22 Coniche proiettive

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1 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-giu Coniche proiettive (22.1) Definizione. Sia K[x 0, x 1,..., x n ] l anello dei polinomi nelle indeterminate (variabili) x 0, x 1,..., x n. Un polinomio di K[x 0, x 1,..., x n ] si dice omogeneo se tutti i suoi monomi hanno lo stesso grado. (22.2) Nota. L insieme costituito dal polinomio nullo e da tutti i polinomi omogenei di grado d fissato è uno spazio vettoriale rispetto alla somma di polinomi; una base è costituita da tutti i monomi (con coefficienti 1) di grado d. Per esempio, se d = 2 i seguenti monomi costituiscono una base: x 2 0, x 2 1, x 2 2, x 0 x 1, x 0 x 2, x 1 x 2. (22.3) Un polinomio p(x 0, x 1,..., x n ) non nullo di K[x 0, x 1, x n ] è omogeneo di grado d se e solo se per ogni t K si ha p(tx 0, tx 1,..., tx n ) = t d p(x 0, x 1,..., x n ). Dimostrazione. Se p è omogeneo, cioè somma di monomi di grado d, allora la proprietà è vera dato che lo è per monomi di grado d. Viceversa, raggruppando i monomi dello stesso grado possiamo scrivere p = f 0 + f 1 + f f l, dove ogni f i è omogeneo di grado i. Ma se per ogni t K si ha p(tx) = t d p(x) (qui scriviamo x = (x 0, x 1,..., x n ) in forma vettoriale per brevità), allora f(tx) = f 0 (tx) + f 1 (tx) + f 2 (tx) + + f l (tx) = f 0 (x) + tf 1 (x) + t 2 f 2 (x) + + t l f l (x) t d f(x) = t d f 0 (x) + t d f 1 (x) + t d f 2 (x) + + t d f l (x). Osserviamo che possiamo considerare f(tx) e t d f(x) come polinomi in K[t], considerando x come coefficiente fissato. Ma i polinomi f 0 (x) + tf 1 (x) + t 2 f 2 (x) + + t l f l (x) = t d f 0 (x) + t d f 1 (x) + t d f 2 (x) + + t d f l (x) coincidono se e soltanto se i coefficienti dei monomi (in t) con lo stesso grado coincidono: quindi deve essere che tutti gli f i sono zero tranne f d, cioè p = f d (ovvero, p è omogeneo di grado d). Consideriamo il piano proiettivo P 2 (K) reale (K = R) o complesso (K = C). (22.4) Definizione. Una conica di P 2 (K) è l insieme delle soluzioni dell equazione (detta equazione della conica) f(x 0, x 1, x 2 ) = 0, dove f è un polinomio omogeneo a coefficienti in K di grado (22.5) Esempio. Le seguenti sono equazioni omogenee (nelle coordinate omogenee [u : x : y]) di coniche in P 2 (R): (i) x 2 + y 2 = u 2 ; 15 In molti testi si definisce l insieme delle soluzioni come supporto della curva, mentre la curva è la classe di equivalenza del polinomio f costituita da f e da tutti i suoi multipli scalari come per i punti dello spazio proiettivo. Questa definizione sarebbe più appropriata, perché tiene conto della molteplicità delle soluzioni, in casi degeneri, anche se accade che una conica possa ridursi ad un punto o all insieme vuoto. D.L. Ferrario 2006-giu-06 95

2 giu-06 Geometria e Topologia I (U1-4) (ii) x 2 + y 2 xu = xy; (iii) x 2 + xy y 2 = ux; (22.6) Definizione. Due coniche C, C P 2 (K) sono proiettivamente equivalenti se esiste una proiettività T : P 2 (K) P 2 (K) tale che T (C) = C. (22.7) Sia p(x) = 0 l equazione di una conica in P 2 (K), con x = [x 0 : x 1 : x 2 ]. Allora esiste una matrice 3 3 con coefficienti in K (unica a meno di fattore scalare in K ) A = (a i,j ) simmetrica tale che l equazione della conica si scrive come p(x) = t xax = 0, cioè [ ] a 0,0 a 0,1 a 0,2 x0 x 1 x 2 a 1,0 a 1,1 a 1,2 a 2,0 a 2,1 a 2,2 x 0 x 1 x 2 = 0 Dimostrazione. Sia p(x) il polinomio omogeneo di grado 2 con coefficienti a, b, c, d, e, f in K, cioè p(x 0, x 1, x 2 ) = ax bx cx dx 0 x 1 + ex 0 x 2 + fx 1 x 2. D altro canto si ha t xax = [ ] a 0,0 x 0 + a 0,1 x 1 + a 0,2 x 2 x 0 x 1 x 2 a 1,0 x 0 + a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 a 2,0 x 0 + a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 =x 0 (a 0,0 x 0 + a 0,1 x 1 + a 0,2 x 2 ) + x 1 (a 1,0 x 0 + a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 ) + x 2 (a 2,0 x 0 + a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 ) =a 0,0 x a 0,1 x 0 x 1 + a 0,2 x 0 x 2 + a 1,0 x 0 x 1 + a 1,1 x a 1,2 x 1 x 2 + a 2,0 x 0 x 2 + a 2,1 x 1 x 2 + a 2,2 x 2 2 =a 0,0 x a 1,1 x a 2,2 x (a 0,1 + a 1,0 )x 0 x 1 + (a 0,2 + a 2,0 )x 0 x 2 + (a 1,2 + a 2,1 )x 1 x 2 Basta quindi porre a 0,0 = a, a 1,1 = b, a 2,2 = c, a 0,1 = a 1,0 = d/2, a 0,2 = a 2,0 = e/2 e a 1,2 = a 2,1 = f/2. (22.8) Definizione. La matrice simmetrica A della proposizione (22.7) si dice matrice associata alla equazione della conica. (22.9) Sia T : P 2 (K) P 2 (K) una proiettività (isomorfismo proiettivo). Se p(x) = 0 è l equazione della conica C, allora p(t 1 x) = 0 è l equazione della conica T (C). La matrice associata al polinomio omogeneo di secondo grado p(t 1 x) è uguale a t T 1 AT 1, dove A è la matrice associata al polinomio p(x). Dimostrazione. Ricordiamo che la proiettività si scrive come matrice 3 3 invertibile a coefficienti in K, per cui possiamo scrivere, semplificando, T (x) = T x e T 1 x = T 1 (x). Sia C = {x = [x 0 : x 1 : x 2 ] P 2 (K) : p(t 1 x) = 0}. Osserviamo che se x C (cioè p(x) = 0), si ha che p(t 1 T x) = 0, cioè T x è un punto di C. In altre parole, T (C) C. Analogamente T 1 (C ) C, e quindi T (C) = C. Sia A la matrice (simmetrica) associata a p(x), e quindi p(x) = t xax. Allora si ha p(t 1 x) = t (T 1 x)at 1 x = t x t T 1 AT 1 x giu-06 D.L. Ferrario

3 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-giu (22.10) Nota. Se T è una matrice in GL(3, K), segue dalla dimostrazione della proposizione precedente che le coniche di equazioni sono proiettivamente equivalenti. t xax = 0 t x t T AT x = 0 Ricordiamo ora alcuni teoremi relativi alle matrici simmetriche con coefficienti in K (forme bilineari simmetriche): (22.11) Ogni forma bilineare simmetrica A su K n è diagonalizzabile, cioè se A è una matrice n n simmetrica allora esiste una matrice M GL(n, K) tale che t MAM è diagonale. (22.12) Se K è algebricamente chiuso (per esempio K = C), per ogni forma bilineare simmetrica A esiste M GL(n, K) tale che t MAM è diagonale e gli elementi della diagonale sono tutti 1 oppure 0, cioè [ ] t Ir 0 MAM = 0 0 dove I r è la matrice identica r r e il resto della matrice ha coefficienti nulli (r è il rango di A). (22.13) (Sylvester) Se K = R, per ogni forma bilineare simmetrica A esiste M GL(n, K) tale che t MAM è diagonale e gli elementi della diagonale sono tutti ±1 oppure 0, cioè I p 0 0 t MAM = 0 I r p dove I p è la matrice identica p p, I r p analoga e il resto della matrice ha coefficienti nulli Classificazione proiettiva delle coniche (22.14) Teorema (Forme canoniche su R). Consideriamo le seguenti equazioni di coniche in P 2 (R): (i) x x x 2 2 = 0 (conica senza punti reali: ). (ii) x x 2 1 x 2 2 = 0 (conica non degenere). (iii) x x 2 1 = 0 (conica degenere: un punto [0 : 0 : 1]). (iv) x 2 0 x 2 1 = 0 (conica degenere: due rette x 0 = x 1, x 0 = x 1 ). (v) x 2 0 = 0 (conica doppiamente degenere: due rette coincidenti x 0 = 0, x 0 = 0). Ogni conica C P 2 (R) è proiettivamente equivalente ad una e una sola delle coniche 1, 2, 3, Dimostrazione. Abbiamo visto sopra che ogni conica nel piano proiettivo può essere riscritta, mediante una proiettività, come una delle coniche dell elenco. Dobbiamo mostrare che non sono proiettivamente equivalenti per stabilire l unicità della forma canonica. È chiaro che la 3 non è equivalente alle altre, dato che è formata da solo un punto mentre le altre hanno D.L. Ferrario 2006-giu-06 97

4 giu-06 Geometria e Topologia I (U1-4) infiniti punti. Dato che una proiettività porta rette in rette, 4 e 5 non sono equivalenti: altrimenti la proiettività trasformerebbe una retta nell unione di due rette distinte, cioè una retta coinciderebbe con l unione di due rette distinte. Per concludere la dimostrazione dobbiamo dimostrare che la conica generica non è proiettivamente equivalente né ad una retta né all unione di due rette (cioè che l insieme delle soluzioni di una equazione con matrice non singolare non può essere proiettivamente equivalente all insieme di soluzioni di una equazione con matrice singolare). Mostriamo a questo scopo che l intersezione di una retta con una conica non degenere ha sempre solo al massimo un numero finito di punti. A meno di un cambio di coordinate x = x 0 + x 1, y = x 0 x 1 e z = x 2 possiamo supporre che l equazione della conica sia xy z 2 = 0. L equazione di una retta generica l in coordinate omogenee è ax + by + cz = 0. Consideriamo la carta affine di coordinate [x : y : 1]. Se la retta l coincide con la retta all infinito (di equazione z = 0), allora le intersezioni sono i due punti [0 : 1 : 0] e [1 : 0 : 0]. Altrimenti, se assumiamo che l intersezione tra la conica e la retta è composta da infiniti punti, allora ce ne sono infiniti nella parte affine dell intersezione, dal momento che l intersezione della conica con l e con la retta all infinito è contenuta nell intersezione di l con la retta all infinito, che ha un punto solo. Ma nella carta affine le intersezioni sono le soluzioni del sistema di equazioni { xy = 1 ax + by + c = 0 con a oppure b diversi da zero. Questo può avere infinite soluzioni soltanto per a = b = c = 0, contro l ipotesi. (22.15) Teorema (Forme canoniche su C). Consideriamo le seguenti equazioni di coniche in P 2 (C): (i) x x x 2 2 = 0 (conica generica non degenere). (ii) x x 2 1 = 0 (conica degenere: due rette). (iii) x 2 0 = 0 (conica doppiamente degenere: due rette coincidenti x 0 = 0, x 0 = 0). Ogni conica C P 2 (C) è proiettivamente equivalente ad una e una sola delle coniche 1, 2, 3. Dimostrazione. Dato che C è algebricamente chiuso, si può usare la classificazione delle forme bilineari simmetriche su C di (22.12) per vedere che ogni conica di P 2 (C) è proiettivamente equivalente ad una delle tre coniche dell elenco (in funzione del rango della matrice associata). Poi si prosegue come nella dimostrazione della proposizione precedente (vedi anche esercizio (14.9)) giu-06 D.L. Ferrario

5 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-giu Coniche affini e coniche euclidee Se C P 2 (K) è una conica proiettiva (dove K = R oppure K = C) e A 2 0(K) è una carta affine di P 2 (K), allora l intersezione C A 2 0(K) si dice conica affine, o anche parte affine (al finito) della conica C. Se K = R e A 2 0(K) è anche euclideo, allora l intersezione si dice conica euclidea. Il problema della classificazione è analogo a quello della classificazione proiettiva: diciamo che due coniche affini Γ e Γ sono affinemente equivalenti (oppure, equivalenti dal punto di vista affine) se esiste una affinità T : A 2 0(K) A 2 0(K) tale che T (Γ) = Γ. (23.1) Se T : A 2 0(K) A 2 0(K) è una affinità, allora esiste una proiettività f : P 2 (K) P 2 (K) che manda A 2 0(K) in A 2 0(K) (e la retta all infinito nella retta all infinito) tale che per ogni x = (x 1, x 2 ) A 2 0(K) si ha T (x) = f([1 : x 1 : x 2 ]). Viceversa, ogni proiettività che manda la carta affine in sé induce (nello stesso modo) una affinità sulla carta affine. Dimostrazione. La trasformazione affine si scrive come [ ] [ ] [ ] x1 a1,1 a 1,2 x1 + x 2 a 2,1 a 2,2 x 2 per certi coefficienti a i,j e b i. Ma questo si può scrivere, aggiungendo la terza coordinata x 0 = 1, anche come x 1 b 1 a 1,1 a 1,2 x 1 x 2 b 2 a 2,1 a 2,2 x Se M è la matrice b 1 a 1,1 a 1,2, si vede subito che è invertibile se e solo se A è invertibile, per b 2 a 2,1 a 2,2 cui la matrice M induce una proiettività M : P 2 (K) P 2 (K), che manda la retta all infinito (di equazione x 0 = 0) in se stessa, e il piano A 2 0(K) = {[x 0 : x 1 : x 2 ] : x 0 0} in sé. Viceversa, è facile vedere che una proiettività che manda la retta all infinito in sé, in particolare deve mandare i punti [0 : 1 : 0] e [0 : 0 : 1] nella retta all infinito, per cui la matrice di una proiettività di questo tipo si scrive come m 1,1 0 0 m 2,1 a 2,2 a 2,3 m 3,1 a 3,2 a 3,3 Ma m 1,1 0, altrimenti la matrice è singolare, e dato che la proiettività è definita a meno di una costante, si può supporre (dividendo per m 1,1 tutti i coefficienti m i,j ) senza perdere in generalità che m 1,1 = 1. (23.2) Teorema (Forme canoniche su affini reali). Consideriamo le seguenti equazioni di coniche in A 2 (R): (i) x 2 + y 2 1 = 0 (ellisse/circonferenza). (ii) x 2 y 2 = 1 (iperbole). (iii) y x 2 = 0 (parabola). (iv) x 2 y 2 = 0 (iperbole degenere: due rette secanti). D.L. Ferrario 2006-giu [ b1 b 2 ]

6 giu-07 Geometria e Topologia I (U1-4) (v) x 2 = 1 (parabola degenere: due rette parallele). (vi) x 2 = 0 (conica doppiamente degenere: due rette coincidenti). Ogni conica C A 2 (R) con più di un punto è affinemente equivalente ad una e una sola delle coniche dell elenco. Dimostrazione. Scriviamo l equazione (affine) della conica come t xmx + 2 t bx + c = 0, dove M è una matrice simmetrica 2 2, b un vettore 2 1 e c uno scalare. Se cambiamo variabile mediante una affinità del tipo x = Ay (dove A è invertibile), allora l equazione diventa t y t AMAy + 2 t bay + c = 0. Possiamo quindi diagonalizzare [ M mediante ] la matrice A (teorema di Sylvester), e supporre m1,1 0 che M è diagonale M =. Tramite una traslazione del tipo y = v + z possiamo 0 m 2,2 poi trasformare l equazione in ( t v + t z)m(v + z) + 2 t b(v + z) + c = 0. t vmv + 2 t vmz + t zmz2 t bv + 2 t bz + c = 0 t zmz2 t vmz + 2 t bz + t vmv + 2 t bv + +c = 0. Se det(m) 0 (cioè M è invertibile), basta prendere v tale che 2 t vm +2 t b = 0, per trasformare l equazione in t zmz t vmv + 2 t bv + +c = 0, cioè esistono tre costanti a 1, a 2 e a 3 tali che l equazione diventa a 1 z a 2 z a 3 = 0. Abbiamo mostrato che se det(m) 0 si può comunque diagonalizzare la matrice mediante trasformazioni affini. Se invece det(m) = 0 (se M non è invertibile), potrebbe essere che non esiste tale v. Dal momento che M è diagonale, t vm + t b = [ ] [ ] m v 1 v 1, [ ] b b 2 = [ ] m 1,1 v 1 + b 1 b 2 quindi almeno è possibile trovare v per cui m 1,1 v 1 + b 1 traslazione, si può scrivere come = 0: l equazione quindi, dopo la m 1,1 x b 2 x 2 + c = 0. per una certa costante c. Ulteriori cambi di coordinate (tenendo conto che si possono prendere radici quadrate di numeri positivi) ci portano alla lista dell enunciato. (23.3) Teorema (Forme canoniche su affini euclidee). Consideriamo le seguenti equazioni di coniche in E 2, per a, b > 0: giu-07 D.L. Ferrario

7 Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-giu (i) x2 + y2 a 2 b 2 (ii) x2 y2 a 2 b 2 = 1 (ellisse/circonferenza). = 1 (iperbole). (iii) y = ax 2 (parabola). Ogni conica C A 2 (R) non degenere con più di un punto è isometrica (congruente) ad una e una sola delle coniche dell elenco. Dimostrazione. Il procedimento è come quello della dimostrazione del teorema precedente, con la limitazione che si deve diagonalizzare M mediante trasformazioni ortogonali e che le similitudini non si possono più usare (si possono usare solo traslazioni e trasformazioni ortogonali). I dettagli della dimostrazione si possono facilmente dedurre dal procedimento usato sopra (vedi esercizio (14.12)). (23.4) Nota. Supponiamo che A 2 (R) = A 2 0(R) P 2 (R). Sia a 0,0 a 0,1 a 0,2 M = a 1,0 a 1,1 a 1,2 a 2,0 a 2,1 a 2,2 la matrice [ associata ] all equazione di una conica affine, C il suo completamento proiettivo, e a1,1 a A = 1,2 il minore 2x2. Si può vedere che, mediante una trasfomazione affine, A viene a 2,1 a 2,2 trasformata in A = t T AT, per cui il segno e la nullità di det(a) vengono conservati. Si può dimostrare (vedi esercizio (14.10) che se C è una conica non degenere allora det(a) = 0 se C è una parabola det(a) < 0 se C è una iperbole det(a) > 0 se C è un ellisse Lo stesso vale per coniche euclidee. D.L. Ferrario 2006-giu