La retta proiettiva appunti del corso di Geometria 1, prof. Cristina Turrini. anno acc. 2007/2008

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1 appunti del corso di Geometria 1, prof. anno acc. 2007/2008

2 La relazione di equivalenza Consideriamo il piano R 2, con coordinate (x 0, x 1 ) e poniamo X = R 2 \ {0, 0}. Introduciamo in X la seguente relazione di equivalenza: Dati (x 0, x 1 ), (y 0, y 1 ) X (x 0, x 1 ) (y 0, y 1 ) (sono equivalenti), se λ (R \ {0}) tale che sia (y 0, y 1 ) = λ(x 0, x 1 ), ovvero y 0 = λx 0 e y 1 = λx 1. Quindi, ad esempio, (1, 3) (1/5, 3/5). Esercizio: verificare che è una relazione di equivalenza

3 L insieme quoziente Se x 0 0, (x 0, x 1 ) (y 0, y 1 ) vuol dire x 1 /x 0 = y 1 /y 0. Se x 0 = 0, (0, x 1 ) (0, y 1 ) x 1, y 1 0. Dunque la relazione identifica tra loro tutti i punti (diversi dall origine) che appartengono ad una stessa retta per l origine. Sia (x 0, x 1 ) X; si denota con [(x 0, x 1 )], o anche con (x 0 : x 1 ), la classe di equivalenza di (x 0, x 1 ), pertanto [(x 0, x 1 )] = (x 0 : x 1 ) = {(y 0, y 1 ) (y 0, y 1 ) (x 0, x 1 )}. L insieme quoziente, ovvero l insieme delle classi di equivalenza, X/ = {(x 0 : x 1 )} rappresenta il fascio di rette per l origine (ciascuna privata dell origine).

4 X/ viene detto retta proiettiva e indicato con P 1. Sia l una retta per l origine e sia (x 0 : x 1 ) = l \(0, 0). Se (a 0, a 1 ) l \(0, 0), (a 0, a 1 ) viene detta una coppia di coordinate omogenee di l. Le coordinate omogenee non sono mai contemporaneamente nulle e sono definite a meno di un fattore di proporzionalità λ (R \ {0}). (a 0 : a 1 ) viene detto punto di P 1. P 1 fascio di rette per (0, 0)

5 Coordinate nel fascio di rette Fissiamo la retta r di equazione x 0 = 1. l (0, 0) (diversa dall asse x 1 ), l taglia la retta r nel punto di coordinate (1, a 1 /a 0 ). L asse x 1 ha coordinate omogenee (0, 1). Si è così definita una corrispondenza biunivoca fascio \ { asse x 1 } r l (1, a 1 /a 0 ) ovvero P 1 \ {(0, 1)} A 1 (a 0 : a 1 ) a 1 /a 0 (1 : a) a (a 0, a 1 ) coordinate omogenee, a coordinata affine

6 P 1 come quoziente e come ampliamento Quando la retta l del fascio "tende" all asse x 1, il punto (a 0 : a 1 ) "tende" a (0 : 1) e il rapporto a 1 /a 0 = P 1 "=" A 1 { }. (R 2 \ {(0, 0)})/ P 1 = A 1 { } La corrispondenza biunivoca P 1 \ {(0, 1)} A 1 (a 0 : a 1 ) a 1 /a 0 si estende a una corrispondenza biunivoca P 1 A 1 { } a 1 /a 0 se a 0 0 (a 0 : a 1 ) se a 0 = 0 che si inverte così a (1 : a), se a, e (0 : 1).

7 Modello topologico di P 1 Un modello intuitivo di P 1 è la circonferenza. γ circonferenza Per proiezione da P si instaura una corrispondenza biunivoca γ \ {N} r = A 1 P < NP > r che si può estendere a una corrispondenza biunivoca γ P 1 ponendo N Punti che si "avvicinano" a N, si proiettano su punti che "vanno all infinito".

8 Affinità Considerato P 1 = A 1 { }, un affinità α : A 1 A 1 di equazione α(x) = ax + b, a 0, può essere interpretata come trasformazione α : P 1 P 1 ponendo α( ) = e α(x) = α(x), altrove. Ponendo x = x 1 /x 0, α(x) = x = x 1 /x 0, α si può anche esprimere in coordinate omogenee così: x 1 = a x x 0 1 x 0 + b = ax 1+bx 0 x 0, cioè { ρx 0 = x 0 ρx 1 = ax con ρ bx 0 In altri termini si ha α(x 0 : x 1 ) = (x 0 : ax 1 + bx 0 ) e tale scrittura è valida non solo per i punti di A 1, ma anche per il punto = (0 : 1), infatti α(0 : 1) = (0 : a) = (0 : 1), cioè α( ) =.

9 Proiettività Le affinità così estese sono casi particolari di trasformazioni dette proiettività(o omografie). Una proiettività di P 1 in sè è una trasformazione ω : P 1 P 1 che, in coordinate omogeneee, si esprime nella forma { ρx 0 = a 00 x 0 + a 01 x ove ω((x 0 : x 1 )) = (x 1 0 : x 1 ρx 1 = a a ), 10x 0 + a 11 x 00, a 01 a 10 a 11 R e con la condizione 1 a 00 a 11 a 01 a La condizione a 00 a 11 a 01 a 10 0 si scrive anche a 00 a 01 a 10 a 0 e 11 garantisce l invertibità della corrispondenza (si veda dopo). In coordinate affini x = x 1 /x 0 e x = x 1 /x 0, ω si esprime nella forma x = a 10+a 11 x a 00 +a 01 x, con a 00 a 01 a 10 a 11 0.

10 La definizione è ben posta Si noti che la definizione data di proiettività è ben posta, ovvero passa ai quozienti : P 1 = R 2 \ {0.0} P 1 = R 2 \ {0.0}. In altri termini si ha ω(λx 0 : λx 1 ) = ω(x 0 : x 1 ) Infatti ω(x 0 : x 1 ) = (a 00 x 0 + a 01 x 1 : a 10 x 0 + a 10 x 1 ) e ω(λx 0 : λx 1 ) = (a 00 λx 0 + a 01 λx 1 : a 10 λx 0 + a 10 λx 1 ) = (λ(a 00 x 0 + a 01 x 1 ) : λ(a 10 x 0 + a 10 x 1 )) = (a 00 x 0 + a 01 x 1 : a 10 x 0 + a 10 x 1 ) = ω(x 0 : x 1 ) Non avrebbe alcun senso invece, ad esempio, considerare una corrispondenza η : P 1 P 1 definita da η(x 0 : x 1 ) = (x 0 : x 1 + 1), dal momento che si avrebbe η(1 : 1) = (1 : 2) e η(2 : 2) = (2 : 3), con (1 : 1) = (2 : 2), ma (1 : 2) (2 : 3).

11 Proiettività inversa Per semplicità di scrittura poniamo { ρx 0 = hx 0 + kx 1 ρx 1 = lx 0 + mx 1 con h k l m 0, ovvero x = l+mx h+kx, o, kxx mx + hx l = 0. Se fosse h l m k = 0, si avrebbe la proporzione h : l = k : m, e quindi ad esempio h = λl, k = λm e x = l+mx λl+λmx = l+mx λ(l+mx) = 1/λ = costante. L applicazione pertanto non sarebbe biunivoca. La condizione h l m k 0, permette di invertire ω e l inversa ω 1 di ω è definita da ω 1 : x (la verifica è lasciata per esercizio). l hx m + kx

12 Caratterizzazione delle affinità Si consideri la proiettività ω : P 1 P 1, che, in coordinate affini, si esprime nella forma x = l+mx h+kx, con h l m k 0. L immagine, tramite ω del punto all infinito P 1 è ω( ) = m/k, infatti in coordinate omogenee si ha ω(x 0 : x 1 ) = (hx 0 + kx 1 : lx 0 + mx 1 ), e quindi ω(0 : 1) = (k : m). Viceversa, il punto di P 1 che viene trasformato in è h/k, cioè ω( h/k) =, infatti ω(k : h) = (hk kh : lk mh) = (0 : 1). Una proiettività è una affinità se e solo se trasforma in (la verifica è lasciata per esercizio).

13 L inversione Un esempio di proiettività che non è un affinità { è l inversione, ovvero ρx la trasformazione definita da x = 1/x, ossia 0 = x 1 ρx 1 = x. 0 Ogni proiettività può essere ottenuta componendo un numero finito di affinità e inversioni. Ad esempio, se k 0, componendo, nell ordine, l affinità x = h + kx, con l inversione x = 1/x e con l affinità x = m k + lk mh k x, si ottiene la proittività x = l+mx h+kx.

14 Birapporto Dati quattro punti A, B, C e D di P 1, distinti a due a due, se sono tutti punti al finito (cioè se A, B, C, D A 1 ), si dice birapporto di A, B, C, D (in quest ordine) il rapporto tra i rapporti semplici (ABC) e (ABD) ovvero il numero reale (ABCD) = (ABC) (ABD) = AC BC AD BD (c 1 a 0 a 1 c 0 ) (d 1 b 0 b 1 d 0 ) (d 1 a 0 a 1 d 0 ) (c 1 b 0 b 1 c 0 ), = AC BD AD BC = (c a)(d b) (d a)(c b) = ove a, b, c, d e (a 0, a 1 ), (b 0, b 1 ), (c 0, c 1 ), (d 0, d 1 ) denotano rispettivamente le coordinate affini e le coordinate omogenee dei punti A, B, C, D. La definizione così data si estende anche al caso in cui uno dei punti è.

15 Proiettività e birapporto Le proiettività conservano il birapporto delle quaterne di punti allineati, ovvero per una proiettività si ha (ω(a)ω(b)ω(c)ω(d)) = (ABCD). Per provarlo basta fare la verifica per le affinità (per cui è ovvio, dal momento che le affinità conservano i rapporti semplici) e per l inversione (esercizio). Esempio Se i quattro punti A, B, C e D sono "equidistanziati", allora (ABCD) = 4/3. (ABCD) = AC/BC AD/BD = 2/1 3/2 = 4/3