Il piano proiettivo appunti del corso di Geometria 1, prof. Cristina Turrini. anno acc. 2008/2009

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1 appunti del corso di Geometria 1, prof. anno acc. 2008/2009

2 Alcune "asimmetrie" del piano affine Nel piano affine A 2, si hanno le seguenti proprietà di incidenza. 1 P, Q A 2, con P e Q, punti distinti tra loro,! retta l A 2 tale che P, Q l 2 l, l A 2, con l ed l, rette distinte tra loro, e non parallele tra loro,! punto P A 2 tale che P l l. Nel piano affine A 2 si hanno due diversi tipi di fasci di rette. I fasci propri, le cui rette sono parametrizzate da R { }. Le rette del fascio per P 0 (a, b) non parallele all asse y, hanno equazioni della forma y b = m(x a), con m R. La retta del fascio parallela all asse y ha equazione x = a e si ottiene per m. I fasci impropri, le cui rette sono parametrizzate da R. Ad esempio, le rette parallele alla retta di equazione y = mx sono tutte e sole quelle di equazione y = mx + q, con q R.

3 Il piano esteso Per eliminare queste asimmetrie si introducono nuovi "punti" rappresentativi delle direzioni delle rette del piano. Questi nuovi punti verranno detti punti impropri o punti all infinito (e gli usuali punti del piano A 2 si diranno allora punti propri o al finito). Si dice allora piano esteso o piano ampliato l insieme A 2 = A 2 { direzioni delle rette di A 2 }. Se l è una retta di A 2, si denota con P (l) o con dir(l) la direzione di l, ovvero il punto improprio di l. l ed l sono parallele (l l ) se e solo se P (l) = P (l ). Indichiamo con P, Q,... i punti di A 2. P può essere un punto proprio (P = P A 2 ), oppure una direzione (P = P (l)).

4 I nuovi assiomi Nel piano ampliato A 2 si chiamano ancora rette i sottoinsiemi l = l P (l) ove l è una retta di A 2. Vediamo se con queste nuove nozioni di punto e di retta si è ristabilita la simmetria tra gli assiomi 1 e 2, ovvero vediamo se valgono gli assiomi seguenti. 1 P, Q A 2, con P Q,! retta l tale che P, Q l 2 l, l A 2, con l l,! punto P tale che P l l. Per verificare la 1 dobbiamo distinguere tre casi. P, Q propri P proprio e Q improprio P, Q impropri

5 La retta impropria Nel caso P = P, Q = Q entrambe propri, l unica retta per P e Q è la retta l, con l P, Q. Nel caso P = P proprio e Q = P (r) improprio, l unica retta per P e Q è la retta l, con l passante per P e parallela a r. Nel caso P = P (r), Q = P (s) entrambe impropri non vi è nessuna retta l per P e Q (una tale l sarebbe infatti una retta con due direzioni). Per soddisfare la proprietà occorre che esista un altra retta in A 2. Questa nuova retta r non dovrà contenere alcun punto proprio (altrimenti per quel punto passerebbe una retta con due direzioni diverse), inoltre r dovrà contenere tutti i punti impropri (consideriamo infatti un punto improprio P (s), se si vuole che anche la proprietà 2 sia soddisfatta, s r deve essere un punto che non può essere proprio, e pertanto è l unico punto improprio di s, ovvero P (s). In conclusione è necessario definire retta anche l insieme r = r di tutti e soli i punti impropri. Tale retta viene detta retta impropria.

6 Rette e punti nel piano esteso Con l introduzione della retta impropria tra le rette del piano esteso, sia l assioma 1 che l assioma 2 sono soddisfatti. Anche i fasci di rette nel piano esteso si comportano in modo simmetrico: nel fascio improprio c è una retta in più: la retta impropria. Riassumendo, in A 2 : propri punti = impropri rette del piano affine completate con il punto improprio rette = retta impropria = insieme dei punti impropri

7 La relazione di equivalenza Sia X = R 3 \ {0, 0, 0}. Introduciamo in X la seguente relazione di equivalenza: Si dice che (, x 1, x 2 ), (y 0, y 1, y 2 ) X sono equivalenti (e si scrive (, x 1, x 2 ) (y 0, y 1, y 2 )), se λ (R \ {0}) tale che sia (y 0, y 1, y 2 ) = λ(, x 1, y 2 ), ovvero y 0 = λ, y 1 = λx 1 e y 2 = λx 2. Punti equivalenti sono allineati con l origine.

8 L insieme quoziente Sia (, x 1, x 2 ) X; si denota con ( : x 1 : x 2 ), la classe di equivalenza di (, x 1, x 2 ), pertanto ( : x 1 : x 2 ) rappresenta una retta per l origine, privata dell origine. L insieme quoziente, ovvero l insieme delle classi di equivalenza, X/ = {( : x 1 : x 2 )} rappresenta la stella di rette per l origine (ciascuna privata dell origine). X/ viene detto piano proiettivo e indicato con P 2. Le classi ( : x 1 : x 2 ) vengono dette punti di P 2. (, x 1, x 2 ) vengono dette coordinate omogenee del punto P = ( : x 1 : x 2 ). Le coordinate omogenee non sono mai tutte e tre nulle e sono definite a meno di un fattore di proporzionalità.

9 La carta affine U 0 Consideriamo ora il sottoinsieme U 0 = {( : x 1 : x 2 ) P 2 : 0} P 2. U 0 è ben definito poiché se (, x 1, x 2 ) (x 0, x 1, x 2 ), è 0 x 0 0. U 0 viene detto carta affine di P 2 U 0 è in corrispondenza biunivoca con A 2 : U 0 A 2, ( : x 1 : x 2 ) ( x 1, x 2 ). L applicazione è ben definita, poiché, se (, x 1, x 2 ) (x 0, x 1, x 2 ) e 0, è x 1 = x 1 e x 2 = x 2. La corrispondenza si inverte così U 0 A 2, (1 : x : y) (x, y)

10 Coordinate affini e coordinate omogenee Identifichiamo ora A 2 con U 0, otterremo un identificazione del piano esteso A 2 con P 2. Dato un punto P U 0 = A 2 di coordinate omogenee (, x 1, x 2 ), i numeri x = x 1, y = x 2 vengono detti coordinate affini del punto P. Un punto P = ( : x 1 : x 2 ) P 2 verrà detto proprio se 0 (ovvero se P A 2 ), improprio se = 0. Alcuni testi adottano altre scelte per le coordinate omogenee e affini. Ad esempio: (x, y, u) come coordinate omogenee e X = x u, Y = y u, come coordinate affini, oppure (x 1, x 2, x 3 ) come coordinate omogenee e x = x 1 x 3, y = x 2 x 3, come coordinate affini.

11 Le equazioni delle rette in P 2 Sia l A 2 una retta di equazione a 0 + a 1 x + a 2 y = 0 con (a 1, a 2 ) (0, 0). In coordinate omogenee si ha x a 0 + a 1 x 1 + a 2 2 = 0, ovvero a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0, (rappresentazione cartesiana della retta in P 2.) L equazione lineare omogenea a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0 definisce un luogo in P 2 (che chiameremo ancora retta), perché è verificata da (, x 1, x 2 ) se e solo se è verificata da (λ, λx 1, λx 2 ). Ad esempio invece x 1 2 = 0 non ha senso in P 2, perché (1 : 2 : 1) (2 : 4 : 2), eppure 2 2 = 0 ma L equazione a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0, verrà detta rappresentazione cartesiana della retta in P 2. In generale, per rappresentare luoghi nel piano proiettivo in coordinate omogenee, si devono utilizzare equazioni omogenee.

12 Punti propri e impropri delle rette Quali sono i punti P P 2 che appartengono alla retta di equazione cartesiana a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0? Sia P = ( : x 1 : x 2 ) Se P A 2, ovvero 0, allora, posto x = x 1, y = x 2 si ha x a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0 a 0 + a 1 x 1 + a 2 2 = 0 a 0 + a 1 x + a 2 y = 0. Pertanto P nuova retta P vecchia retta l A 2. Se P / A 2, ovvero = 0, allora a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0 diviene a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0, che è soddisfatta dall unico punto P = (0 : a 2 : a 1 ). Scriveremo P = P (l), oppure P = dir(l) e vedremo che effettivamente P (l) rappresenta la direzione di l.

13 L equazione della retta impropria Si noti che, se l, l A 2 e l l, si ha l : a 0 + a 1 x + a 2 y = 0 ed l : b 0 + ka 1 x + ka 2 y = 0 e pertanto P (l ) = (0 : ka 2 : ka 1 ) = (0 : a 2 : a 1 ) = P (l). I punti di P 2 \ A 2, ovvero i punti di coordinate (0 : x 1 : x 2 ) individuano le direzioni delle rette di A 2. L equazione a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0 (con (a 0, a 1, a 2 ) (0, 0, 0)) viene detta equazione generale della retta e se (a 1, a 2 ) (0, 0), rappresenta una retta di A 2 con l aggiunta di un punto (il suo punto improprio); se (a 1, a 2 ) = (0, 0), diventa = 0 e rappresenta la retta impropria r.

14 Equazione della retta per due punti Si potrebbe dimostrare che in coordinate omogenee l equazione cartesiana della retta passante per A (a 0 : a 1 : a 2 ) e B (b 0 : b 1 : b 2 ) diviene x 1 x 2 a 0 a 1 a 2 b 0 b 1 b 2 = 0, mentre una rappresentazione parametrica per tale retta è della forma { x0 = λa 0 + µb 0 x 1 = λa 1 + µb 1 (λ, µ) (0, 0). x 2 = λa 2 + µb 2

15 Affinità Avevamo definito affinità : A 2 A 2 una trasformazione di equazioni { x ( ) = a 11 x + a 12 y + a y = a 21 x + a 22 y + b a 11 a 12 a 21 a Utilizzando la notazione matriciale, le relazioni ( ) si possono anche riscrivere così: ( ) ( ) ( ) x ( ) x = a a 11 a 12 a a 11 a 12 y b a 21 a 22 y b a 21 a 22 0.

16 Proiettività Una proiettività ω : P 2 P 2 è, per definizione, una corrispondenza che associa al punto P ( : x 1 : x 2 ) il punto P (x 0 : x 1 : x 2 che ) tale { ρx 0 = a 00 + a 01 x 1 + a 02 x 2 ρx 1 = a a 00 a 01 a a 11 x 1 + a 12 x 2 a 10 a 11 a 12 ρx 2 = a 20 + a 21 x 1 + a 22 x 2 a 20 a 21 a 22 0, ovvero ρ ( x ) 0 x 1 = A x 2 ( x0 x 1 x 2 ) con det A 0, ( a00 a 01 ) a 02 ove A = a 10 a 20 a 11 a 21 a 12 a 22. La matrice A è definita a meno di una costante moltiplicativa 0.

17 Caratterizzazione delle affinità Se a 01 = a 02 = 0, ω diviene un affinità in A 2 = U 0 = {( : x 1 : x 2 ) : 0}. Infatti risulta necessariamente a 00 0 e si può quindi porre a 00 = 1, per cui ω assume la forma ( ). La proiettività ω, in coordinate affini x = x 1 e y = x 2, si esprime così: { x = a 10+a 11 x+a 12 y a 00 +a 01 x+a 02 y y = a 20+a 21 x+a 22 y a 00 +a 01 x+a 02 y Una proiettività è un affinità se e solo se trasforma tutti i punti impropri in punti impropri (la verifica è lasciata per esercizio).

18 Prospettività tra piani La definizione data di proiettività di un piano in sè si estende in modo ovvio al caso di proiettività tra piani distinti. Esempi significativi di proiettività tra piani (immersi nello spazio) sono le prospettività. Dati nello spazio due piani π ed π (non paralleli tra loro) ed un punto V fuori da essi, si considerino la retta r di intersezione di π con il piano per V parallelo a π e la retta r di intersezione di π con il piano per V parallelo a π. Si può definire un applicazione da π \ r a π \ r, per proiezione da V, come in figura. Tale applicazione si estende ad una applicazione (detta prospettività di centro V) ω V : P 2 P 2

19 Punti di fuga Si può dimostrare che una prospettività è una proiettività. La prospettività ω V trasforma i punti impropri del piano π nei punti della retta r (i punti di fuga). I punti all infinito del piano π sono "visti" su una retta.