costruire una isometria del piano che manda la prima figura nella seconda. tutti i quadrati sono equivalenti tutte le circonferenze sono equivalenti... due quadrati sono equivalenti se e solo se hanno uguale lato due circonferenze sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso raggio... Fondamenti e didattica della matematica B p. 41 Fondamenti e didattica della matematica B p Trasformazioni e geometrie 44 La relazione di equivalenza scelta condiziona l oggetto dei nostri studi. Fare geometria significa individuare le figure uguali e studiarne le proprietà in comune (gli invarianti) Altre geometrie Nella geometria delle similitudini cerchiamo di individuare le figure simili (e conoscere le proprietà che sono comuni a figure simili ci permette di stabilire se due figure sono simili o meno) Nella geometria delle isometrie cerchiamo di individuare le figure isometriche (e, di nuovo, i rispettivi invarianti ci permettono di stabilire se due figure sono isometriche o meno) Altre geometrie? Fondamenti e didattica della matematica B p. 43 Fondamenti e didattica della matematica B p. 44

12 45 Altre geometrie? 46 Altre geometrie? Le trasformazioni del piano ci permettono di definire altre relazioni di equivalenza tra le figure geometriche del piano, purchè si abbia a che fare con un gruppo di trasformazioni Un insieme X di trasformazioni è un gruppo se In questa costruzione è cruciale avere a disposizione una struttura di gruppo Definizione Due figure sono equivalenti se è possibile trovare una rotazione che mandi l una nell altra X contiene la trasformazione identica se X contiene due trasformazioni f e g, allora X contiene anche la composizione di f e g se X contiene una trasformazione f, allora X contiene anche la trasformazione inversa di f Fondamenti e didattica della matematica B p. 45 La prima e la terza figura non sono equivalenti, cioè non vale la proprietà transitiva. Fondamenti e didattica della matematica B p Gruppi di trasformazioni 48 Topologia Sono gruppi di trasformazioni l insieme di tutte le omotetie del piano l insieme di tutte le similitudini del piano l insieme di tutte le isometrie del piano l insieme di tutte le traslazioni del piano l insieme costituito mettendo assieme tutte le traslazioni del piano e le rotazioni del piano La difficoltà dell argomento topologia sta proprio nel definire cosa sia una trasformazione topologica. Il concetto di trasformazione topologica ha a che fare con il concetto di continuità, concetto che per una definizione accurata richiede un grosso apparato concettuale (che in questo corso non si vuole toccare). Intuitivamente possiamo pensare alla topologia come alla geometria della gomma l insieme di tutte le affinità del piano l insieme di tutte le proiettività del piano l insieme di tutte le trasformazioni topologiche del piano Fondamenti e didattica della matematica B p. 47 Fondamenti e didattica della matematica B p. 48

13 49 Topologia 50 Figure topologicamente equivalenti La topologia è quella geometria in cui sono considerate equivalenti figure mandate l una nell altra da una trasformazione topologica In topologia le seguenti figure sono equivalenti Fondamenti e didattica della matematica B p. 49 Fondamenti e didattica della matematica B p Figure topologicamente non equivalenti 52 Simmetria Fondamenti e didattica della matematica B p. 51 Fondamenti e didattica della matematica B p. 52

14 53 Simmetria 54 Simmetrie del quadrato Le isometrie ci permettono di parlare di simmetria di una figura. Data una figura del piano, chiamiamo simmetria di questa figura ogni isometria del piano che manda la figura in sé stessa. Le riflessioni rispetto alle quattro rette tratteggiate mandano il quadrato in se stesso Ci sono altre isometrie che mandano il quadrato in se stesso? Se le quattro riflessioni mandano il quadrato in se stesso, allora anche le composizioni di queste riflessioni mandano il quadrato in se stesso La composizione delle due riflessioni manda il quadrato in se stesso La composizione delle due riflessioni è una rotazione di 90 e centro Fondamenti e didattica della matematica B p. 53 Fondamenti e didattica della matematica B p Simmetrie del quadrato 56 Simmetrie del quadrato Di nuovo possiamo comporre le simmetrie del quadrato fin qui elencate. Se componiamo la rotazione di 90 con se stessa, otteniamo una rotazione di 180 attorno allo stesso centro. Se componiamo questa rotazione di 180 con la rotazione di 90 otteniamo una rotazione di 270. Ricapitolando il quadrato è mandato in sé da 4 riflessioni (rispetto alle rette più volte disegnate) il quadrato è mandato in sé da 4 rotazioni di centro il punto di intersezione delle rette di cui sopra e di angolo rispettivamente 90, 180, 270 e 360 gradi. Se di nuovo componiamo quest ultima rotazione di 270 con la rotazione di 90 otteniamo una rotazione di 360, che facendo compiere alla figura un giro completo equivale a non muovere niente. Ci sono altre figure che hanno le stesse simmetrie del quadrato? Come sono fatte queste figure? Ci sono altre isometrie che mandano il quadrato in sé? Fondamenti e didattica della matematica B p. 55 Fondamenti e didattica della matematica B p. 56

15 57 D4 58 D4 Fondamenti e didattica della matematica B p. 57 Fondamenti e didattica della matematica B p D4 60 Non solo riflessioni Data una figura del piano, chiamiamo simmetria di questa figura ogni isometria del piano che manda la figura in sé stessa. uesta definizione ci permette di riconoscere una qualche regolarità anche in figure di questo tipo Le immagini sono prese dalla collezione del progetto Immagini per la matematica del centro matematita ( Fondamenti e didattica della matematica B p. 59 Fondamenti e didattica della matematica B p. 60

16 61 Rosoni ciclici 62 Simmetrie di una figura Si dice che una retta r è un asse di simmetria per una figura se la riflessione rispetto a r manda la figura in se stessa i quadrati ammettono 4 assi di simmetria Si dice che un punto O è un centro di simmetria per una figura se esiste una rotazione non banale attorno ad O che manda la figura in se stessa i quadrati ammettono un centro di simmetria di ordine 4 (perché riusciamo a trovare una rotazione che manda la figura in se stessa, rotazione che ripetuta 4 volte mi dà l identità). Fondamenti e didattica della matematica B p. 61 Fondamenti e didattica della matematica B p Simmetrie di una figura 64 Traslazioni e glissoriflessioni? Si può dimostrare che per figure geometriche come il quadrato si hanno due casistiche Ci sono figure che sono mandate in se stessa da traslazioni o glissoriflessioni? la figura è mandata in se stessa da n riflessioni (distinte) È allora possibile costruire n rotazioni (tra queste l identità) che mandano la figura in se stessa Osserviamo la regolarità di queste figure (che immaginiamo prolungarsi all infinito... ) la figura non è mandata in se stessa da alcuna riflessione, le uniche sue simmetrie sono rotazioni. Fondamenti e didattica della matematica B p. 63 Fondamenti e didattica della matematica B p. 64

17 65 Fregi 66 Mosaici Fondamenti e didattica della matematica B p. 65 Fondamenti e didattica della matematica B p Modelli non basati sul movimento 68 Rotazioni La mostra Simmetria, giochi di specchi propone un modello per le isometrie non basato sul movimento: gli specchi. L utilizzo degli specchi, oltre ad avere un grosso impatto visivo, ha anche una forte giustificazione matematica, che potrebbe suonare così Teorema Il gruppo delle isometrie è generato dalle riflessioni. Fondamenti e didattica della matematica B p. 67 Fondamenti e didattica della matematica B p. 68

18 69 Traslazioni 70 Assi di simmetria Uno specchio permette di risconoscere se una figura ammette o meno un asse di simmetria Fondamenti e didattica della matematica B p. 69 Fondamenti e didattica della matematica B p. 70