[ ], classe. ( ) = 0 di grado n. [ ] di terne non nulle di. [ ] = x 1 x LE CONICHE DEL PIANO REALE

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1 LE CONICHE DEL PIANO REALE 1. - IL PIANO PROIETTIVO REALE A) Coordinate omogenee Ad ogni punto P= x,y del piano R associamo una terna ordinata ( x 0, x 1, x ) non nulla in modo che: x = x 1 x 0 y = x x 0 (1) Allora dobbiamo porre x 0 0. Inoltre, ogni terna ( kx 0, kx 1, kx ), k 0, individua lo stesso P. Allora scriveremo P = x 0, x 1, x [ ], classe d equivalenza di terne proporzionali, dette coordinate omogenee di P. Se x 0 = 0, non abbiamo un punto di R. Diremo che la classe di terne non nulle [ 0, x 1, x ] è un punto improprio. Il piano R unito con l insieme dei punti impropri è detto piano proiettivo reale ( R ). Data ora una curva algebrica di equazione f x,y = 0 di grado n! 1, la sostituzione (1) e l eliminazione del denominatore comune trasformano il polinomio f in un polinomio omogeneo f x 0, x 1, x ( ) = 0 di grado n.! k 0 si ha f ( kx 0, kx 1, kx ) = k n f( x 0, x 1, x ), quindi potremmo scrivere f [ x 0, x 1, x ] = 0. Le soluzioni con x 0 = 0 sono i punti impropri della curva algebrica. 1 B) Le rette. Una retta r di R ha equazione ax + by + c = 0, con a, b non entrambi nulli. In coordinate omogenee conviene riscriverla così: a 0 x 0 + a 1 x 1 + a x = 0. Osserviamo che! k 0 anche l equazione ( ka 0 )x 0 + ( ka 1 )x 1 + ( ka )x = 0 rappresenta r, quindi possiamo identificare ogni retta r con la classe r = a 0, a 1, a coefficienti proporzionali. Il caso a 1 = a = 0, ossia [ ] di terne non nulle di [ 1, 0, 0], non dà una retta di R, ma l equazione x 0 = 0 è di primo grado, quindi è naturale chiamarla retta: i suoi punti sono tutti e soli i punti impropri del piano proiettivo, quindi la chiameremo retta impropria. Notiamo ora che in ( R ) non c è distinzione tra punti propri ed impropri, o tra le rette proprie e la retta impropria; è un nuovo ambiente geometrico, nel quale punti e rette si rappresentano allo stesso modo. a) L appartenenza di un punto P = [ x 0, x 1, x ] alla retta r = [ a 0, a 1, a ] è l annullarsi del prodotto scalare delle due terne: a 0 x 0 + a 1 x 1 + a x = 0 b) La retta r = [ a 0, a 1, a ] passante per i punti distinti P = [ x 0, x 1, x ] e Q = [ y 0, y 1, y ] si trova calcolando il prodotto vettoriale di P e Q: [ ] = x 1 x r = a 0, a 1, a, x 0 x, x 0 x 1 ( y 1 y y 0 y y 0 y 1 (. c) Analogamente, due rette distinte r ed s hanno in comune il punto P ottenuto col prodotto vettoriale delle due terne. 3 4

2 C) Le collineazioni Un automorfismo o collineazione di ( R ) è una permutazione dei punti che trasforma rette in rette. Le collineazioni costituiscono ( ) il gruppo G = Aut R (. Struttura di G: sia GL 3 R il gruppo delle matrici invertibili d ordine 3. Il suo centro è ( I 0), (matrici scalari ) ed il quoziente 3 * PGL 3 R = GL 3 R Z GL 3 R ( ) è isomorfo a G, perché trasforma vettori di R 3 in vettori di R 3 a meno di un fattore di proporzionalità. Scritti i punti proiettivi X, Y come colonne, presa una matrice invertibile M ed un 0, ogni collineazione ha la forma Y=MX. Proprietà del gruppo G: - G agisce transitivamente sui punti:!p, Q ( R ), G, tale che ( P ) = Q. - G agisce transitivamente anche sulle rette. - G agisce transitivamente sull insieme dei quadrilateri non degeneri: dati i punti Y = [ 0, 0,1], I = [ 1,1,1 ], ed un O = [ 1, 0, 0], X = [ 0,1, 0 ], quadrilatero non degenere ABCD, G, tale che OXYI ( ) = ABCD. Allora, per semplificare calcoli, ai vertici di ogni quadrilatero possiamo assegnare quelle quattro terne di coordinate omogenee. 5 6 D) Le coniche Una conica di ( R ) è una curva algebrica di II grado, che possiamo scrivere nella forma: a 00 x 0 + a11 x 1 + a x + +a 01 x 0 x 1 + a 0 x 0 x + a 1 x 1 x = 0 con i coefficienti non tutti nulli, individuati a meno di una costante moltiplicativa non nulla, come al solito. Sia A = a 00 a 01 a 0 a 01 a 11 a 1 a 0 a 1 a la matrice simmetrica dei coefficienti. Se scriviamo il generico punto X ( R ) come colonna, l equazione della conica diventa X t AX=0. La trasformazione (ortogonale) di coordinate che porta la matrice A alla forma diagonale ( ( 0 0 ( induce una collineazione nel piano proiettivo, che trasforma la conica data nella conica 0 x x 1 + x = 0. Pertanto, ogni conica è proiettivamente equivalente ad una di questo tipo. Cerchiamo ora di classificarla. Nel campo complesso la distinzione principale è la quantità di autovalori non nulli, ossia il rango della matrice A. Nel campo reale conta anche il segno degli autovalori. Gli autovalori 0, 1, di A sono tutti reali e non tutti nulli, perché A non è la matrice nulla. 7 8

3 A) Sia 1 = = 0. Allora 0 0 e quindi, semplificandolo, si ottiene l equazione x 0 = 0. Essa si spezza nelle due equazioni uguali x 0 = 0, che danno la retta proiettiva doppia [ 1, 0, 0]. B) = 0, unico autovalore nullo. Allora la conica ha equazione 0 x x 1 = 0, o anche, posto µ = 1 / 0, x 0 + µ x1 = 0. Nel campo complesso avremmo due rette distinte. Nel campo reale, invece, tutto dipende dal segno di µ Se µ < 0, allora la trasformazione di coordinate y 0 = x 0 y 1 = µ x 1 y = x produce l equazione y 0 y1 = 0 e quindi si hanno le due rette proiettive distinte [ 1, ±1, 0] ; se µ > 0, allora la stessa trasformazione produce l equazione y 0 + y1 = 0, che implica y 0 = y 1 = 0 e quindi il solo punto reale [ 0, 0,1]. C) I tre autovalori siano non nulli. Il polinomio f x ( 0, x 1, x ) = 0 x x 1 + x non si spezza nel prodotto di due fattori lineari, ossia la conica è non degenere Nel campo reale possiamo avere tre autovalori con lo stesso segno, che possiamo supporre positivo, oppure due con un segno ed uno col segno opposto, e possiamo supporre che siano positivi gli ultimi due. Nel primo caso, la forma quadratica è definita positiva, dunque si annulla solo per x 0 = x 1 = x = 0, che non ha significato nel piano proiettivo, quindi la conica non ha punti reali. Con un ulteriore cambio di coordinate, ossia posto y 0 = 0 x 0 y 1 = 1 x 1 y = x, si ottiene l equazione: y 0 + y1 + y = 0. Nel secondo caso, si possono dividere i tre coefficienti per 0 e porre µ i = i / 0, ottenendo x 0 = µ1 x 1 + µ x, con µ i > 0, i = 1,. Per ogni coppia di valori non entrambi nulli assegnati ad x 1, x si ricavano due valori opposti di x 0: ci sono infiniti punti reali. L ulteriore cambio di coordinate: y 0 = x 0 y 1 = µ 1 x 1 y = µ x dà il risultato finale, y 0 = y1 + y. Il cambiare sistema di riferimento equivale a trasformare la conica con una collineazione, pertanto, ogni conica con il determinante della matrice A non nullo è proiettivamente equivalente ad una conica di equazione y 0 + y1 + y = 0 oppure y 0 = y1 + y. 11 1

4 Riassumendo, ogni conica nel piano proiettivo reale è proiettivamente equivalente ad una delle coniche seguenti: Retta doppia x 0 = 0 Coniche degeneri Coniche non x 0 x1 = 0 x 0 + x1 = 0 Due rette distinte Un solo punto reale x 0 + x1 + x = 0 Nessun punto reale degeneri x 0 x1 x = 0 Conica reale non degenere Esercizio. Sia data la conica proiettiva 8x 0 x + 5x 1 = 0. Proviamo a classificarla: La sua matrice è A = ed i suoi autovalori si trovano risolvendo det( A t I 3 ) = t t t ( ) t 16 = t 5 ) = 0 (. Si trovano le tre radici 5, -4, 4, ossia due positive ed una negativa. Siamo quindi nel caso ordinario della conica reale non degenere Proprietà delle coniche nel piano proiettivo Lemma 1. Se una conica ed una retta hanno in comune tre punti distinti, allora la conica è degenere e contiene la retta. Teorema. Siano dati in ( R ) cinque punti distinti A, B, C, D, E. a) Esiste sempre una conica alla quale appartengono. b) Se al più tre di essi sono allineati, allora la conica è unica. Teorema 4. (Pappo Pascal). Sia data una conica reale non degenere e siano A, B, C, A, B, C sei punti distinti su di essa. Siano: L = AB A B, M = AC A C, N = BC B C. Allora i tre punti L, M, N sono su una stessa retta u. Teorema 3. La retta tangente alla conica reale non degenere C di equazione X t A X = 0 in un suo punto P ha equazione P t A X = 0, dove A è la matrice di C

5 Sia data una conica non degenere C e sia O un punto non su di essa. Si traccino tre rette per O, che intersechino la conica in tre coppie di punti A, A, B, B, C, C. La retta u determinata dal teorema di Pappo Pascal si chiama polare di O rispetto alla conica. Lemma 5. La polare del punto O rispetto alla conica non degenere C intersechi la conica in un punto H. Allora la retta OH è tangente alla conica. Per completezza, chiamiamo polare di un punto T della conica la tangente in T alla conica. Questa definizione risulta compatibile con i risultati seguenti. Un punto O è esterno alla conica se la sua polare è una secante; è interno se la polare è esterna; appartiene alla conica se la sua polare è la tangente in O alla conica Teorema 6. Sia C una conica non degenere. a) (Reciprocità della polare). Sia O un punto e sia N un punto della polare u di O rispetto a C. Allora la polare di N passa per O. b) Ogni retta è la polare di un punto rispetto alla conica. c) Il polo di una secante r alla conica C è l intersezione delle tangenti condotte dai punti d intersezione di r con C. Teorema 7. La polare di un punto P rispetto alla conica non degenere C di equazione X t A X = 0 è la retta di equazione P t A X = 0. Questa equazione ha senso anche per la conica immaginaria, quindi la nozione di polare di un punto ha senso anche per questa conica. IL PIANO AFFINE REALE Dal piano ( R ) togliendo una retta, che diremo impropria, ed i suoi punti, si ottiene un unico tipo di piano affine, perché il gruppo delle collineazioni è transitivo sulle rette del piano proiettivo. Le affinità sono gli elementi dello stabilizzatore della retta impropria. Due figure sono dette affini se esiste un affinità che muti la prima nella seconda. In tal modo, tutti i punti propri sono affini, e lo stesso accade per le rette proprie, ed anche per i fasci di rette parallele. La classificazione delle coniche del piano affine è più complicata rispetto al piano proiettivo, perché dipende dalla posizione della retta impropria rispetto alla conica. 19 0

6 Scegliamo come retta impropria la retta x 0 = 0. Allora i punti propri hanno coordinate [ 1, x, y], o semplicemente (x,y). Le rette proprie hanno equazione a x + b y + c = 0, con a e b non entrambi nulli. Un affinità ha la forma: x = m 11 x + m 1 y + c 1, m 11 m 1 0 y = m 1 x + m y + c m 1 m Riprendiamo i cinque casi di coniche visti nel piano proiettivo: Coniche degeneri Retta doppia Due rette distinte Un solo punto reale Nessun punto reale Coniche non degeneri Conica reale non degenere. A) Una retta doppia: può essere propria, per esempio x = 0, ma potrebbe essere la retta scelta come impropria, e l equazione diventerebbe 1 = 0. B) Due rette distinte: possono essere o entrambe proprie non parallele, per esempio x y = 0, o proprie parallele, come x 1 = 0, ma anche una propria e l altra impropria, e l equazione diventerebbe del tipo x = 0. C) Un solo punto reale: può essere proprio, per esempio x + y = 0, oppure improprio, per esempio x +1 = 0. Come si spezzano nel piano affine reale? Vediamo le varie possibilità: 1 D) Una conica non degenere immaginaria: è solo del tipo x + y +1 = 0, in quanto non ha punti reali impropri, ed è chiamata ellisse immaginaria. E) Una conica reale non degenere: ci sono tre possibili situazioni: se interseca la retta impropria in due punti distinti, per PROPRIETÀ AFFINI DELLE CONICHE. Teorema 8. La polare di una conica rispetto ad un punto improprio O non appartenente alla conica, da cui esce un fascio di rette parallele, è il luogo dei punti medi delle corde in cui la conica taglia ogni retta del fascio. esempio x y = 1, è detta iperbole; se le è tangente, per esempio x y = 0, è detta parabola; se non l interseca, per esempio x + y = 1, è detta ellisse. Un diametro Il centro O I casi elencati, 11 in tutto, corrispondono a situazioni non equivalenti dal punto di vista affine, e non ce ne sono altri, perché abbiamo esaminato le possibili posizioni della retta impropria rispetto alla conica. La polare di un punto improprio prende il nome di diametro della conica. Il polo della retta impropria si chiama centro della conica. Per la reciprocità, tutti i diametri passano per il centro. 3 4

7 Se la conica è un iperbole, le rette che congiungono il centro O con i due punti impropri (che sono le intersezioni della sua polare con la conica) sono le tangenti all iperbole condotte da O, e prendono il nome di asintoti. Se la conica è una parabola, è tangente alla retta impropria, quindi il suo centro è il punto di tangenza, ossia è il punto improprio della parabola. Ne segue che tutti i diametri sono paralleli tra loro. Anche l ellisse immaginaria ha il centro in un punto proprio. Ellisse, ellisse immaginaria ed iperbole sono dette coniche a centro. Teorema 10. Tutte le iperboli sono affini tra loro, tutte le parabole lo sono e così pure le ellissi e le ellissi immaginarie. Questo teorema conferma quanto affermato in precedenza: ci sono in tutto 11 classi di affinità di coniche affini. 5 6 Esercizio. Si classifichi la conica affine x y 1 = 0. Svolgimento: moltiplichiamo per i coefficienti, per comodità. La matrice della conica è allora 0 0 ( 0 0 1( quindi la conica non è degenere. (, di determinante, Uguagliamo a zero la forma quadratica ed [ ] e otteniamo i due punti impropri 0,1, 0 [ 0, 0,1]. Pertanto, abbiamo un iperbole. Il suo centro ha coordinate affini A 01 I suoi asintoti sono le rette che congiungono il centro con i punti impropri, ossia x = 0 e y = 0., A 0 A 00 A = 0, 0 00 ( ). 7